Verifica che la serie armonica non converge mediante criterio di convergenza di Cauchy.

[compa90]

Buongiorno, volevo provare che la serie armonica $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}$ non converge utilizzando il criterio di convergenza di Cauchy.

Prima di provare l'affermazioni riporto il criterio di convergenza di Cauchy, cioè

Condizione necessaria e sufficiente affinché la serie

$\sum_{k=1}^{\+infty}a_k$

risulti convergente è che per ogni $varepsilon>0$ esiste un certo indice $\nu=\nu(\varepsilon)>0$ per cui

$|\sum_{k=n+1}^{n+p}a_k|=|a_{n+1}+...+a_{n+p}| per ogni $n ge \nu $ e per ogni $p \in \ mathbb{N}$

Procedo cosi:
fisso $varepsilon=1$, lo posso fare in virtù del quantificatore $forall$, dunque, se ci fosse la convergenza, allora esiste un certo $\nu=\nu(1)$, per cui

$|\sum_{k=n+1}^{n+p}\frac{1}{k}|=|\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{n+p}|<1 $

per ogni $n \ge \nu$ e per ogni $p \in \mathbb{N}$.

La quantità

$|\sum_{k=n+1}^{n+p}\frac{1}{k}|=|\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{n+p}| $

è crescente, infatti fisso $p=n$, lo posso fare in virtù del quantificatore $forall$, quindi risulta

$v:=|\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}|=|\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}| $

Se prendo $n=2 \ to v~0.58$, $n=3 \ to v~0.62$, $n=4 \ to v ~0.83$, ecc...

Ora, $n$ lo posso prendere arbitrariamente grande, allora non vale

$|\sum_{k=n+1}^{n+p}\frac{1}{k}|=|\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{n+p}|<1 $

per ogni $n \ge \nu$ e per ogni $p \in \mathbb{N}$.

Quindi, non c'è convergenza.

Va bene ?

Saluti

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Risposte

dissonance

3 apr 2023, 11:05

Hai fatto molti giri di parole ma non hai spiegato perché non vale
\[
\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\ldots +\frac{1}{2n} <1.\]
Questa è l'unica cosa importante, e non l'hai scritta.

Una volta risolto questo problema fondamentale, puoi anche omettere tutti quegli altri discorsi che fai. Anzi, è preferibile, faciliterai la lettura.

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otta96

3 apr 2023, 11:47

Io non ho letto tutto però ti consiglio di prendere $\epsilon=1/2$ e $p=n$, poi concludi in 2 passaggi.

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compa90

3 apr 2023, 12:34

Ciao dissonance!

Io ho scritto questo \[ \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots +\frac{1}{2n} <1, \] questo non risulta essere verificato perché è crescente, e prendendo $n$ abbastanza grande, la precedente non è verificata.
Però io questo già lo scritto... non so cosa vuoi dire, scusami !


Ciao otta96, la quantità $sum_{k=n+1}^{2n}1/k=1/(n+1)+...+1/(2n) ge 1/2$, quindi, se ci fosse convergenza, allora si dovrebbe verificare:
fisso $epsilon=1/2$, esiste $\nu=\nu(epsilon)$ per cui $1/2 le |sum_{k=n+1}^{2n}1/k|<1/2$ per ogni $n ge \nu $ e per ogni $q in NN$.
Questo è falso. Va bene otta96?

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ViciousGoblin

3 apr 2023, 12:44

"compa90":
Io ho scritto questo \[ \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots +\frac{1}{2n} <1, \] questo non risulta essere verificato perché è crescente, e prendendo $n$ abbastanza grande, la precedente non è verificata.

Veramente non è chiaro:
1) come vedi che l'espressione a sinistra dell'eguale è crescente;
2) ammesso che quell'espressione sia crescente, come vedi che prima o poi supera il numero $1$,

Beninteso, la tua disuguaglianza è vera ed è abbastanza semplice da provare....
EDIT. Quanto scritto nell'ultima riga (Beninteso...) è SBAGLIATO! quella somma risulta >$1/2$ (come altri ti hanno detto).

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otta96

3 apr 2023, 13:20

"compa90":$|sum_{k=n+1}^{2n}1/k|<1/2$ per ogni $n ge \nu $

E da dove viene fuori questa cosa?

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compa90

3 apr 2023, 13:57

@ViciusGoblin
Questa relazione \[ \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots +\frac{1}{2n} , \] è maggiore o uguale di $1/2$, perché ogni addendo è maggiore o uguale di $1/(2n)$ inoltre, ci sono $n$ addendi, quindi \[ \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots +\frac{1}{2n} \ge n \ \frac{1}{(2n)}=\frac{1}{2}, \]

Forse mi sono espresso male, l'idea mia è:
Suppongo per assurdo che la serie sia convergente, quindi prendo $epsilon=1/2$ e $q=n$ allora esiste $\nu$, per cui per ogni $n ge \nu$ dovrebbe succedere $|sum_{k=n+1}^{2n}1/k|<1/2 $, questo è falso proprio perché
\[ \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots +\frac{1}{2n} , \] è crescente

Dove sbaglio?

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dissonance

3 apr 2023, 15:46

"compa90":@ViciusGoblin
Questa relazione \[ \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots +\frac{1}{2n} , \] è maggiore o uguale di $1/2$, perché ogni addendo è maggiore o uguale di $1/(2n)$ inoltre, ci sono $n$ addendi, quindi \[ \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots +\frac{1}{2n} \ge n \ \frac{1}{(2n)}=\frac{1}{2}, \]

OK! Ottimo. Basta così. Non occorre tirare in ballo successioni crescenti (di cui non si capisce come provi che sono crescenti), né niente altro. Questa semplice osservazione che hai fatto qui *è* la dimostrazione che la serie \(\sum \frac1n\) fallisce il criterio di Cauchy.

Come si dice: less is more.

Forse mi sono espresso male, l'idea mia è:
Suppongo per assurdo che la serie sia convergente, quindi prendo $epsilon=1/2$ e $q=n$ allora esiste $\nu$, per cui per ogni $n ge \nu$ dovrebbe succedere $|sum_{k=n+1}^{2n}1/k|<1/2 $, questo è falso proprio perché
\[ \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots +\frac{1}{2n} , \] è crescente

Dove sbaglio?

Sbagli nell'impostazione logica. Se la serie verificasse il criterio di Cauchy, allora è chiaro che la somma nel primo quote dovrebbe essere piccola a piacere per \(n\) sufficientemente grande. Hai dimostrato che così non è e quindi Cauchy fallisce. Fine. Qualsiasi cosa aggiungi a questo punto non serve a niente.

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Mephlip

3 apr 2023, 15:55

"compa90":
Io ho scritto questo \[ \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots +\frac{1}{2n} <1, \] questo non risulta essere verificato perché è crescente, e prendendo $n$ abbastanza grande, la precedente non è verificata.

@compa90: In effetti quello che c'è scritto qui è un po' pericoloso, spero che tu non intendessi: "Essendo crescente, preso $n$ abbastanza grande diventa più grande di qualsiasi costante positiva e quindi anche più grande di $1$"

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compa90

3 apr 2023, 17:34

Per evitare di fare quote rispondo a i punti più interessanti.

@dissonance
1) In effetti non l'ho provato formalmente che la successione risulti essere crescente, ma ho visto che per $n=1, 2, 3$, è crescente, poi ad occhio sembra crescente(dalle mie parti si dice masto a uocchio, masto a capocchio )
2)"Se la serie verificasse il criterio di Cauchy, allora è chiaro che la somma nel primo quote dovrebbe essere piccola a piacere per n sufficientemente grande."

Ora se volessi riscriverla per intero, questa "dimostrazione" dovrei procedere cosi:
Provare che la serie

$sum 1/n$

non converge. In tal caso considero il criterio di convergenza di Cauchy


Condizione necessaria e sufficiente affinché la serie

$ \sum_{k=1}^{\+infty}a_k $

risulti convergente è che per ogni $ varepsilon>0 $esiste un certo indice $ \nu=\nu(\varepsilon)>0 $ per cui

$ |\sum_{k=n+1}^{n+p}a_k|=|a_{n+1}+...+a_{n+p}| per ogni $ n ge \nu $e per ogni $ p \in \ mathbb{N} $



Osservo che preso $p=n$ si ha

$sum_{k=n+1}^{n+p}=1/(n+1)+...+1/{n+p} <=>sum_{k=n+1}^{2n}=1/(n+1)+...+1/{2n}. $

La quantità a destra sappiamo che risulta essere maggiore o uguale ad $1/2$, dunque, se la serie verificasse il criterio di Cauchy, allora è chiaro che la somma dovrebbe essere piccola a piacere per $n$ sufficientemente grande, ma cosi non è e quindi il criterio di convergenza di Cauchy fallisce, pertanto la serie non è convergente.
Potrebbe andare bene come dimostrazione?

@Mephlip, voglio dire che quella quantità, quando $n$ è abbastanza grande, diventa maggiore di $1$

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Mephlip

3 apr 2023, 17:38

Ma è falso. Con un ragionamento analogo a quello che hai fatto per far vedere che è maggiore di $1/2$, hai:
$$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\dots+\frac{1}{2n} \le \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+1}+\dots+\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}<1$$
Per questo ti chiedevo come l'avevi dedotto, e dalla locuzione: "Essendo crescente... preso $n$ abbastanza grande..." pensavo intendessi che, crescendo in $n$, diventasse arbitrariamente grande e quindi più grande di $1$. Che ragionamento avevi fatto?

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compa90

3 apr 2023, 17:54

Hai ragione, ho dedotto niente.....
Ti ringrazio che me l'hai fatto notare !!

Praticamente ho provato per quale valore e ho visto che il valore cresceva....e da questo ho dedotto la crescenza, ma questo è falso... grazie

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Mephlip

3 apr 2023, 18:05

Prego! Tuttavia, non mi sembra che sia arrivato per intero ciò che volevo dire: una successione può essere crescente ma comunque superiormente limitata. La tua è strettamente crescente e limitata. Infatti, posto $S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k}$, hai:
$$S_{n+1} > S_n \iff \sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{n+1+k} > \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k} \iff \sum_{k=2}^{n+2} \frac{1}{n+k}> \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k}$$
$$\iff \frac{1}{2n+2}+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{n+1}+\sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k} > \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k} \iff \frac{1}{2n+2}+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{n+1} >0$$
E l'ultima disuguaglianza è vera per ogni $n\in\mathbb{N}$. Insomma, esistono successioni strettamente crescenti ma che non diventano arbitrariamente grandi.

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dissonance

3 apr 2023, 19:14

"compa90":Per evitare di fare quote rispondo a i punti più interessanti.

@dissonance
1) In effetti non l'ho provato formalmente che la successione risulti essere crescente, ma ho visto che per $n=1, 2, 3$, è crescente, poi ad occhio sembra crescente(dalle mie parti si dice masto a uocchio, masto a capocchio )

Ah ah ah

Adesso ho capito cosa stavi cercando di fare. Fai bene a fare esperimenti numerici, ma come vedi non puoi usarli come dimostrazione perché puoi prendere gran capocciate. (Mi è successo proprio la settimana scorsa di prendere una capocciata esattamente in questa maniera).

2)"Se la serie verificasse il criterio di Cauchy, allora è chiaro che la somma nel primo quote dovrebbe essere piccola a piacere per n sufficientemente grande."

Ora se volessi riscriverla per intero, questa "dimostrazione" dovrei procedere cosi:
Provare che la serie

$sum 1/n$

non converge. In tal caso considero il criterio di convergenza di Cauchy


Condizione necessaria e sufficiente affinché la serie

$ \sum_{k=1}^{\+infty}a_k $

risulti convergente è che per ogni $ varepsilon>0 $esiste un certo indice $ \nu=\nu(\varepsilon)>0 $ per cui

$ |\sum_{k=n+1}^{n+p}a_k|=|a_{n+1}+...+a_{n+p}| per ogni $ n ge \nu $e per ogni $ p \in \ mathbb{N} $



Osservo che preso $p=n$ si ha

$sum_{k=n+1}^{n+p}=1/(n+1)+...+1/{n+p} <=>sum_{k=n+1}^{2n}=1/(n+1)+...+1/{2n}. $

La quantità a destra sappiamo che risulta essere maggiore o uguale ad $1/2$, dunque, se la serie verificasse il criterio di Cauchy, allora è chiaro che la somma dovrebbe essere piccola a piacere per $n$ sufficientemente grande

Esatto, è così. Poi con un po' di pratica tutte queste parole le puoi condensare in una riga. Quando prendi confidenza con queste robe, ti diventa evidente che \(\lvert \sum_{k=n}^{2n} a_k \rvert \ge C>0\) per ogni \(n\) è sufficiente a dimostrare che \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) non converge, e non ci spendi più tante parole.

Il che, se sei uno studente o una studentessa, aiuta molto il tuo esaminatore, che deve correggere decine di esami e che quindi ama particolarmente la sintesi!

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pilloeffe

3 apr 2023, 22:57

Ciao compa90,

Riassumendo quanto già scritto da coloro che mi hanno preceduto, potrebbe essere di un qualche interesse osservare che si ha:

$ 1/2 \le sum_{k=n+1}^{2n} 1/k = 1/(n+1)+...+1/(2n) < 1 $

Ora si può dimostrare che si ha:

$ 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n} $

vale a dire, in forma più compatta:

$ \sum_{k=1}^{2n} (-1)^{k + 1}/k = \sum_{k=1}^n \frac{1}{2k-1}-\sum_{k=1}^n \frac{1}{2k}=\sum_{k=1}^n \frac{1}{n + k} $

Infatti aggiungendo e sottraendo $ \sum_{k=1}^n \frac{1}{2k}$, si ha:

$\sum_{k=1}^n \frac{1}{2k-1}-\sum_{k=1}^n \frac{1}{2k} + \sum_{k=1}^n \frac{1}{2k} - \sum_{k=1}^n \frac{1}{2k} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{2k-1}+\sum_{k=1}^n \frac{1}{2k} - 2\sum_{k=1}^n \frac{1}{2k} = $
$ = \sum_{k=1}^{2n} 1/k - \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = \sum_{k= n + 1}^{2n} \frac{1}{k} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{n + k} $

Pertanto si ha:

$ 1/2 \le 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n} < 1 $

vale a dire, in forma più compatta:

$ 1/2 \le \sum_{k=1}^{2n} (-1)^{k + 1}/k < 1 $

Se ora facciamo tendere $ n \to +\infty $ si ha:

$ 1/2 \le \sum_{k=1}^{+\infty } (-1)^{k + 1}/k = ln(2) < 1 $

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gugo82

4 apr 2023, 18:57

"dissonanze":Fai bene a fare esperimenti numerici, ma come vedi non puoi usarli come dimostrazione perché puoi prendere gran capocciate.

Questo è quello che cerco di fare capire ai miei studenti del liceo fin dalla prima.
Servono esempi e controesempi fatti apposta, ovviamente, quindi serve avere una galleria da cui attingere alla bisogna.
Un esempio semplice è quello fatto dalle potenze di $11$.

Si ha:

$11^0 = 1$
$11^1 = 11$
$11^2 = 121$
$11^3 = 1331$
$11^4 = 14641$

ed ai secondi membri si riconoscono le stesse regolarità interne al triangolo di Tartaglia/Pascal, sicché uno "ad occhio" sarebbe portato a dire che:

$11^5 = 15101051$...

Ma questo risultato è sbagliato di almeno due ordini di grandezza.

A questo punto i ragazzi intuiscono che "tanti" esempi non costituiscono né sostituiscono una dimostrazione.

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[dissonance]

Hai fatto molti giri di parole ma non hai spiegato perché non vale
\[
\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\ldots +\frac{1}{2n} <1.\]
Questa è l'unica cosa importante, e non l'hai scritta.

Una volta risolto questo problema fondamentale, puoi anche omettere tutti quegli altri discorsi che fai. Anzi, è preferibile, faciliterai la lettura.

[otta96]

Io non ho letto tutto però ti consiglio di prendere $\epsilon=1/2$ e $p=n$, poi concludi in 2 passaggi.

[compa90]

Ciao dissonance!

Io ho scritto questo \[ \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots +\frac{1}{2n} <1, \] questo non risulta essere verificato perché è crescente, e prendendo $n$ abbastanza grande, la precedente non è verificata.
Però io questo già lo scritto... non so cosa vuoi dire, scusami !


Ciao otta96, la quantità $sum_{k=n+1}^{2n}1/k=1/(n+1)+...+1/(2n) ge 1/2$, quindi, se ci fosse convergenza, allora si dovrebbe verificare:
fisso $epsilon=1/2$, esiste $\nu=\nu(epsilon)$ per cui $1/2 le |sum_{k=n+1}^{2n}1/k|<1/2$ per ogni $n ge \nu $ e per ogni $q in NN$.
Questo è falso. Va bene otta96?

[ViciousGoblin]

"compa90":
Io ho scritto questo \[ \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots +\frac{1}{2n} <1, \] questo non risulta essere verificato perché è crescente, e prendendo $n$ abbastanza grande, la precedente non è verificata.

Veramente non è chiaro:
1) come vedi che l'espressione a sinistra dell'eguale è crescente;
2) ammesso che quell'espressione sia crescente, come vedi che prima o poi supera il numero $1$,

Beninteso, la tua disuguaglianza è vera ed è abbastanza semplice da provare....
EDIT. Quanto scritto nell'ultima riga (Beninteso...) è SBAGLIATO! quella somma risulta >$1/2$ (come altri ti hanno detto).

[otta96]

"compa90":$|sum_{k=n+1}^{2n}1/k|<1/2$ per ogni $n ge \nu $

E da dove viene fuori questa cosa?

[compa90]

@ViciusGoblin
Questa relazione \[ \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots +\frac{1}{2n} , \] è maggiore o uguale di $1/2$, perché ogni addendo è maggiore o uguale di $1/(2n)$ inoltre, ci sono $n$ addendi, quindi \[ \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots +\frac{1}{2n} \ge n \ \frac{1}{(2n)}=\frac{1}{2}, \]

Forse mi sono espresso male, l'idea mia è:
Suppongo per assurdo che la serie sia convergente, quindi prendo $epsilon=1/2$ e $q=n$ allora esiste $\nu$, per cui per ogni $n ge \nu$ dovrebbe succedere $|sum_{k=n+1}^{2n}1/k|<1/2 $, questo è falso proprio perché
\[ \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots +\frac{1}{2n} , \] è crescente

Dove sbaglio?

[dissonance]

"compa90":@ViciusGoblin
Questa relazione \[ \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots +\frac{1}{2n} , \] è maggiore o uguale di $1/2$, perché ogni addendo è maggiore o uguale di $1/(2n)$ inoltre, ci sono $n$ addendi, quindi \[ \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots +\frac{1}{2n} \ge n \ \frac{1}{(2n)}=\frac{1}{2}, \]

OK! Ottimo. Basta così. Non occorre tirare in ballo successioni crescenti (di cui non si capisce come provi che sono crescenti), né niente altro. Questa semplice osservazione che hai fatto qui *è* la dimostrazione che la serie \(\sum \frac1n\) fallisce il criterio di Cauchy.

Come si dice: less is more.

Forse mi sono espresso male, l'idea mia è:
Suppongo per assurdo che la serie sia convergente, quindi prendo $epsilon=1/2$ e $q=n$ allora esiste $\nu$, per cui per ogni $n ge \nu$ dovrebbe succedere $|sum_{k=n+1}^{2n}1/k|<1/2 $, questo è falso proprio perché
\[ \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots +\frac{1}{2n} , \] è crescente

Dove sbaglio?

Sbagli nell'impostazione logica. Se la serie verificasse il criterio di Cauchy, allora è chiaro che la somma nel primo quote dovrebbe essere piccola a piacere per \(n\) sufficientemente grande. Hai dimostrato che così non è e quindi Cauchy fallisce. Fine. Qualsiasi cosa aggiungi a questo punto non serve a niente.

[Mephlip]

"compa90":
Io ho scritto questo \[ \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots +\frac{1}{2n} <1, \] questo non risulta essere verificato perché è crescente, e prendendo $n$ abbastanza grande, la precedente non è verificata.

@compa90: In effetti quello che c'è scritto qui è un po' pericoloso, spero che tu non intendessi: "Essendo crescente, preso $n$ abbastanza grande diventa più grande di qualsiasi costante positiva e quindi anche più grande di $1$"

[compa90]

Per evitare di fare quote rispondo a i punti più interessanti.

@dissonance
1) In effetti non l'ho provato formalmente che la successione risulti essere crescente, ma ho visto che per $n=1, 2, 3$, è crescente, poi ad occhio sembra crescente(dalle mie parti si dice masto a uocchio, masto a capocchio )
2)"Se la serie verificasse il criterio di Cauchy, allora è chiaro che la somma nel primo quote dovrebbe essere piccola a piacere per n sufficientemente grande."

Ora se volessi riscriverla per intero, questa "dimostrazione" dovrei procedere cosi:
Provare che la serie

$sum 1/n$

non converge. In tal caso considero il criterio di convergenza di Cauchy


Condizione necessaria e sufficiente affinché la serie

$ \sum_{k=1}^{\+infty}a_k $

risulti convergente è che per ogni $ varepsilon>0 $esiste un certo indice $ \nu=\nu(\varepsilon)>0 $ per cui

$ |\sum_{k=n+1}^{n+p}a_k|=|a_{n+1}+...+a_{n+p}| per ogni $ n ge \nu $e per ogni $ p \in \ mathbb{N} $



Osservo che preso $p=n$ si ha

$sum_{k=n+1}^{n+p}=1/(n+1)+...+1/{n+p} <=>sum_{k=n+1}^{2n}=1/(n+1)+...+1/{2n}. $

La quantità a destra sappiamo che risulta essere maggiore o uguale ad $1/2$, dunque, se la serie verificasse il criterio di Cauchy, allora è chiaro che la somma dovrebbe essere piccola a piacere per $n$ sufficientemente grande, ma cosi non è e quindi il criterio di convergenza di Cauchy fallisce, pertanto la serie non è convergente.
Potrebbe andare bene come dimostrazione?

@Mephlip, voglio dire che quella quantità, quando $n$ è abbastanza grande, diventa maggiore di $1$

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[Mephlip]

Ma è falso. Con un ragionamento analogo a quello che hai fatto per far vedere che è maggiore di $1/2$, hai:
$$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\dots+\frac{1}{2n} \le \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+1}+\dots+\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}<1$$
Per questo ti chiedevo come l'avevi dedotto, e dalla locuzione: "Essendo crescente... preso $n$ abbastanza grande..." pensavo intendessi che, crescendo in $n$, diventasse arbitrariamente grande e quindi più grande di $1$. Che ragionamento avevi fatto?

[compa90]

Hai ragione, ho dedotto niente.....
Ti ringrazio che me l'hai fatto notare !!

Praticamente ho provato per quale valore e ho visto che il valore cresceva....e da questo ho dedotto la crescenza, ma questo è falso... grazie

[Mephlip]

Prego! Tuttavia, non mi sembra che sia arrivato per intero ciò che volevo dire: una successione può essere crescente ma comunque superiormente limitata. La tua è strettamente crescente e limitata. Infatti, posto $S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k}$, hai:
$$S_{n+1} > S_n \iff \sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{n+1+k} > \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k} \iff \sum_{k=2}^{n+2} \frac{1}{n+k}> \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k}$$
$$\iff \frac{1}{2n+2}+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{n+1}+\sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k} > \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k} \iff \frac{1}{2n+2}+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{n+1} >0$$
E l'ultima disuguaglianza è vera per ogni $n\in\mathbb{N}$. Insomma, esistono successioni strettamente crescenti ma che non diventano arbitrariamente grandi.

[dissonance]

"compa90":Per evitare di fare quote rispondo a i punti più interessanti.

@dissonance
1) In effetti non l'ho provato formalmente che la successione risulti essere crescente, ma ho visto che per $n=1, 2, 3$, è crescente, poi ad occhio sembra crescente(dalle mie parti si dice masto a uocchio, masto a capocchio )

Ah ah ah

Adesso ho capito cosa stavi cercando di fare. Fai bene a fare esperimenti numerici, ma come vedi non puoi usarli come dimostrazione perché puoi prendere gran capocciate. (Mi è successo proprio la settimana scorsa di prendere una capocciata esattamente in questa maniera).

2)"Se la serie verificasse il criterio di Cauchy, allora è chiaro che la somma nel primo quote dovrebbe essere piccola a piacere per n sufficientemente grande."

Ora se volessi riscriverla per intero, questa "dimostrazione" dovrei procedere cosi:
Provare che la serie

$sum 1/n$

non converge. In tal caso considero il criterio di convergenza di Cauchy


Condizione necessaria e sufficiente affinché la serie

$ \sum_{k=1}^{\+infty}a_k $

risulti convergente è che per ogni $ varepsilon>0 $esiste un certo indice $ \nu=\nu(\varepsilon)>0 $ per cui

$ |\sum_{k=n+1}^{n+p}a_k|=|a_{n+1}+...+a_{n+p}| per ogni $ n ge \nu $e per ogni $ p \in \ mathbb{N} $



Osservo che preso $p=n$ si ha

$sum_{k=n+1}^{n+p}=1/(n+1)+...+1/{n+p} <=>sum_{k=n+1}^{2n}=1/(n+1)+...+1/{2n}. $

La quantità a destra sappiamo che risulta essere maggiore o uguale ad $1/2$, dunque, se la serie verificasse il criterio di Cauchy, allora è chiaro che la somma dovrebbe essere piccola a piacere per $n$ sufficientemente grande

Esatto, è così. Poi con un po' di pratica tutte queste parole le puoi condensare in una riga. Quando prendi confidenza con queste robe, ti diventa evidente che \(\lvert \sum_{k=n}^{2n} a_k \rvert \ge C>0\) per ogni \(n\) è sufficiente a dimostrare che \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) non converge, e non ci spendi più tante parole.

Il che, se sei uno studente o una studentessa, aiuta molto il tuo esaminatore, che deve correggere decine di esami e che quindi ama particolarmente la sintesi!

[pilloeffe]

Ciao compa90,

Riassumendo quanto già scritto da coloro che mi hanno preceduto, potrebbe essere di un qualche interesse osservare che si ha:

$ 1/2 \le sum_{k=n+1}^{2n} 1/k = 1/(n+1)+...+1/(2n) < 1 $

Ora si può dimostrare che si ha:

$ 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n} $

vale a dire, in forma più compatta:

$ \sum_{k=1}^{2n} (-1)^{k + 1}/k = \sum_{k=1}^n \frac{1}{2k-1}-\sum_{k=1}^n \frac{1}{2k}=\sum_{k=1}^n \frac{1}{n + k} $

Infatti aggiungendo e sottraendo $ \sum_{k=1}^n \frac{1}{2k}$, si ha:

$\sum_{k=1}^n \frac{1}{2k-1}-\sum_{k=1}^n \frac{1}{2k} + \sum_{k=1}^n \frac{1}{2k} - \sum_{k=1}^n \frac{1}{2k} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{2k-1}+\sum_{k=1}^n \frac{1}{2k} - 2\sum_{k=1}^n \frac{1}{2k} = $
$ = \sum_{k=1}^{2n} 1/k - \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = \sum_{k= n + 1}^{2n} \frac{1}{k} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{n + k} $

Pertanto si ha:

$ 1/2 \le 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n} < 1 $

vale a dire, in forma più compatta:

$ 1/2 \le \sum_{k=1}^{2n} (-1)^{k + 1}/k < 1 $

Se ora facciamo tendere $ n \to +\infty $ si ha:

$ 1/2 \le \sum_{k=1}^{+\infty } (-1)^{k + 1}/k = ln(2) < 1 $

[gugo82]

"dissonanze":Fai bene a fare esperimenti numerici, ma come vedi non puoi usarli come dimostrazione perché puoi prendere gran capocciate.

Questo è quello che cerco di fare capire ai miei studenti del liceo fin dalla prima.
Servono esempi e controesempi fatti apposta, ovviamente, quindi serve avere una galleria da cui attingere alla bisogna.
Un esempio semplice è quello fatto dalle potenze di $11$.

Si ha:

$11^0 = 1$
$11^1 = 11$
$11^2 = 121$
$11^3 = 1331$
$11^4 = 14641$

ed ai secondi membri si riconoscono le stesse regolarità interne al triangolo di Tartaglia/Pascal, sicché uno "ad occhio" sarebbe portato a dire che:

$11^5 = 15101051$...

Ma questo risultato è sbagliato di almeno due ordini di grandezza.

A questo punto i ragazzi intuiscono che "tanti" esempi non costituiscono né sostituiscono una dimostrazione.