Variabili ambigue nell'integrazione per sostituzione
Domanda scema, ma quando negli integrali per sostituzione cambio variabile in cose come $\cos x=t$...se voglio usare il teorema sono costretto a calcolarmi $x=\arccos t$ e quindi $(dx)/(dt)=1/(\sqrt(1-t^2))$.
Il mio dubbio nasce dal fatto che la scrittura $x=\arccos t$ è vera solo quando x è compreso tra $-\pi$ e $\pi$...se ho un integrale indefinito (o definita in un altro intervallo di valori) come faccio?
Stessa domanda per sostituzioni del tipo $x^2=t$. Mi trovo $x=\pm \sqrt t$. Calcolando quindi $(dx)/(dt)$ mi trovo due valori diversi...quali devo mettere nell'integrale quando faccio la sostituzione?
Il mio dubbio nasce dal fatto che la scrittura $x=\arccos t$ è vera solo quando x è compreso tra $-\pi$ e $\pi$...se ho un integrale indefinito (o definita in un altro intervallo di valori) come faccio?
Stessa domanda per sostituzioni del tipo $x^2=t$. Mi trovo $x=\pm \sqrt t$. Calcolando quindi $(dx)/(dt)$ mi trovo due valori diversi...quali devo mettere nell'integrale quando faccio la sostituzione?
Risposte
Ecco, ma se la 1) vale sempre, come comportarsi quando ci sono ambiguità con $(dx)/(d\phi)$ ?
Esempio.
Voglio calcolarmi $\int \sqrt(1+x^2)dx$.
Pongo $\psi=1+x^2\Rightarrow x=\pm \sqrt(\psi-1)$.
Problema: si ha
$(dx)/(d\psi)= \pm 1/(\sqrt(\psi-1))$
C'è ambiguità sulle funzioni $x(\psi), (dx)/(d\psi)$...
Esempio.
Voglio calcolarmi $\int \sqrt(1+x^2)dx$.
Pongo $\psi=1+x^2\Rightarrow x=\pm \sqrt(\psi-1)$.
Problema: si ha
$(dx)/(d\psi)= \pm 1/(\sqrt(\psi-1))$
C'è ambiguità sulle funzioni $x(\psi), (dx)/(d\psi)$...
@ newton_1372: Però devi deciderti...
Sono due problemi differenti: uno è il calcolo di:
\[
\int f(\phi (x))\ \phi^\prime (x)\ \text{d} x
\]
in cui \(t=\phi (x)\) funziona sempre bene; e l'altro è il calcolo di:
\[
\int f(\phi (x))\ \text{d} x
\]
in cui ci sono da fare ipotesi su \(\phi\) per assicurare che la sostituzione \(t=\phi (x)\) funzioni.
Sono due problemi differenti: uno è il calcolo di:
\[
\int f(\phi (x))\ \phi^\prime (x)\ \text{d} x
\]
in cui \(t=\phi (x)\) funziona sempre bene; e l'altro è il calcolo di:
\[
\int f(\phi (x))\ \text{d} x
\]
in cui ci sono da fare ipotesi su \(\phi\) per assicurare che la sostituzione \(t=\phi (x)\) funzioni.
credo di averli percepiti come un unico problema...oddio la confusione mi attanaglia...
ho provato a studiare su tutti i libri e dispense possibili, ma nessuno è riuscito a far piazza pulita nella mia testa...
per questo ti chiedo di essere paziente, sono solo desideroso di imparare e capire...credo che il formalismo mi abbia dato alla testa...
provo ad automettermi un pò di ordine, almeno nel chiedere.
Preso per vero l'enunciato per gli integrali definiti
TEOREMA 1. Sia $\phi$ una funzione di classe C1 definita su un intervallo $[\alpha,\beta]$, e sia f integrabile su [m,M], con m=min $\phi[\alpha,\beta]$, M=max $\phi[\alpha,\beta]$ tale che $\phi[\alpha,\beta]=[a,b]$. Sia inoltre $a=\phi(\alpha), b=\phi(\beta)$. Allora si ha
$\int_a^b f(x) dx = \int_\alpha^\beta f(\phi(t))\phi'(t)dt$
Preso per vero TEOREMA 1, esiste un teorema ANALOGO per gli integrali indefiniti? Magari sotto ulteriori ipotesi della $\phi$...? mi farebbe comodo, in caso di risposta affermativa, avere l'esatta enunciazione (mai fatta a lezione, solo per gli integrali definiti), e possibilmente anche la dimostrazione (immagino non deve essere lunga, il fiuto mi dice che uso $\int f(x) dx = \int_c^x f(x) dx$ e applico il teorema 1...chiedo che mi si venga fatto perchè purtroppo ho l'impressione di aver perso ogni contatto con la "realtà", nel senso che in questo mare di astrazione alla fine sono annegato...
ho provato a studiare su tutti i libri e dispense possibili, ma nessuno è riuscito a far piazza pulita nella mia testa...
per questo ti chiedo di essere paziente, sono solo desideroso di imparare e capire...credo che il formalismo mi abbia dato alla testa...
provo ad automettermi un pò di ordine, almeno nel chiedere.
Preso per vero l'enunciato per gli integrali definiti
TEOREMA 1. Sia $\phi$ una funzione di classe C1 definita su un intervallo $[\alpha,\beta]$, e sia f integrabile su [m,M], con m=min $\phi[\alpha,\beta]$, M=max $\phi[\alpha,\beta]$ tale che $\phi[\alpha,\beta]=[a,b]$. Sia inoltre $a=\phi(\alpha), b=\phi(\beta)$. Allora si ha
$\int_a^b f(x) dx = \int_\alpha^\beta f(\phi(t))\phi'(t)dt$
Preso per vero TEOREMA 1, esiste un teorema ANALOGO per gli integrali indefiniti? Magari sotto ulteriori ipotesi della $\phi$...? mi farebbe comodo, in caso di risposta affermativa, avere l'esatta enunciazione (mai fatta a lezione, solo per gli integrali definiti), e possibilmente anche la dimostrazione (immagino non deve essere lunga, il fiuto mi dice che uso $\int f(x) dx = \int_c^x f(x) dx$ e applico il teorema 1...chiedo che mi si venga fatto perchè purtroppo ho l'impressione di aver perso ogni contatto con la "realtà", nel senso che in questo mare di astrazione alla fine sono annegato...
Se ti può aiutare io ho questo enunciato:
Teorema 9.12 (Regola di integrazione per sostituzione) Sui $f(y)$ una funzione integrabile su un intervallo $J$ e sia $F(y)$ una sua primitiva . Sia poi $\phi(x )$ una funzione derivabile, definita su un intervallo $I$ a valori nell'intervallo $J$. Allora la funzione $f(\phi(x))\phi'(x)$ è integrabile sull'intervallo $I$ e si ha:
$int f(\phi(x))\phi'(x)dx=F(\phi(x))+c$
Tale formula viene sovente scritta in modo meno preciso, ma più sintetico come:
$int f(\phi(x))\phi'(x)dx=int f(y)dy$
Teorema 9.12 (Regola di integrazione per sostituzione) Sui $f(y)$ una funzione integrabile su un intervallo $J$ e sia $F(y)$ una sua primitiva . Sia poi $\phi(x )$ una funzione derivabile, definita su un intervallo $I$ a valori nell'intervallo $J$. Allora la funzione $f(\phi(x))\phi'(x)$ è integrabile sull'intervallo $I$ e si ha:
$int f(\phi(x))\phi'(x)dx=F(\phi(x))+c$
Tale formula viene sovente scritta in modo meno preciso, ma più sintetico come:
$int f(\phi(x))\phi'(x)dx=int f(y)dy$
Ok trovato...ma ho qualche problema con i domini. Mi spiego.
Prendiamo $\int (\cos x)/(2+\cos x) dx$
Pongo $y=\cos x$, il che equivale a porre la $\phi$ di cui parla il teorema
$x=\phi(y)=\arccos y$.
Si ha $\phi(y): [-1:1]\mapsto [0,\pi]$
L'integranda è $f: \mathbb R\mapsto \mathbb R$.
Per applicare il teorema, dovrei avere come dominio della f $[0,\pi]$....quindi se applico quella formula, ottengo informazioni su $f|_{[0:\pi]}$...non ho nessuna informazione riguardo a $\mathbb R-{[0:\2pi]}$...
Come decido "arbitrariamente" di dire "ok, la primitiva di f è..."...se ho ragionato supponendo f ristretta a un intervallo?
Prendiamo $\int (\cos x)/(2+\cos x) dx$
Pongo $y=\cos x$, il che equivale a porre la $\phi$ di cui parla il teorema
$x=\phi(y)=\arccos y$.
Si ha $\phi(y): [-1:1]\mapsto [0,\pi]$
L'integranda è $f: \mathbb R\mapsto \mathbb R$.
Per applicare il teorema, dovrei avere come dominio della f $[0,\pi]$....quindi se applico quella formula, ottengo informazioni su $f|_{[0:\pi]}$...non ho nessuna informazione riguardo a $\mathbb R-{[0:\2pi]}$...
Come decido "arbitrariamente" di dire "ok, la primitiva di f è..."...se ho ragionato supponendo f ristretta a un intervallo?
Fortunatamente credo non ti importi le primitive valgono su un intervallo che la notazione non specifica 
Comunque con quella sostituzione a mio avviso concludi ben poco, per quell'integrale io farei così:
$int (cos(x)+2-2)/(cos(x)+2) dx$
$x-int 2/(cos(x)+2)dx$ e a questo punto userei la sostituzione $t=tan(x/2)$
Per tornare alla domanda di partenza anche per calcolare questo integrale comunque si pongono dei "vincoli" all'intervallo:
$int sqrt(1-x^2)dx$
Si pone $x=sin(t)$ e si ricava $dx=cos(t)dt$.. Però la funzione seno non è iniettiva, quindi si suppone tacitamente $-pi/2
Comunque con quella sostituzione a mio avviso concludi ben poco, per quell'integrale io farei così:
$int (cos(x)+2-2)/(cos(x)+2) dx$
$x-int 2/(cos(x)+2)dx$ e a questo punto userei la sostituzione $t=tan(x/2)$
Per tornare alla domanda di partenza anche per calcolare questo integrale comunque si pongono dei "vincoli" all'intervallo:
$int sqrt(1-x^2)dx$
Si pone $x=sin(t)$ e si ricava $dx=cos(t)dt$.. Però la funzione seno non è iniettiva, quindi si suppone tacitamente $-pi/2
Il problema che mi pongo è che $\phi(t)$ non ha come immagine ESATTAMENTE il dominio dell'integranda...il teorema richiede che il dominio dell'integranda e l'immagine di $x=\phi(t)$ siano perfettamente coincidenti...
Questo si risolve dicendo "va be, prendo la f ristretta a un intervallo, e prendo la $\phi$ ristretta a un intervallo in modo che coincidano i domini...ma il mio dubbio è
IN questo modo non prendi solo "un pezzo" della f? Come fai a calcolarti la primitiva di TUTTA LA f, anche al di fuori di quella restrizione...?
Faccio ancora un altro esempio per farmi capire.
$\int e^x/(e^x-1)dx$
f va da $\mathbb R-{0}$ a $\mathbb R$. SUpponga che voglio fare la sostituzione
$y=e^x$, il che equivale a porre
$x=\log y$.
La funzione $\log y$ va da $\mathbb R^+ -{0}$ a $\mathbb R$.
Confrontando l'immagine di $\log y$ con il dominio di $f$, ci accorgiamo che in $\dom f$ manca un punto, lo 0.
Come fare? Ho capito che si usa "l'astuzia" di prendere delle restrizioni di f e di $\log y$ in modo da far coincidere i domini. Per esempio prendo $\log y$ ristretto a $[1,e]$ e $f$ ristretto a $[0,1]$...
A questo punto l'integrale è perfettamente calcolabile, ma allora come faccio a sapere se la primitiva che trovo è "quella giusta" per tutta la f, cioè la f con dominio tutto $\mathbb R$?
Questo si risolve dicendo "va be, prendo la f ristretta a un intervallo, e prendo la $\phi$ ristretta a un intervallo in modo che coincidano i domini...ma il mio dubbio è
IN questo modo non prendi solo "un pezzo" della f? Come fai a calcolarti la primitiva di TUTTA LA f, anche al di fuori di quella restrizione...?
Faccio ancora un altro esempio per farmi capire.
$\int e^x/(e^x-1)dx$
f va da $\mathbb R-{0}$ a $\mathbb R$. SUpponga che voglio fare la sostituzione
$y=e^x$, il che equivale a porre
$x=\log y$.
La funzione $\log y$ va da $\mathbb R^+ -{0}$ a $\mathbb R$.
Confrontando l'immagine di $\log y$ con il dominio di $f$, ci accorgiamo che in $\dom f$ manca un punto, lo 0.
Come fare? Ho capito che si usa "l'astuzia" di prendere delle restrizioni di f e di $\log y$ in modo da far coincidere i domini. Per esempio prendo $\log y$ ristretto a $[1,e]$ e $f$ ristretto a $[0,1]$...
A questo punto l'integrale è perfettamente calcolabile, ma allora come faccio a sapere se la primitiva che trovo è "quella giusta" per tutta la f, cioè la f con dominio tutto $\mathbb R$?
Oddio sinceramente è un problema che non mi sono mai posto...
Però forse dovresti ragionare sul fatto che la tua $F(x)$ per essere primitiva di $f(x)$ su $RR$ deve rispettare quest'uguaglianza $F'(x)=f(x)$, $AA x in RR$... però nessuno ti garantisce che in generale non sia rispettata su un $I\sube RR$.. In ogni caso invoco l'aiuto di chi ne sa più di me
Però forse dovresti ragionare sul fatto che la tua $F(x)$ per essere primitiva di $f(x)$ su $RR$ deve rispettare quest'uguaglianza $F'(x)=f(x)$, $AA x in RR$... però nessuno ti garantisce che in generale non sia rispettata su un $I\sube RR$.. In ogni caso invoco l'aiuto di chi ne sa più di me
In caso quando trovo la primitiva derivo e mi ritrovo la funzione di parternza...in questo modo ho una conferma che il risultato dell'integrazione è valido per tutto R..potrebbe essere una soluzione..
$\tan up$
Le primitive "vivono" in intervalli.
Quindi l'integrale indefinito:
\[
\int \frac{e^x}{e^x -1}\ \text{d} x\; ,
\]
se conveniamo che esso rappresenti un insieme di primitive, è costituito da funzioni definite tutte nello stesso intervallo; ovviamente, tale intervallo, in linea di principio, andrebbe specificato fin dall'inizio.
Tuttavia, in generale, si passa sopra a questo punto e si fa come se niente fosse, perché è lo stesso problema dell'integrazione indefinita ad essere "mal posto". Per questo motivo si scrivono fregnacce tipo:
\[
\int \frac{1}{x}\ \text{d} x =\log |x| +C\; ,
\]
che non significano nulla: infatti il modo corretto di scrivere sarebbe:
\[
\begin{split}
\int \frac{1}{x}\ \text{d} x &=\log x +C\qquad \text{, se } x\in ]0,\infty[\\
\int \frac{1}{x}\ \text{d} x &=\log (-x) +C\qquad \text{, se } x\in ]-\infty ,0[
\end{split}
\]
dove i due casi sono distinti a seconda che si cerchino primitive definite in \(]0,\infty[\) o in \(]-\infty ,0[\). Evidentemente, la funzione \(1/x\) non è dotata di primitiva unica a meno di una costante in tutto \(\mathbb{R}\setminus \{0\}\).
Insomma, il problema è a monte... Che poi esso si manifesti pure a valle a livello della sostituzione è incidentale.
Quindi l'integrale indefinito:
\[
\int \frac{e^x}{e^x -1}\ \text{d} x\; ,
\]
se conveniamo che esso rappresenti un insieme di primitive, è costituito da funzioni definite tutte nello stesso intervallo; ovviamente, tale intervallo, in linea di principio, andrebbe specificato fin dall'inizio.
Tuttavia, in generale, si passa sopra a questo punto e si fa come se niente fosse, perché è lo stesso problema dell'integrazione indefinita ad essere "mal posto". Per questo motivo si scrivono fregnacce tipo:
\[
\int \frac{1}{x}\ \text{d} x =\log |x| +C\; ,
\]
che non significano nulla: infatti il modo corretto di scrivere sarebbe:
\[
\begin{split}
\int \frac{1}{x}\ \text{d} x &=\log x +C\qquad \text{, se } x\in ]0,\infty[\\
\int \frac{1}{x}\ \text{d} x &=\log (-x) +C\qquad \text{, se } x\in ]-\infty ,0[
\end{split}
\]
dove i due casi sono distinti a seconda che si cerchino primitive definite in \(]0,\infty[\) o in \(]-\infty ,0[\). Evidentemente, la funzione \(1/x\) non è dotata di primitiva unica a meno di una costante in tutto \(\mathbb{R}\setminus \{0\}\).
Insomma, il problema è a monte... Che poi esso si manifesti pure a valle a livello della sostituzione è incidentale.
mmm...insomma, a livello effettivo dunque se mi trovo davanti un integrale indefinito e nessun intervallo, cosa faccio? posso scegliere "arbitrariamente" l'intervallo su cui calcolo la primitiva? (per fare sostituzioni intendo...)vin questoi modo perdo informazioni su ciò che accade "altrove"? se in $\int f(x) dx$ pongo $x=\arccos y$, e mi trovo la primitiva, questa primitiva va intesa corretta solo nell'intervallo [0,pigreco]?
"newton_1372":
mmm...insomma, a livello effettivo dunque se mi trovo davanti un integrale indefinito e nessun intervallo, cosa faccio?
Fai i soliti conti senza troppe pippe mentali.
Daccordo. Posterò un esempio di integrale indefinito svolto, cosicchè mi dite se il procedimento che uso è formalmente corretto.
$\int(\cos^2 x+\cos x+1)/(\cos x-1)dx$
Troviamo una primitiva della funzione integranda in $[0,\pi]$.
Poniamo $y = \cos x$, ovvero poniamo $x=\phi(y)=\arccos y$.
Si ha $\phi'(y)=1/(sqrt(1+y^2))$
Per il teorema di integrazione per sostituzione l'integrale è equivalente al seguente
$\int (y^2+y+1)/((y-1)\sqrt(1+y^2)) dy$
Poniamo $t=\sqrt(1+y^2)-y$
Si ha $y=(1-t^2)/(2t)\Rightarrow y'(t)=(-4t^2-2(1-t^2))/(4t^2)=(-t^2-1)/(2t^2)$.
ecc...ecc...
a un certo punto riesco a risolvere l'integrale e trovo la primitiva di f ristretta all'intervallo $[0,\pi]$
fin qui è tutto corretto?
Troviamo una primitiva della funzione integranda in $[0,\pi]$.
Poniamo $y = \cos x$, ovvero poniamo $x=\phi(y)=\arccos y$.
Si ha $\phi'(y)=1/(sqrt(1+y^2))$
Per il teorema di integrazione per sostituzione l'integrale è equivalente al seguente
$\int (y^2+y+1)/((y-1)\sqrt(1+y^2)) dy$
Poniamo $t=\sqrt(1+y^2)-y$
Si ha $y=(1-t^2)/(2t)\Rightarrow y'(t)=(-4t^2-2(1-t^2))/(4t^2)=(-t^2-1)/(2t^2)$.
ecc...ecc...
a un certo punto riesco a risolvere l'integrale e trovo la primitiva di f ristretta all'intervallo $[0,\pi]$
fin qui è tutto corretto?
UP
"newton_1372":
$\int(\cos^2 x+\cos x+1)/(\cos x-1)dx$
Troviamo una primitiva della funzione integranda in $[0,\pi]$.
Esatto.
Innanzitutto, cominci a semplificare l'integrale come:
\[
\int \frac{\cos^2 x +\cos x +1}{\cos x -1}\ \text{d} x = \int \frac{(\cos^2 x -\cos x) +(1+2\cos x)}{\cos x -1}\ \text{d} x= \sin x + \int \frac{2 \cos x +1}{\cos x -1}\ \text{d} x\; ,
\]
sicché ti basta calcolare l'ultimo integrale.
Dato che la tua nuova funzione integranda è discontinua con discontinuità di prima specie in ogni punto del tipo \(2k\pi\) (\(k\in \mathbb{Z}\)), è evidente che l'integrale indefinito ha senso solo in ognuno degli intervalli del tipo \(]2k\pi, 2(k+1)\pi[\).
Prendiamo l'intervallo base \(]0,2\pi[\).
La sostituzione da fare in questi casi è \(t=\tan \frac{x}{2}\); però tale sostituzione non si può fare "impunemente" per \(x\in ]0,2pi[\), perché la \(\phi (x):= \tan \frac{x}{2}\) non è invertibile in tale intervallo (anzi, in realtà non è nemmeno definita ovunque in quell'intervallo).
Allora, ti restringi, per il momento, ad uno degli intervalli di monotonia di \(\phi\): restringendoti a \(]0,\pi[\), trovi che \(\phi\) è strettamente crescente e che l'inversa \(\phi^{-1}(t):=2\arctan t\) soddisfa le ipotesi del teorema di sostituzione; puoi perciò scrivere:
\[
\begin{split}
\int \frac{2\cos x +1}{\cos x -1}\ \text{d} x &\stackrel{t=\tan (x/2)}{=} \int \frac{2 \frac{1-t^2}{1+t^2} +1}{\frac{1-t^2}{1+t^2} -1}\ \frac{2}{1+t^2}\ \text{d} t\\
&= \int \frac{t^2-3}{t^2(1+t^2)}\ \text{d} t\\
&= \int \left( \frac{4}{1+t^2} - \frac{3}{t^2}\right)\ \text{d} t \\
&= 4\ \arctan t + \frac{3}{t} +C_-\\
&\stackrel{t=\tan (x/2)}{=} 2x + \frac{3}{\tan \frac{x}{2}} +C_-\\
&= 2x + \frac{3\sin x}{\cos x -1} +C_- \; ;
\end{split}
\]
quindi, limitatamente a \(]0,\pi[\) hai:
\[
\int \frac{\cos^2 x +\cos x +1}{\cos x -1}\ \text{d} x =2x + \sin x + \frac{3\sin x}{\cos x -1} +C_-\; .
\]
In \(]\pi, 2\pi[\), la sostituzione che funziona è sempre la stessa e, dato che pure l'algebra non cambia, essa ti porta al risultato:
\[
\int \frac{\cos^2 x +\cos x +1}{\cos x -1}\ \text{d} x =2x + \sin x + \frac{3\sin x}{\cos x -1} +C_+\; .
\]
Ora, però, tu sai che la funzione integranda è continua in \(]0,2\pi[\), ergo essa è dotata ti primitiva di classe \(C^1\) unica a meno di una costante additiva; ne consegue che le precedenti due espressioni si devono raccordare con continuità in \(\pi\). L'unico modo affinché ciò avvenga è scegliere \(C_-=C_+\) nelle precedenti e perciò:
\[
\int \frac{\cos^2 x +\cos x +1}{\cos x -1}\ \text{d} x =2x + \sin x + \frac{3\sin x}{\cos x -1} +C
\]
come al solito.
Però, noto che tutto questo modo di procedere si sarebbe potuto evitare scegliendo meglio la funzione \(\phi\): infatti, scegliendo \(\phi (x):= \cot \frac{x}{2}\) avremmo avuto una funzione continua, strettamente decrescente ed invertibile in \(]0,2\pi[\) con la funzione inversa \(\phi^{-1} (t) := 2\operatorname{arccot} t\) soddisfacente le ipotesi del teorema di sostituzione; perciò in tutto \(]0,2\pi[\) avremmo trovato:
\[
\begin{split}
\int \frac{2\cos x +1}{\cos x -1}\ \text{d} x &\stackrel{t=\cot (x/2)}{=} \int \frac{2 \frac{t^2-1}{1+t^2} +1}{\frac{t^2-1}{1+t^2} -1}\ \frac{-2}{1+t^2}\ \text{d} t\\
&= \int \frac{3t^2-1}{(1+t^2}\ \text{d} t\\
&= \int \left( 3 - \frac{4}{1+t^2}\right)\ \text{d} t \\
&= 3t + 4\ \operatorname{arccot} t +C\\
&\stackrel{t=\tan (x/2)}{=} 2x + 3\cot \frac{x}{2} +C\\
&= 2x + \frac{3\sin x}{\cos x -1} +C\; .
\end{split}
\]
e dunque direttamente:
\[
\int \frac{\cos^2 x +\cos x +1}{\cos x -1}\ \text{d} x =2x + \sin x + \frac{3\sin x}{\cos x -1} +C\; .
\]
Morale: per essere rigorosi dobbiamo calcolare "TANTI" integrali indefiniti, ognuno per ogni restrizione...e usare la continuità dell'integranda...
Sì e no, dipende dai casi.
Ma, il più delle volte, la sostituzione giusta fa tutto il lavoro come si deve.
Ma, il più delle volte, la sostituzione giusta fa tutto il lavoro come si deve.
domandina, ammettiamo di trovare la primitiva di f ristretta a un intervallo...una volta ottenuta quella bella funzione, calcolo la derivata (che non dipende dall'intervallo in cui la calcolo) e mi ritrovo la funzione di partenza.
Questa è una valida garanzia che la "primitiva"trovata è valida per la f estesa col dominio esteso in tutto $\mathbb R$?
Questa è una valida garanzia che la "primitiva"trovata è valida per la f estesa col dominio esteso in tutto $\mathbb R$?
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