Variabili ambigue nell'integrazione per sostituzione
Domanda scema, ma quando negli integrali per sostituzione cambio variabile in cose come $\cos x=t$...se voglio usare il teorema sono costretto a calcolarmi $x=\arccos t$ e quindi $(dx)/(dt)=1/(\sqrt(1-t^2))$.
Il mio dubbio nasce dal fatto che la scrittura $x=\arccos t$ è vera solo quando x è compreso tra $-\pi$ e $\pi$...se ho un integrale indefinito (o definita in un altro intervallo di valori) come faccio?
Stessa domanda per sostituzioni del tipo $x^2=t$. Mi trovo $x=\pm \sqrt t$. Calcolando quindi $(dx)/(dt)$ mi trovo due valori diversi...quali devo mettere nell'integrale quando faccio la sostituzione?
Il mio dubbio nasce dal fatto che la scrittura $x=\arccos t$ è vera solo quando x è compreso tra $-\pi$ e $\pi$...se ho un integrale indefinito (o definita in un altro intervallo di valori) come faccio?
Stessa domanda per sostituzioni del tipo $x^2=t$. Mi trovo $x=\pm \sqrt t$. Calcolando quindi $(dx)/(dt)$ mi trovo due valori diversi...quali devo mettere nell'integrale quando faccio la sostituzione?
Risposte
$\int dUp$
Che dice il teorema di integrazione per sostituzione?
Sia $\phi$ una funzione definita su un intervallo [$\alpha,\beta$]. Sia inoltre $\phi(\alpha)=a, \phi(\beta)=b$. Assumiamo che f(x) sia continua in $[m,M]$, dove con m e >M indichiamo rispettivamente il minimo e il massimo di $\phi([\alpha,beta])$.
Allora si ha
$\int_a^b f(x) dx = \int_\alpha^\beta f(\phi(t))\phi'(t) dt$
Vediamo se riesco a tradurre nella fattispecie.
Si ha $\phi(t) = \arccos t$ definita tra -1 e 1. Si ha m=$-\pi$, e si ha M=$\pi$. Il teorema è applicabile solo se la funzione è continua in $[-\pi,\pi]$...non so qualcosa mi sfugge...
Anche perchè questo tipo di sostituzioni $\cos t = w$ si trovano molto comunemente in rete...ma a questo punto forse non mi sembrano corrette...però funzionano..
Allora si ha
$\int_a^b f(x) dx = \int_\alpha^\beta f(\phi(t))\phi'(t) dt$
Vediamo se riesco a tradurre nella fattispecie.
Si ha $\phi(t) = \arccos t$ definita tra -1 e 1. Si ha m=$-\pi$, e si ha M=$\pi$. Il teorema è applicabile solo se la funzione è continua in $[-\pi,\pi]$...non so qualcosa mi sfugge...
Anche perchè questo tipo di sostituzioni $\cos t = w$ si trovano molto comunemente in rete...ma a questo punto forse non mi sembrano corrette...però funzionano..
Cosa succede se, invece, come capita di solito ti trovi a dover calcolare:
\[
\int_a^b f (\phi (x))\ \text{d} x\; ?
\]
\[
\int_a^b f (\phi (x))\ \text{d} x\; ?
\]
puoi specificare meglio la domanda?
"newton_1372":
puoi specificare meglio la domanda?
Prima mi hai detto che sai calcolare un integrale del tipo:
\[
\int_a^b f(\phi (x))\ \phi^\prime (x)\ \text{d} x
\]
facendo la sostituzione \(t=\phi (x)\). E va bene.
Ora, ti chiedo: come fai quando l'integrale è del tipo:
\[
\int_a^b f(\phi (x))\ \text{d} x
\]
senza quel comodo fattore \(\phi^\prime (x)\)?
il teorema non mi dice niente in proposito...
Allora ragiona... Li fai tutti i giorni conti così, soprattutto quando fai le sostituzioni che hai segnalato. 
Chiediti se e quando ha senso fare la sostituzione \(t=\phi (x)\).
Chiediti se e quando ha senso fare la sostituzione \(t=\phi (x)\).
uummma....divido e moltiplico per $\phi'(x)$ e applico l'integrazione per parti?
No...
In generale fai quanto segue.
Supponi che \(\phi\) sia invertibile (ossia, strettamente monotona) su \([a,b]\), di modo che \(t=\phi (x)\) fornisce \(x=\phi^{-1}(t)\); a questo punto, supposto che l'inversa sia derivabile, ricordi che:
\[
\text{d} x = (\phi^{-1}(t))^\prime\ \text{d} t
\]
ed hai:
\[
\int_a^b f(\phi (x))\ \text{d} x = \int_{\phi (a)}^{\phi (b)} f(t)\ (\phi^{-1}(t))^\prime\ \text{d} t\; .
\]
Quindi quando fai la sostituzione \(t=\phi (x)\) in un integrale \(\int_a^b f(\phi (x))\ \text{d} x\), devi sempre supporre che \(\phi\) sia invertibile (o, ciò che è lo stesso, strettamente monotona) in \([a,b]\).
A maggior ragione, ciò va tacitamente assunto quando si lavora con gli integrali indefiniti nella forma \(\int f(\phi (x))\ \text{d} x\).
Conseguentemente, quando fai la sostituzione \(t=\cos x\) (o anche \(t=\tan (x/2)\)) supponi sempre di operare in intervallo in cui la funzione coseno (o la funzione tangente) sono invertibili; altrimenti escono fuori cose che non stanno in piedi.
Quindi, ad esempio, se \(x\in [0,\pi]\) puoi fare senza dubbio la sostituzione \(t=cos x\) che importa \(x=\arccos t\); ma se \(x\in [\pi, 2\pi]\), allora la sostituzione \(t=\cos x\) è lecita ma importa \(x=2\pi-\arccos t\).
Analogamente, quando sostituisci \(t=x^2\) devi supporre che tale corrispondenza sia invertibile. Quindi, se \(x\geq 0\), allora la sostituzione è lecita e implica \(x=\sqrt{t}\); altrimenti, se \(x\leq 0\), la sosttuzione è sempre lecita ma importa \(x=-\sqrt{t}\).
In generale fai quanto segue.
Supponi che \(\phi\) sia invertibile (ossia, strettamente monotona) su \([a,b]\), di modo che \(t=\phi (x)\) fornisce \(x=\phi^{-1}(t)\); a questo punto, supposto che l'inversa sia derivabile, ricordi che:
\[
\text{d} x = (\phi^{-1}(t))^\prime\ \text{d} t
\]
ed hai:
\[
\int_a^b f(\phi (x))\ \text{d} x = \int_{\phi (a)}^{\phi (b)} f(t)\ (\phi^{-1}(t))^\prime\ \text{d} t\; .
\]
Quindi quando fai la sostituzione \(t=\phi (x)\) in un integrale \(\int_a^b f(\phi (x))\ \text{d} x\), devi sempre supporre che \(\phi\) sia invertibile (o, ciò che è lo stesso, strettamente monotona) in \([a,b]\).
A maggior ragione, ciò va tacitamente assunto quando si lavora con gli integrali indefiniti nella forma \(\int f(\phi (x))\ \text{d} x\).
Conseguentemente, quando fai la sostituzione \(t=\cos x\) (o anche \(t=\tan (x/2)\)) supponi sempre di operare in intervallo in cui la funzione coseno (o la funzione tangente) sono invertibili; altrimenti escono fuori cose che non stanno in piedi.
Quindi, ad esempio, se \(x\in [0,\pi]\) puoi fare senza dubbio la sostituzione \(t=cos x\) che importa \(x=\arccos t\); ma se \(x\in [\pi, 2\pi]\), allora la sostituzione \(t=\cos x\) è lecita ma importa \(x=2\pi-\arccos t\).
Analogamente, quando sostituisci \(t=x^2\) devi supporre che tale corrispondenza sia invertibile. Quindi, se \(x\geq 0\), allora la sostituzione è lecita e implica \(x=\sqrt{t}\); altrimenti, se \(x\leq 0\), la sosttuzione è sempre lecita ma importa \(x=-\sqrt{t}\).
Si fin qui ci sono ma il problema è...in caso di intervallo indefinito?
Esempio...
$\int \frac{1}{\cos x}dx$...
Mi piacerebbe porre $y=\cos x$...
A questo punto dico $x= \acos y$, calcolare $(dx)/(dy)$ e sostituire nell'integrale...
Il mio problema però è che $x=\acos y$ solo in determinati valori...quindi in caso di INTEGRALE INDEFINITO, la sostituzione
$\int 1/y (dx)/(dy) dy$
sembra non avere una giustificazione ben fondata...
Mi piacerebbe porre $y=\cos x$...
A questo punto dico $x= \acos y$, calcolare $(dx)/(dy)$ e sostituire nell'integrale...
Il mio problema però è che $x=\acos y$ solo in determinati valori...quindi in caso di INTEGRALE INDEFINITO, la sostituzione
$\int 1/y (dx)/(dy) dy$
sembra non avere una giustificazione ben fondata...
Questo dipende dal fatto che è la notazione di integrale indefinito ad essere brutta.
Se venisse specificato in quale intervallo si cerca la primitiva, allora tutto sarebbe a posto.
Ed inoltre, la sostituzione che vorresti usare comunque non funzionerebbe.
Se venisse specificato in quale intervallo si cerca la primitiva, allora tutto sarebbe a posto.
Ed inoltre, la sostituzione che vorresti usare comunque non funzionerebbe.
ci sono casi in cui funziona...insomma, in caso di integrale indefinito, se non ho nessun intervallo, come cerco la primitiva? Non è un fatto di notazione, voglio applicare il teorema di integrazione per sostituzione...
Scusate se mi intrometto. Non capisco perchè in quel caso non dovrebbe funzionare il coseno. Comunque io credevo che in linea teorica qualsiasi funzione andasse bene, in maniera tale, ovviamente, che il tutto renda l integrale più semplice da risolvere, ovviamente se la funzione è invertibile. Quello che non riesco a capire è qual'è il criterio secondo il quale si debba sostituire con una determinata funzione, immagino che sia convenienza, semplicità e che ci voglia occhio. Ma mi chiedevo se ci fossero dei suggerimenti in merito.
Il mio dubbio è quando posso passare agli integrali INDEFINITI nella formula di integrazione per sostituzione? Cioè quand'è che vale
$\int f(x)dx = \int f(\phi(t))\phi'(t)dt$? (1)
Mi faccio aiutare da Torricelli. Io richiedo che
$\int_a^x f(x) dx = \int_\alpha^t f(\phi(t))\phi'(t)dt$
e questo lo richiedo PER OGNI x...
$\int f(x)dx = \int f(\phi(t))\phi'(t)dt$? (1)
Mi faccio aiutare da Torricelli. Io richiedo che
$\int_a^x f(x) dx = \int_\alpha^t f(\phi(t))\phi'(t)dt$
e questo lo richiedo PER OGNI x...
$3-\cos up$
La (1) vale sempre.
Penso che per la seconda valga quanto si è già detto sopra no?
"gugo82":
Quindi quando fai la sostituzione \( t=\phi (x) \) in un integrale \( \int_a^b f(\phi (x))\ \text{d} x \), devi sempre supporre che \( \phi \) sia invertibile (o, ciò che è lo stesso, strettamente monotona) in \( [a,b] \).
A maggior ragione, ciò va tacitamente assunto quando si lavora con gli integrali indefiniti nella forma \( \int f(\phi (x))\ \text{d} x \).
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