Verifica completezza

[thedarkhero]

Uno spazio metrico si dice completo se ogni successione di Cauchy converge.
Vorrei sapere come si fa a verificare che uno spazio metrico è completo.

[Luca.Lussardi]

L'hai già detto come si fa...

[fu^2]

Di costruzioni standard per vedere che uno spazio è completo non ne conosco.

Secondo me un modo potrebbe essere quello suggerito per dimostrare che $RR^n$ è completo, cioè cercare trovare catene di insiemi che hanno diametro che va a zero in cui è contenuta la tua successione da far convergere. Però ovviamente non è una regola penso bisogni prima vedere caso per caso.

[thedarkhero]

Non esistono teoremi che aiutano a verificare la completezza (come Heine-Borel per la compattezza)?

[dissonance]

Il criterio più importante riguarda i sottospazi metrici: dato uno spazio metrico completo, un suo sottospazio metrico è esso stesso completo se e solo se è chiuso. E un altro fatto: uno spazio metrico compatto è completo (ovviamente).

[Luca.Lussardi]

Una strada più "manuale", che è la stessa che si usa per dimostrare la completezza di $L^p$ è la seguente: trovare, in un qualche senso, l'unico candidato ad essere il limite di una successione di Cauchy; verificare che si ha la convergenza rispetto alla metrica dello spazio. Per gli spazi $L^p$ infatti quello che uno fa è dimostrare prima che puntualmente una successione di funzioni in $L^p$ converge quasi ovunque a meno di estratte, e poi alla fine dimostra che si ha convergenza in norma $p$: si sfrutta quindi alla fin fine la completezza di $\RR$ per avere l'esistenza del limite.

[dissonance]

Aggiungo che, per quel poco che ne so, la strada che indica Luca Lussardi è praticamente l'unica via per verificare la completezza in spazi metrici "originari", e non sottospazi di qualche spazio già noto.
In altre parole: una volta che uno ha la completezza di uno spazio metrico, poi se ne può servire per dimostrare altre proprietà;
ma è difficile che succeda il contrario, ovvero che sia la completezza a discendere da altre proprietà.
Vedo infatti che in analisi la completezza è proprio la primissima cosa che uno cerca di procurarsi, perché senza di essa non si conclude granché.

(imho)