Variare della variabili K

[Stizzens]

Determinare al variare del parametro k il valore del seguente limite
$ lim x->infty (kx^2-2kx)/((2k-1)x+3k $
io per prima cosa ho fatto il prodotto del temine fra parentesi nel denominatore dopo di che ho calcolato il limite nel caso di k=0 k<0 e k>0
k=0 il risultato del limite è 0
k<0 il risultato del limite è - $ infty $
k>0 il risultato del limite è - $ infty $
è giusto il ragionamento o sbaglio qualcosa?
come sempre grazie in anticipo a tutti quelli che risponderanno

[seb1]

"Stizzens":è giusto il ragionamento o sbaglio qualcosa?

Quale ragionamento?
In ogni caso, escluso il caso banale \(k=0\):\[\lim_{x\to\pm\infty}\frac{kx^2-2kx}{(2k-1)x+3k}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x-2}{2-\frac{1}{k}+\frac{3}{x}}=\pm\operatorname{sgn}\left(2-\frac{1}{k}\right)\cdot\infty,\>\forall k\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\]dove\[\operatorname{sgn}(t):=\begin{cases}+1,\quad t>0\\-1,\quad t<0\end{cases}\]

[Stizzens]

"seb":[quote="Stizzens"]è giusto il ragionamento o sbaglio qualcosa?

Quale ragionamento?
In ogni caso, escluso il caso banale \(k=0\):\[\lim_{x\to\pm\infty}\frac{kx^2-2kx}{(2k-1)x+3k}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x-2}{2-\frac{1}{k}+\frac{3}{x}}=\pm\operatorname{sgn}\left(2-\frac{1}{k}\right)\cdot\infty,\>\forall k\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\]dove\[\operatorname{sgn}(t):=\begin{cases}+1,\quad t>0\\-1,\quad t<0\end{cases}\][/quote]
A cosa hai sostituito k per avere quel limite?

[seb1]

Non ho capito la domanda: \(k\) non l'ho sostituita a niente. Per passare, però, da questo limite \(\lim_{x\to\pm\infty}\frac{kx^2-2kx}{(2k-1)x+3k}\) a quest'altro \(\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x-2}{2-\frac{1}{k}+\frac{3}{x}}\) numeratore e denominatore vanno divisi per \(kx\), operazione consentita solamente nel caso in cui \(k\neq0\). Perciò si distinguono due casi: \(k\) nulla e \(k\) non nulla. Il primo caso è identicamente nullo, il secondo porge una soluzione che dipende dal segno di \(2-\frac{1}{k}\). C'è qualcosa che non è chiaro?

[Stizzens]

"seb":Non ho capito la domanda: \(k\) non l'ho sostituita a niente. Per passare, però, da questo limite \(\lim_{x\to\pm\infty}\frac{kx^2-2kx}{(2k-1)x+3k}\) a quest'altro \(\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x-2}{2-\frac{1}{k}+\frac{3}{x}}\) numeratore e denominatore vanno divisi per \(kx\), operazione consentita solamente nel caso in cui \(k\neq0\). Perciò si distinguono due casi: \(k\) nulla e \(k\) non nulla. Il primo caso è identicamente nullo, il secondo porge una soluzione che dipende dal segno di \(2-\frac{1}{k}\). C'è qualcosa che non è chiaro?

Io perchè voglio capire in generale quale è il procedimento da seguire in questi casi, cioè nei casi in cui chiede il variare della variabile K, perchè hai diviso per $ kx $ per avere solo una K?
scusa se sembra che sono cascato dalle nuvole

[seb1]

Sì, uno dei primi passi qui (e generalmente nella risoluzione di esercizi di matematica) è la semplificazione delle espressioni e dei termini in gioco. Questo perché una volta che la scrittura è semplificata risulta più facile capire come si comportano gli elementi che compaiono nel problema. Ad esempio, già solamente raccogliendo a fattor comune al numeratore\[\frac{kx^2-2kx}{(2k-1)x+3k}=\frac{x-2}{(2k-1)x+3k}kx\]la scrittura si chiarifica tanto da porgere la soluzione. Infatti, avendo assunto \(k\) reale finito, il termine \(|(2k-1)x|\) sarà sempre enormemente maggiore di \(|3k|\) per \(x\to\infty\). Allora, tale secondo addendo non influisce sulla divisione e ce lo si può scordare, da cui:\[\lim_{x\to\infty}\frac{x-2}{(2k-1)x}kx=\lim_{x\to\infty}\frac{x-2}{2k-1}k\]Dunque il risultato del limite ha il segno di \(\frac{k}{2k-1}\), perciò ti basta risolvere\[\frac{k}{2k-1}>0\]e hai risolto.