Verifica che la periodizzata sia una funzione di Classe C1 su tutto l'asse reale

[CallistoBello]

Premettendo che vale la proprietà per cui:
<< se siamo 1.nell'ipotesi: $f in C^1[0,T]$
e valgono le 2. condizioni di raccordo: $f(0)=f(T)$ , $f'(0)=f'(T)$
allora la periodizzata di f è di Classe C1 su tutto R >>



Esercizio: Dire se la periodizzata è $C^1(R)$
$f(x)=x(1-x)$ su $[0,1]$ , riflessa dispari su $[-1,0]$ , periodizzata di periodo:2

Mio ragionamento:
STEP1. Grafichiamo le tre funzioni: f(x), la sua riflessa dispari, la periodizzata di questa riflessa.
STEP2.
- Riconosco che $f(x)$ è un polinomio , dunque è una funzione di classe C infinito su tutto R .
In particolare , sarà di classe C1 sull'intervallo $[0,1]$

- Condizioni di raccordo: $f(x)=x-x^2$, $f'(x)=1-2x$
$f(0)=0=f(1)$
$f'(0^+) != f'(1^-)$

$lim_(x-->0^+) (1-2x)=1$
$lim_(x-->1^-) (1-2x)=-1$

Risultato: la periodizzata non è di classe C1 (R)

Non mi trovo col risultato del libro e non riesco a capire i suggerimenti del testo.
[Soluzione del testo]
1) $f(0^+)=0$, $f'(0^+)=1$ , perciò la riflessa dispari è $C^1(-1,1)$
2)ora, chiamando f la riflessa dispari definita su $[-1,1]$ si ha ora che:
$f(1)=0=f(-1)$,$f'(1)=1=f'(-1)$ perciò la periodizzata è C1 (R)


Mi pare di capire che :
2) siccome , la periodizzata dev'essere della funzione riflessa e non della $f(x)$ di partenza, allora
quella proprietà che ho descritto a capo pagina , va applicata alla funzione in $[-1,1]$ ottenuta dalla riflessione e non alla $f(x)$ su $[0,1]$

1) qui non riesco a capire come fa a dedurre che quella funzione sia di classe C1 semplicemente valutando f ed f' nell'origine.
Suggerimenti?

[ViciousGoblin]

Beh è lo stesso. Se vuoi la ribaltata dispari hai $g(x)=-f(-x)$ per le $x$ negative e dunque $g(-1)=-f(-(-1))=-f(1)$ che di nuovo ha senso.

[CallistoBello]

Ok , c'è il - ottenuto esplicitando il punto $x=-1$

Grazie mille =)