Verifica che la periodizzata sia una funzione di Classe C1 su tutto l'asse reale
Premettendo che vale la proprietà per cui:
<< se siamo 1.nell'ipotesi: $f in C^1[0,T]$
e valgono le 2. condizioni di raccordo: $f(0)=f(T)$ , $f'(0)=f'(T)$
allora la periodizzata di f è di Classe C1 su tutto R >>
Esercizio: Dire se la periodizzata è $C^1(R)$
$f(x)=x(1-x)$ su $[0,1]$ , riflessa dispari su $[-1,0]$ , periodizzata di periodo:2
Mio ragionamento:
STEP1. Grafichiamo le tre funzioni: f(x), la sua riflessa dispari, la periodizzata di questa riflessa.
STEP2.
- Riconosco che $f(x)$ è un polinomio , dunque è una funzione di classe C infinito su tutto R .
In particolare , sarà di classe C1 sull'intervallo $[0,1]$
- Condizioni di raccordo: $f(x)=x-x^2$, $f'(x)=1-2x$
$f(0)=0=f(1)$
$f'(0^+) != f'(1^-)$
$lim_(x-->0^+) (1-2x)=1$
$lim_(x-->1^-) (1-2x)=-1$
Risultato: la periodizzata non è di classe C1 (R)
Non mi trovo col risultato del libro e non riesco a capire i suggerimenti del testo.
[Soluzione del testo]
1) $f(0^+)=0$, $f'(0^+)=1$ , perciò la riflessa dispari è $C^1(-1,1)$
2)ora, chiamando f la riflessa dispari definita su $[-1,1]$ si ha ora che:
$f(1)=0=f(-1)$,$f'(1)=1=f'(-1)$ perciò la periodizzata è C1 (R)
Mi pare di capire che :
2) siccome , la periodizzata dev'essere della funzione riflessa e non della $f(x)$ di partenza, allora
quella proprietà che ho descritto a capo pagina , va applicata alla funzione in $[-1,1]$ ottenuta dalla riflessione e non alla $f(x)$ su $[0,1]$
1) qui non riesco a capire come fa a dedurre che quella funzione sia di classe C1 semplicemente valutando f ed f' nell'origine.
Suggerimenti?
<< se siamo 1.nell'ipotesi: $f in C^1[0,T]$
e valgono le 2. condizioni di raccordo: $f(0)=f(T)$ , $f'(0)=f'(T)$
allora la periodizzata di f è di Classe C1 su tutto R >>
Esercizio: Dire se la periodizzata è $C^1(R)$
$f(x)=x(1-x)$ su $[0,1]$ , riflessa dispari su $[-1,0]$ , periodizzata di periodo:2
Mio ragionamento:
STEP1. Grafichiamo le tre funzioni: f(x), la sua riflessa dispari, la periodizzata di questa riflessa.
STEP2.
- Riconosco che $f(x)$ è un polinomio , dunque è una funzione di classe C infinito su tutto R .
In particolare , sarà di classe C1 sull'intervallo $[0,1]$
- Condizioni di raccordo: $f(x)=x-x^2$, $f'(x)=1-2x$
$f(0)=0=f(1)$
$f'(0^+) != f'(1^-)$
$lim_(x-->0^+) (1-2x)=1$
$lim_(x-->1^-) (1-2x)=-1$
Risultato: la periodizzata non è di classe C1 (R)
Non mi trovo col risultato del libro e non riesco a capire i suggerimenti del testo.
[Soluzione del testo]
1) $f(0^+)=0$, $f'(0^+)=1$ , perciò la riflessa dispari è $C^1(-1,1)$
2)ora, chiamando f la riflessa dispari definita su $[-1,1]$ si ha ora che:
$f(1)=0=f(-1)$,$f'(1)=1=f'(-1)$ perciò la periodizzata è C1 (R)
Mi pare di capire che :
2) siccome , la periodizzata dev'essere della funzione riflessa e non della $f(x)$ di partenza, allora
quella proprietà che ho descritto a capo pagina , va applicata alla funzione in $[-1,1]$ ottenuta dalla riflessione e non alla $f(x)$ su $[0,1]$
1) qui non riesco a capire come fa a dedurre che quella funzione sia di classe C1 semplicemente valutando f ed f' nell'origine.
Suggerimenti?
Risposte
1) La funzione f composta dalla funzione originale e dalla sua riflessa dispari è sicuramente $C^1 (-1,0)uu(0,1)$ perchè unione di 2 funzioni rispettivamente $C^1 (-1,0)$ la funzione riflessa e $C^1 (0,1)$ la funzione originale.
Quindi basta controllare cosa succede in x=0.
2) Si, bisogna applicarla alla funzione composta che ha periodo 2 ed è quella periodizzata
Quindi basta controllare cosa succede in x=0.
2) Si, bisogna applicarla alla funzione composta che ha periodo 2 ed è quella periodizzata
Ciao CallistoBello,
Non so bene cosa intendi per "riflessa dispari" e magari mi sbaglio, ma a sentimento mi pare che la funzione da rendere periodica sia una funzione "simil sinusoide" tipo questa
Non so bene cosa intendi per "riflessa dispari" e magari mi sbaglio, ma a sentimento mi pare che la funzione da rendere periodica sia una funzione "simil sinusoide" tipo questa
"ingres":
1) La funzione f composta dalla funzione originale e dalla sua riflessa dispari è sicuramente $C^1 (-1,0)U(0,1)$ perchè unione di 2 funzioni rispettivamente $C^1 (-1,0)$ la funzione riflessa e $C^1 (0,1)$ la funzione originale.
Quindi basta controllare cosa succede in x=0.
E puoi affermare questo perché :
la restrizione all'intervallo [-1,0] della riflessa dispari ha espressione: $g(x)=-f(-x)= -(-x)(1+x)=x(1+x)$.
Essendo $g(x)$ ancora una funzione polinomiale essa è derivabile con continuità infinite volte su tutto R (in particolare nell'aperto (-1,0) )
A questo punto , mi interrogo sul punto $x=0$
- Continuità in quel punto:
Guardando il grafico si ha che :$f(0^+)=0=g(0^-)$
- Derivabile con continuità in quel punto: verifico che il limite della derivata prima g(x) dalla sinistra di x=0 sia uguale al limite della derivata prima di f(x) dalla destra di x=0
$g'(x)=2x+1 $ , $f'(x)=1-2x$
$lim_(x->0^-) (2x+1)=1$ che coincide con $lim_(x->0^+) (-2x+1)=1$
Non mi devo interrogare sui punti $x=-1$ ed $x=1$ ?
Poniamo $f(x)=x(1-x)$. Allora la riflessa di $f$ che chiamo $\tilde f$ è data da
$\tilde f (x)=.-f(-x)=-((-x)(1-(-x)))=x(1+x)$.
Ora bisogna considerare $f(x)$ per $0\leq x\leq 1$ e $\tilde f (x)$ per $-1\leq x\leq 0$
ed estendere a tutto $\mathbb{R}$ in modo $2$-periodico. Per avere che la funzione finale è $C^1$ bisogna che:
$f(0)=0$ (da cui la continuità in $0$), OK
$f(1)=\tilde f(-1)=-f(1)$, ma $f(1)=0$ per cui OK
$f'_+ (0)=\tilde f'_- (0)$, ma $f'_+(0)=1=\tilde f'_-(0)$ OK
$f'_- (1)=\tilde f'_+ (-1)$, ma $f'_-(1)=-1=\tilde f'_+ (-1)$ OK.
Scusate ma non riesco a fare stare le tilde al loro posto senza che si estendano fuori da $f$....
$\tilde f (x)=.-f(-x)=-((-x)(1-(-x)))=x(1+x)$.
Ora bisogna considerare $f(x)$ per $0\leq x\leq 1$ e $\tilde f (x)$ per $-1\leq x\leq 0$
ed estendere a tutto $\mathbb{R}$ in modo $2$-periodico. Per avere che la funzione finale è $C^1$ bisogna che:
$f(0)=0$ (da cui la continuità in $0$), OK
$f(1)=\tilde f(-1)=-f(1)$, ma $f(1)=0$ per cui OK
$f'_+ (0)=\tilde f'_- (0)$, ma $f'_+(0)=1=\tilde f'_-(0)$ OK
$f'_- (1)=\tilde f'_+ (-1)$, ma $f'_-(1)=-1=\tilde f'_+ (-1)$ OK.
Scusate ma non riesco a fare stare le tilde al loro posto senza che si estendano fuori da $f$....
"ViciousGoblin":
Poniamo $ f(x)=x(1-x) $. Allora la riflessa di $ f $ che chiamo $ \tilde f $ è data da
$ \tilde f (x)=.-f(-x)=-((-x)(1-(-x)))=x(1+x) $.
Ora bisogna considerare $ f(x) $ per $ 0\leq x\leq 1 $ e $ \tilde f (x) $ per $ -1\leq x\leq 0 $
ed estendere a tutto $ \mathbb{R} $ in modo $ 2 $-periodico. Per avere che la funzione finale è $ C^1 $ bisogna che:
$ f(0)=0 $ (da cui la continuità in $ 0 $), OK
$ f(1)=\tilde f(-1)=-f(1) $, ma $ f(1)=0 $ per cui OK
$ f'_+ (0)=\tilde f'_- (0) $, ma $ f'_+(0)=1=\tilde f'_-(0) $ OK
$ f'_- (1)=\tilde f'_+ (-1) $, ma $ f'_-(1)=-1=\tilde f'_+ (-1) $ OK.
Scusate ma non riesco a fare stare le tilde al loro posto senza che si estendano fuori da $ f $....
Ok , quindi così facendo abbiamo esaminato "la derivabilità con continuità" negli estremi x=-1, x=0, x=1
dei due intervalli: (-1,0) U (0,1).
Mi chiedo: come mai il testo , al fine di poter applicare la proprietà in prima pagina , si è fermato alla
"derivabilità con continuità " in (-1,1) , disinteressandosi degli estremi $x=-+1$ ?
Il più delle volte per controllare la bontà di una risposta basta fare un disegno...
Questa è la cella di periodicità con la funzione assegnata (rosso) ed il suo prolungamento dispari a $[-1,1]$ (arancio):
[asvg]xmin=-4; xmax=4; ymin=-2; ymax= 2;
axes("","");
strokewidth=2;
stroke="red"; plot("x*(1-x)",0,1);
stroke="orange"; plot("x*(1+x)",-1,0);[/asvg]
ed il prolungamento periodico di periodo $2$ ad $RR$ (porpora) è:
[asvg]xmin=-4; xmax=4; ymin=-2; ymax= 2;
axes("","");
strokewidth=2;
stroke="red"; plot("x*(1-x)",0,1); plot("x*(1+x)",-1,0);
stroke="purple"; plot("(x-2)*(3-x)",2,3); plot("(x-2)*(-1+x)",1,2);
plot("(x-4)*(5-x)",4,5); plot("(x-4)*(-3+x)",3,4);
plot("-(x+2)*(1+x)",-2,-1); plot("(x+2)*(3+x)",-3,-2);
plot("-(3+x)*(4+x)",-4,-3); plot("(x+4)*(5+x)",-5,-4);[/asvg]
Il grafico mi sembra molto $C^1$, no?
Questa è la cella di periodicità con la funzione assegnata (rosso) ed il suo prolungamento dispari a $[-1,1]$ (arancio):
[asvg]xmin=-4; xmax=4; ymin=-2; ymax= 2;
axes("","");
strokewidth=2;
stroke="red"; plot("x*(1-x)",0,1);
stroke="orange"; plot("x*(1+x)",-1,0);[/asvg]
ed il prolungamento periodico di periodo $2$ ad $RR$ (porpora) è:
[asvg]xmin=-4; xmax=4; ymin=-2; ymax= 2;
axes("","");
strokewidth=2;
stroke="red"; plot("x*(1-x)",0,1); plot("x*(1+x)",-1,0);
stroke="purple"; plot("(x-2)*(3-x)",2,3); plot("(x-2)*(-1+x)",1,2);
plot("(x-4)*(5-x)",4,5); plot("(x-4)*(-3+x)",3,4);
plot("-(x+2)*(1+x)",-2,-1); plot("(x+2)*(3+x)",-3,-2);
plot("-(3+x)*(4+x)",-4,-3); plot("(x+4)*(5+x)",-5,-4);[/asvg]
Il grafico mi sembra molto $C^1$, no?
"CallistoBello":
Ok , quindi così facendo abbiamo esaminato "la derivabilità con continuità" negli estremi x=-1, x=0, x=1
dei due intervalli: (-1,0) U (0,1).
Mi chiedo: come mai il testo , al fine di poter applicare la proprietà in prima pagina , si è fermato alla
"derivabilità con continuità " in (-1,1) , disinteressandosi degli estremi $x=-+1$ ?
In effetti le proprietà della derivata sono automatiche per costruzione. Se chiami $g(x):=-f(-x)$ (ho eliminato la tilde...) allora $g'(-x)=-f'(-(-x))(-1)=f'(x)$. Quindi le verifiche sulla derivata non servono. Puoi fare lo stesso discorso sulla funzione: $g(-x)=-f(-(-x))=-f(x)$. Questo ti dice che la condizione di raccordo è $f(0)=f(1)=0$.
"gugo82":
...
Il grafico mi sembra molto $C^1$, no?
Fantastico, gugo82!
Una nuova categoria di metodi di prova?
Dopo le dim per intimidazione, con un esempio, agitando le mani, etc., etc.
Questa non mi sembra che rientri nelle categorie note. O sì? Magari mi è sfuggito
[size=85]PS: l'importanza di (saper) fare degli esempi non sarà mai sopravvalutata[/size]
"ViciousGoblin":
In effetti le proprietà della derivata sono automatiche per costruzione. Se chiami $ g(x):=-f(-x) $ (ho eliminato la tilde...) allora $ g'(-x)=-f'(-(-x))(-1)=f'(x) $. Quindi le verifiche sulla derivata non servono. Puoi fare lo stesso discorso sulla funzione: $ g(-x)=-f(-(-x))=-f(x) $. Questo ti dice che la condizione di raccordo è $ f(0)=f(1)=0 $.
Sono automatiche , ma solo perché siamo nel caso particolare di una funzione dispari ?
Se la funzione da periodizzare non fosse stata la riflessa dispari di una certa f(x), allora
per verificare che la periodizzata sia o meno di classe C1 sull'asse dei reali,
avrei dovuto comunque interrogarmi sulla derivabilità con continuità negli estremi $x=a$ ed $x=b$ di un intervallo $[a,b]$ oppure mi sarebbe bastato sapere che la funzione è C1 "nell' aperto" $(a,b)$ ?
Rileggiamo il titolo dell'OP: "Verifica che la periodizzata sia una funzione di Classe C1 su tutto l'asse reale"
Ti è ben chiaro cosa significa funzione di classe $C^{(1)}(\RR) $?
I raccordi tra la funzione (quella che ti ho mostrato nel mio post, che è stato ignorato, ma poi ripreso da gugo82 nel suo) e la stessa funzione traslata con periodo multiplo di $2$ a destra e a sinistra in modo da renderla periodica non possono essere "bruschi", non ci possono essere punti angolosi, perché altrimenti la derivata prima non sarebbe continua e quindi la funzione resa periodica non potrebbe essere di classe $C^{(1)}(\RR) $...
Ti è ben chiaro cosa significa funzione di classe $C^{(1)}(\RR) $?
I raccordi tra la funzione (quella che ti ho mostrato nel mio post, che è stato ignorato, ma poi ripreso da gugo82 nel suo) e la stessa funzione traslata con periodo multiplo di $2$ a destra e a sinistra in modo da renderla periodica non possono essere "bruschi", non ci possono essere punti angolosi, perché altrimenti la derivata prima non sarebbe continua e quindi la funzione resa periodica non potrebbe essere di classe $C^{(1)}(\RR) $...
"Fioravante Patrone":
[quote="gugo82"]
...
Il grafico mi sembra molto $C^1$, no?
Fantastico, gugo82!
Una nuova categoria di metodi di prova?
Dopo le dim per intimidazione, con un esempio, agitando le mani, etc., etc.
Questa non mi sembra che rientri nelle categorie note. O sì? Magari mi è sfuggito[/quote]
Ti è sfuggito... Sono anni che lo uso, mentre tu pensi ai cavalli!
"Fioravante Patrone":
[size=85]PS: l'importanza di (saper) fare degli esempi non sarà mai sopravvalutata[/size]
Qui non si tratta nemmeno di (saper) fare degli esempi, ma di (saper) usare gli occhi per osservare e non solo per guardare... Che poi è la base di ogni possibile alfabetizzazione scientifica.
Come cavolo si fa ad affermare che:
"CallistoBello":
Risultato: la periodizzata non è di classe $C^1 (RR)$.
avendo un disegno fatto decentemente davanti agli occhi?
E, se non lo si ha sotto gli occhi, come cavolo si fa a non farlo in due secondi netti?[nota]Soprattutto perché l'andamento grafico di funzioni polinomiali di secondo grado è noto dalla seconda superiore... Che diamine![/nota]
"CallistoBello":
Sono automatiche , ma solo perché siamo nel caso particolare di una funzione dispari ?
Se la funzione da periodizzare non fosse stata la riflessa dispari di una certa f(x), allora
per verificare che la periodizzata sia o meno di classe C1 sull'asse dei reali,
avrei dovuto comunque interrogarmi sulla derivabilità con continuità negli estremi $x=a$ ed $x=b$ di un intervallo $[a,b]$ oppure mi sarebbe bastato sapere che la funzione è C1 "nell' aperto" $(a,b)$ ?
Sì sono automatiche perché $f$ è estesa a $[-1,0]$ in modo dispari. Nota che se l'avessi estesa in modo pari sarebbe automatico che si raccordano i valori della funzione mentre avresti un problema per la derivata.
Nel caso invece in cui hai $f:[a,b]:\to\mathbb{R}$ e vuoi "periodicizzarla" (con periodo $T=b-a$) ottenendo una funzione $C^1$ ti serve che $f(a)=f(b)$ e $f'(a)=f'(b)$.
"ViciousGoblin":
Nota che se l'avessi estesa in modo pari sarebbe automatico che si raccordano i valori della funzione mentre avresti un problema per la derivata.
Perché il grafico che si ottiene tramite una riflessione rispetto all'asse y presenta una cuspide in $x=0$
e dunque periodizzandola si ha negli estremi dei singoli intervalli dei punti di non derivabilità.
Dubbio:
Questo discorso però vale in generale
(qualunque sia la il grafico f(x) che ribalto rispetto all'asse y e poi periodizzo)
oppure è legato al caso specifico della funzione $f(x)$ presa in considerazione?
"pilloeffe":
Ti è ben chiaro cosa significa funzione di classe C(1)(R)?
Una funzione continua in ogni punto dell' asse x , derivabile in tali punti , con derivate anch'esse continue.
"pilloeffe":
e la stessa funzione traslata con periodo multiplo di $ 2 $ a destra e a sinistra in modo da renderla periodica non possono essere "bruschi", non ci possono essere punti angolosi, perché altrimenti la derivata prima non sarebbe continua e quindi la funzione resa periodica non potrebbe essere di classe $ C^{(1)}(\RR) $...
E sono d'accordo.
Ma il tuo discorso presuppone di arrivare alla conclusione "osservando il grafico".
Non è quello che volevo fare. Il mio intento era di arrivare alla conclusione utilizzando la proprietà messa in prima pagina.
La conclusione errata " non è di classe C1" è dovuta al fatto di aver applicato quella proprietà alla $f(x)$ di partenza , non alla riflessa dispari.
Inoltre, quello che poi non mi era chiaro era "perché il libro avesse controllato le condizioni di raccordo nel punto $x=0$ (che separa $f(x)$ dalla sua riflessa $g(x)$) e non negli estremi $x=-1$ ed $x=1$"
Motivo:
"ViciousGoblin":
f(1)=f(−1)˜=−f(1), ma f(1)=0 per cui OK
f'+(0)=f˜'−(0), ma f'+(0)=1=f˜'−(0) OK
f'−(1)=f˜'+(−1), ma f'−(1)=−1=f˜'+(−1) OK.
Discorso che si generalizza a tutti i punti simmetrici rispetto all'asse y , a causa della riflessione dispari.
"CallistoBello":
Perché il grafico che si ottiene tramite una riflessione rispetto all'asse y presenta una cuspide in $x=0$
e dunque periodizzandola si ha negli estremi dei singoli intervalli dei punti di non derivabilità.
Dubbio:
Questo discorso però vale in generale
(qualunque sia la il grafico f(x) che ribalto rispetto all'asse y e poi periodizzo)
oppure è legato al caso specifico della funzione $f(x)$ presa in considerazione?
Non ho capito il dubbio. Riassumiamo la situazione.
1) Se $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ è $C^1$ su $[a,b]$ (in $a$ c'è la derivata destra in $b$ quella sinistra), allora la periodicizzata è $C^1$ se e solo se $f(a)=f(b)$, $f'_+(a)=f'_-$ $(b)$.
2) Se $f:[0,L]\to\mathbb{R}$ è $C^1$ su $[0,L]$ e se ribalto in modo pari su $[-L,0]$ e poi periodicizzo, ottengo una funzione $C^1$ se e solo se $f'_+(0)=f'_-$ $ (L)=0$ (no condizioni su $f(0)$ e $f(L)$.
3) Se $f:[0,L]\to\mathbb{R}$ è $C^1$ su $[0,L]$ e se ribalto in modo dispari su $[-L,0]$ e poi periodicizzo, ottengo una funzione $C^1$ se e solo se $f(0)=f(L)=0$ (no condizioni su $f'_+(0)$ e $f'_-$ $(L)$.
"ViciousGoblin":
2) Se $f:[0,L]\to\mathbb{R}$ è $C^1$ su $[0,L]$ e se ribalto in modo pari su $[-L,0]$ e poi periodicizzo, ottengo una funzione $C^1$ se e solo se $f'_+(0)=f'_-$ $ (L)=0$ (no condizioni su $f(0)$ e $f(L)$..
3) Se f:[0,L]→R è C1 su [0,L] e se ribalto in modo dispari su [−L,0] e poi periodicizzo, ottengo una funzione C1 se e solo se f(0)=f(L)=0 (no condizioni su f'+(0) e f'− (L)
2)Perché puoi dire che $f(0)=f(L)$ è sempre verificata per le funzioni che ribalto in maniera pari?
3)Perché puoi dire che $f'+(0)= f'− (L)$ è sempre verificata per le funzioni che ribalto in maniera dispari?
"CallistoBello":
[quote="ViciousGoblin"]
2) Se $f:[0,L]\to\mathbb{R}$ è $C^1$ su $[0,L]$ e se ribalto in modo pari su $[-L,0]$ e poi periodicizzo, ottengo una funzione $C^1$ se e solo se $f'_+(0)=f'_-$ $ (L)=0$ (no condizioni su $f(0)$ e $f(L)$..
3) Se f:[0,L]→R è C1 su [0,L] e se ribalto in modo dispari su [−L,0] e poi periodicizzo, ottengo una funzione C1 se e solo se f(0)=f(L)=0 (no condizioni su f'+(0) e f'− (L)
2)Perché puoi dire che $f(0)=f(L)$ è sempre verificata per le funzioni che ribalto in maniera pari?
3)Perché puoi dire che $f'+(0)= f'− (L)$ è sempre verificata per le funzioni che ribalto in maniera dispari?[/quote]
Il caso dispari l'avevo già spiegato qualche messaggio fa. Comunque supponiamo $f:[0,L]\to\mathbb{R}$ di classe $C^1$ su $[0,L]$ (nel seguito $f'(0)$ è la derivata destra di $f$ in zero e $f'(L)$ è la derivata sinistra di $f$ in $L$).
2) definisco la ribaltata pari $p:[-L,L]$ mediante la relazione:
$p(x)=f(x)$ se $0\leq x\leq L$ e $p(x)=f(-x)$ se $-L\leq x\leq 0$.
Sembrerebbe che per $x=0$ ci siano due definizioni ma il problema non c'è dato che $f(-0)=f(0)$; per lo stesso motivo $p$ è continua in zero. Si verifica facilmente che $p$ è una funzione pari; in particolare $p(L)=p(-L)=f(L)$. Questo ci dice che la periodicizzata (di periodo $2L$) è continua. Vediamo la derivata di $p$. Se $x>0$ si ha $p'(x)=f'(x)$, se invece $x<0$
$p'(x)=\frac{d}{dx}f(-x)=-f'(-x)=-p'(-x)$ ($p'$ è dispari!). Facendo il limite in zero ho $p'_+(0)=f'(0)$ mentre $p'_-$ $(0)=-f'(0)$.
Se voglio che $p$ sia derivabile in zero dovrà essere $-f'(0)=p'_-$ $(0)=p'_+(0)=f'(0)$ e quindi $f'(0)=0$ (e viceversa questa condizione è sufficiente). Se voglio che la periodicizzata sia $C^1$ dovrò avere $p'(-L)=p'(L)=-p'(L)$ che mi dà $p'(L)=f'(L)=0$ ( e viceversa questo è sufficiente).
Dunque perché il caso pari funzioni serve e basta che $f'(0)=f'(L)=0$.
3) definisco la ribaltata dispari $d:[-L,L]$ mediante la relazione:
$d(x)=f(x)$ se $0< x\leq L$ e $d(x)=-f(-x) $ se $-L\leq x<0$.
In questo caso se voglio che $d$ sia dispari devo mettere $d(0)=0$ e per la continuità in zero trovo la condizione $f(0)=-f(-0)=0$. Se poi voglio che la periodicizzata sia continua trovo $f(L)=d(L)=d(-L)=-f(-L)$, cioè $f(L)=0$. Per quanto riguarda $d'$, ragionando come prima vedi che $d'$ è pari. Dunque si raccorda bene sia in zero che in $-L$/$L$ e non ti dà problemi.
Alla fine per il caso dispari basta $f(0)=f(L)=0$.
Sia le proprietà che la loro spiegazione mi sono chiare .
Ho applicato la 3) al caso di : $f(x)=x^2logx$ su $[0,1]$ , riflessa dispari su $[-1,0]$, periodicizzata di periodo:2
1. $f(x)inC^1[0,1]$ perché è il prodotto della funzione potenza (che è di classe C infinito su R, perché è derivabile infinite volte, con derivate costanti) per la funzione logaritmo (che è di classe C infinito su R privato dell'origine , in quanto $1/x$ non è definita in 0)
2. $f(0^+)=lim_(x-->0^+) lnx/1/x^2= lim_(x-->0^+) 1/x/(-2/x^3)= -1/2lim_(x-->0^+) x^2=0$
$f(1^-)=log(1)=0$
(no condizione f'(0^+)=f'(1^-) )
Risultato: la periodizzata è di classe C1 su R.
Però ho notato che : se provassi ad utilizzare la proprietà 1) , per verificare le condizioni di raccordo , mi ritroverei a dover calcolare:
$ g(-1)=-f(-1)= -1 log(-1)$ , che non ha senso !
Mi chiedo: quella proprietà generale, la 1) ,
vale ancora nel caso della ribaltata dispari ?
Oppure va applicata solo nel caso di funzioni $f(x)$ non ribaltate?
Ho applicato la 3) al caso di : $f(x)=x^2logx$ su $[0,1]$ , riflessa dispari su $[-1,0]$, periodicizzata di periodo:2
1. $f(x)inC^1[0,1]$ perché è il prodotto della funzione potenza (che è di classe C infinito su R, perché è derivabile infinite volte, con derivate costanti) per la funzione logaritmo (che è di classe C infinito su R privato dell'origine , in quanto $1/x$ non è definita in 0)
2. $f(0^+)=lim_(x-->0^+) lnx/1/x^2= lim_(x-->0^+) 1/x/(-2/x^3)= -1/2lim_(x-->0^+) x^2=0$
$f(1^-)=log(1)=0$
(no condizione f'(0^+)=f'(1^-) )
Risultato: la periodizzata è di classe C1 su R.
Però ho notato che : se provassi ad utilizzare la proprietà 1) , per verificare le condizioni di raccordo , mi ritroverei a dover calcolare:
$ g(-1)=-f(-1)= -1 log(-1)$ , che non ha senso !
Mi chiedo: quella proprietà generale, la 1) ,
vale ancora nel caso della ribaltata dispari ?
Oppure va applicata solo nel caso di funzioni $f(x)$ non ribaltate?
"CallistoBello":
quella proprietà generale, la 1) ,
vale ancora nel caso della ribaltata dispari ?
Oppure va applicata solo nel caso di funzioni $f(x)$ non ribaltate?
Va applicata quando le funzioni sono definite: $log(x) $ non è definita per $x \le 0 $
"CallistoBello":
Però ho notato che : se provassi ad utilizzare la proprietà 1) , per verificare le condizioni di raccordo , mi ritroverei a dover calcolare:
$ g(-1)=-f(-1)= -1 log(-1)$ , che non ha senso !
Ti sbagli. La ribaltata pari è definita da $g(x)=f(-x)$ per le $x$ negative.
Dunque $g(-1)=f(-(-1))=f(1)$ che ha perfettamente senso.
"ViciousGoblin":
[quote="CallistoBello"]
Però ho notato che : se provassi ad utilizzare la proprietà 1) , per verificare le condizioni di raccordo , mi ritroverei a dover calcolare:
$ g(-1)=-f(-1)= -1 log(-1)$ , che non ha senso !
Ti sbagli. La ribaltata pari è definita da $g(x)=f(-x)$ per le $x$ negative.
Dunque $g(-1)=f(-(-1))=f(1)$ che ha perfettamente senso.[/quote]
Però,nell'esercizio si parla di ribaltata dispari
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