Variabili ambigue nell'integrazione per sostituzione
Domanda scema, ma quando negli integrali per sostituzione cambio variabile in cose come $\cos x=t$...se voglio usare il teorema sono costretto a calcolarmi $x=\arccos t$ e quindi $(dx)/(dt)=1/(\sqrt(1-t^2))$.
Il mio dubbio nasce dal fatto che la scrittura $x=\arccos t$ è vera solo quando x è compreso tra $-\pi$ e $\pi$...se ho un integrale indefinito (o definita in un altro intervallo di valori) come faccio?
Stessa domanda per sostituzioni del tipo $x^2=t$. Mi trovo $x=\pm \sqrt t$. Calcolando quindi $(dx)/(dt)$ mi trovo due valori diversi...quali devo mettere nell'integrale quando faccio la sostituzione?
Il mio dubbio nasce dal fatto che la scrittura $x=\arccos t$ è vera solo quando x è compreso tra $-\pi$ e $\pi$...se ho un integrale indefinito (o definita in un altro intervallo di valori) come faccio?
Stessa domanda per sostituzioni del tipo $x^2=t$. Mi trovo $x=\pm \sqrt t$. Calcolando quindi $(dx)/(dt)$ mi trovo due valori diversi...quali devo mettere nell'integrale quando faccio la sostituzione?
Risposte
Non ho capito la domanda...
se faccio un cambio di variabili e quindi mi limito a conoscere un insieme di primitive di f ristretta a un intervallo, siccome studiare tutti i vari intervalli separatamente è orribilmente macchinoso...mi chiedevo se potessi risparmiarmi il lavoro DERIVANDO l'espressione ottenuta come primitiva...se ottengo l'integranda iniziale allora ho una conferma che quella è effettivamente una primitiva di f in tutto l'intervallo di definizione di f stesso..
ESEMPIO
$\int 1/(\sin x)$.
Poniamo $v=\sin(x)$ (1), da cui $x=\arcsin v$. Con questa sostituzione cerchiamo una primitiva di f ristretta all'intervallo $[-\pi/2,pi/2]$.
$(dx)/(dv)=1/(sqrt(1-v^2))$
Per il teorema di integrazione per sostituzione l'integrale di partenza si riscrive
$\int 1/(v\sqrt(1-v^2))dv$
Non sto a risolvermi quest'integrale, il risultato preciso non mi interessa. Integrando quella roba diciamo che mi viene un $F(v)$, che diventa una certa $G(x)$ sostituendo la $v$ con la $x$ tramite la (1).
$G(x)$ è una primitiva di f ristretta all'intervallo $[-pi/2,pi/2]$. La mia idea è...
Derivo G(x), e mi ritrovo di nuovo $1/(\sin(x))$. Questo è sufficiente per assicurarmi che $G(x)$ è una primitiva di $1/(\sin(x))$ in tutto il suo dominio?
ESEMPIO
$\int 1/(\sin x)$.
Poniamo $v=\sin(x)$ (1), da cui $x=\arcsin v$. Con questa sostituzione cerchiamo una primitiva di f ristretta all'intervallo $[-\pi/2,pi/2]$.
$(dx)/(dv)=1/(sqrt(1-v^2))$
Per il teorema di integrazione per sostituzione l'integrale di partenza si riscrive
$\int 1/(v\sqrt(1-v^2))dv$
Non sto a risolvermi quest'integrale, il risultato preciso non mi interessa. Integrando quella roba diciamo che mi viene un $F(v)$, che diventa una certa $G(x)$ sostituendo la $v$ con la $x$ tramite la (1).
$G(x)$ è una primitiva di f ristretta all'intervallo $[-pi/2,pi/2]$. La mia idea è...
Derivo G(x), e mi ritrovo di nuovo $1/(\sin(x))$. Questo è sufficiente per assicurarmi che $G(x)$ è una primitiva di $1/(\sin(x))$ in tutto il suo dominio?
up
Non esistono primitive di \(f(x):=\frac{1}{\sin x}\) definite in tutto \(\operatorname{Dom} f\).
Dicevo generalmente...se ho una F(x), la derivo e ottengo H(x), ho che F è una primitiva di H in tutto $\dom H$...o no?
"newton_1372":
Dicevo generalmente...se ho una F(x), la derivo e ottengo H(x), ho che F è una primitiva di H in tutto $\dom H$...o no?
In generale, no.
Il problema è che le primitive "vivono" in intervalli; quindi se il dominio dell'integrando non è connesso non potrai mai ottenere una primitiva in tutto il dominio.
Ho letto la discussione, davvero interessante..mi sono posto lo stesso problema in questi giorni e ho trovato il seguente teorema relativamente agli integrali indefiniti con sostituzione:
Teorema: sia \(f \in C^{0}\left(\left[a,b\right]\right)\), \(g \in C^{1}\left(\left[\alpha,\beta\right]\right)\), e sia \(g\left(\left[\alpha,\beta\right]\right)\subset\left[a,b\right]\). Si ha allora
\[\left\{\int f\left(x\right)dx\right\}\circ g\left(t\right) = \int f\left(g\left(t\right)\right)\cdot g^{\prime}\left(t\right)dt\]
nel senso che la famiglia di funzioni scritta al primo membro coincide con quella scritta al secondo. Se si vuole leggere la formula prendendo come "incognita" \(\int f\left(x\right)dx\) (e questo è operativamente il caso più semplice), si deve supporre g invertibile e si ha allora:
\[\int f\left(x\right)dx =\left\{\int f\left(g\left(t\right)\right)\cdot g^{\prime}\left(t\right)dt\right\}\circ g^{-1}\left(x\right)\]
Mi sembra che questa formulazione possa in effetti risolvere i problemi che ho letto nel post di newton_1372 e che mi ponevo io stesso:
Mi ponevo infatti lo stesso problema relativamente a:
\[\int \frac{1}{x^{2}\sqrt{x^{2}+4}}dx\]
nell'usare la sostituzione \(x=2\tan t\) dato che la funzione integranda ha dominio \(R-\left\{0\right\}\), non connesso.
Teorema: sia \(f \in C^{0}\left(\left[a,b\right]\right)\), \(g \in C^{1}\left(\left[\alpha,\beta\right]\right)\), e sia \(g\left(\left[\alpha,\beta\right]\right)\subset\left[a,b\right]\). Si ha allora
\[\left\{\int f\left(x\right)dx\right\}\circ g\left(t\right) = \int f\left(g\left(t\right)\right)\cdot g^{\prime}\left(t\right)dt\]
nel senso che la famiglia di funzioni scritta al primo membro coincide con quella scritta al secondo. Se si vuole leggere la formula prendendo come "incognita" \(\int f\left(x\right)dx\) (e questo è operativamente il caso più semplice), si deve supporre g invertibile e si ha allora:
\[\int f\left(x\right)dx =\left\{\int f\left(g\left(t\right)\right)\cdot g^{\prime}\left(t\right)dt\right\}\circ g^{-1}\left(x\right)\]
Mi sembra che questa formulazione possa in effetti risolvere i problemi che ho letto nel post di newton_1372 e che mi ponevo io stesso:
"newton_1372":
Il problema che mi pongo è che $\phi(t)$ non ha come immagine ESATTAMENTE il dominio dell'integranda...il teorema richiede che il dominio dell'integranda e l'immagine di $x=\phi(t)$ siano perfettamente coincidenti...
Questo si risolve dicendo "va be, prendo la f ristretta a un intervallo, e prendo la $\phi$ ristretta a un intervallo in modo che coincidano i domini...ma il mio dubbio è
IN questo modo non prendi solo "un pezzo" della f? Come fai a calcolarti la primitiva di TUTTA LA f, anche al di fuori di quella restrizione...?
Faccio ancora un altro esempio per farmi capire.
$\int e^x/(e^x-1)dx$
f va da $\mathbb R-{0}$ a $\mathbb R$. SUpponga che voglio fare la sostituzione
$y=e^x$, il che equivale a porre
$x=\log y$.
La funzione $\log y$ va da $\mathbb R^+ -{0}$ a $\mathbb R$.
Confrontando l'immagine di $\log y$ con il dominio di $f$, ci accorgiamo che in $\dom f$ manca un punto, lo 0.
Come fare? Ho capito che si usa "l'astuzia" di prendere delle restrizioni di f e di $\log y$ in modo da far coincidere i domini. Per esempio prendo $\log y$ ristretto a $[1,e]$ e $f$ ristretto a $[0,1]$...
A questo punto l'integrale è perfettamente calcolabile, ma allora come faccio a sapere se la primitiva che trovo è "quella giusta" per tutta la f, cioè la f con dominio tutto $\mathbb R$?
Mi ponevo infatti lo stesso problema relativamente a:
\[\int \frac{1}{x^{2}\sqrt{x^{2}+4}}dx\]
nell'usare la sostituzione \(x=2\tan t\) dato che la funzione integranda ha dominio \(R-\left\{0\right\}\), non connesso.
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