Valore assoluto e radice quadrata
Ciao a tutti, e' da un po' che ci sto sopra ma non riesco a capire la seguente cosa:
$x^2 = a rarr |x|= sqrt(a) $
In particolare riguardo il modulo:
Non capisco perchè questo
$ |x| = sqrt(a) $
è uguale a:
$ x= +- sqrt(a) $
Mi potreste illuminare a riguardo che ho un po' di confusione
$x^2 = a rarr |x|= sqrt(a) $
In particolare riguardo il modulo:
Non capisco perchè questo
$ |x| = sqrt(a) $
è uguale a:
$ x= +- sqrt(a) $
Mi potreste illuminare a riguardo che ho un po' di confusione
Risposte
Per definizione, $\sqrt{a}$ è il numero positivo il cui quadrato è $a$.
Innanzitutto, ti conviene inquadrare la questione come: [tex]\sqrt{x^2}=|x|[/tex]. Fatto ciò, il resto segue immediatamente dalle proprietà dei valori assoluti. Infatti, dato un generico [tex]k>0[/tex], [tex]|x|=k \rightarrow x= \pm k[/tex].
Spesso alcuni restano confusi dalla prima relazione che ho scritto, ma basta ricordare che il nome inglese di quella che noi chiamiamo comunemente "radice quadrata" - e indichiamo con il simbolo [tex]\sqrt{}[/tex] - è in realtà "principal square root". Non è una mera questione semantica: è la differenza tra dire [tex]\sqrt{4}=2[/tex] (che è corretto) e [tex]\sqrt{4} = \pm 2[/tex], che è invece un abuso di notazione.
P.S. Se mastichi l'inglese, magari dai anche uno sguardo a Wikipedia.
Spesso alcuni restano confusi dalla prima relazione che ho scritto, ma basta ricordare che il nome inglese di quella che noi chiamiamo comunemente "radice quadrata" - e indichiamo con il simbolo [tex]\sqrt{}[/tex] - è in realtà "principal square root". Non è una mera questione semantica: è la differenza tra dire [tex]\sqrt{4}=2[/tex] (che è corretto) e [tex]\sqrt{4} = \pm 2[/tex], che è invece un abuso di notazione.
P.S. Se mastichi l'inglese, magari dai anche uno sguardo a Wikipedia.
Per ragionare in maniera formale devi vedere la radice come un operazione nel campo complesso.
In termini intuitivi la puoi vedere così. Quando elevi un numero reale ad una potenza pari perdi l'informazione riguardo al segno. Quando fai l'operazione inversa, ovvero la radice, non hai alcun modo per "recuperare" il segno.
Non so se posso aver chiarito un po'
In termini intuitivi la puoi vedere così. Quando elevi un numero reale ad una potenza pari perdi l'informazione riguardo al segno. Quando fai l'operazione inversa, ovvero la radice, non hai alcun modo per "recuperare" il segno.
Non so se posso aver chiarito un po'
Grazie a tutti per le risposte,
diciamo che le cose stanno incominciando a diventare più limpide ma non so perchè non riesco a digerire la seguente cosa:
$|x|=k -> x=+-k $
Sicuramente è una domanda la cui risposta c'è l'ho sotto il naso, ma non riesco a trovarla.
Inoltre, leggendo anche il link di Reti77, non riesco a capire quale sia la radice di un numero,esempio:
alcuni dicono che la radice di 16 sia solo 4 altri,come le prime righe di quel link , dicono che è sia -4 che 4.
Sono molto confuso a riguardo
diciamo che le cose stanno incominciando a diventare più limpide ma non so perchè non riesco a digerire la seguente cosa:
$|x|=k -> x=+-k $
Sicuramente è una domanda la cui risposta c'è l'ho sotto il naso, ma non riesco a trovarla.
Inoltre, leggendo anche il link di Reti77, non riesco a capire quale sia la radice di un numero,esempio:
alcuni dicono che la radice di 16 sia solo 4 altri,come le prime righe di quel link , dicono che è sia -4 che 4.
Sono molto confuso a riguardo
Pensa a un qualunque caso particolare. Esempio: $|-2| = 2, |2| = 2$, perciò se sai che $|x| = 2$, $x$ dev'essere necessariamente o $-2$ o $2$.
Attento: le due possibilità si escludono a vicenda, il simbolo $+-$ va interpretato (in questo caso) come "necessariamente l'uno o l'altro segno, ma non entrambi".
Tutto quello che dico vale per il caso reale e in generale non si applica al caso complesso.
La radice quadrata, che si denota col simbolo $\sqrt(\cdot)$, è una funzione (quindi il valore che assume per ciascun valore sul quale è definita è unico) che restituisce il valore positivo il cui quadrato è il numero sotto il segno di radice. Se scrivi $\sqrt(x)$ stai indicando un numero positivo. I numeri che elevati al quadrato ti danno $x$ (i.e. le soluzioni per $y$ dell'equazione $y^2 = x$) sono due, $\sqrt(x)$ e $\-sqrt(x)$.
EDIT: chiedo scusa per il doppio post, correggo.
Attento: le due possibilità si escludono a vicenda, il simbolo $+-$ va interpretato (in questo caso) come "necessariamente l'uno o l'altro segno, ma non entrambi".
"matematicamenteparlando":
alcuni dicono che la radice di 16 sia solo 4 altri,come le prime righe di quel link , dicono che è sia -4 che 4.
Tutto quello che dico vale per il caso reale e in generale non si applica al caso complesso.
La radice quadrata, che si denota col simbolo $\sqrt(\cdot)$, è una funzione (quindi il valore che assume per ciascun valore sul quale è definita è unico) che restituisce il valore positivo il cui quadrato è il numero sotto il segno di radice. Se scrivi $\sqrt(x)$ stai indicando un numero positivo. I numeri che elevati al quadrato ti danno $x$ (i.e. le soluzioni per $y$ dell'equazione $y^2 = x$) sono due, $\sqrt(x)$ e $\-sqrt(x)$.
EDIT: chiedo scusa per il doppio post, correggo.
Quindi se ho capito bene, se mi trovo in una equazione le soluzioni sono due mentre se la tratto come funzione è solo quella positiva.E' così?
Inoltre hai detto che quando in una equazione si usa $+-$ una soluzione esclude l'altra,però perchè quando risolviamo equazioni di secondo grado esempio: $x^2=2$ come soluzione mettiamo $-sqrt(x) E +sqrt(x)$ ?
cioè mica poi alla fine le scegliamo
Inoltre hai detto che quando in una equazione si usa $+-$ una soluzione esclude l'altra,però perchè quando risolviamo equazioni di secondo grado esempio: $x^2=2$ come soluzione mettiamo $-sqrt(x) E +sqrt(x)$ ?
cioè mica poi alla fine le scegliamo
"matematicamenteparlando":
Quindi se ho capito bene, se mi trovo in una equazione le soluzioni sono due mentre se la tratto come funzione è solo quella positiva.E' così?
In pratica, sì.
"matematicamenteparlando":
Inoltre hai detto che quando in una equazione si usa $+-$ una soluzione esclude l'altra,però perchè quando risolviamo equazioni di secondo grado esempio: $x^2=2$ come soluzione mettiamo $-sqrt(x) E +sqrt(x)$ ?
cioè mica poi alla fine le scegliamo
Mh, no, forse mi sono espresso male. Stavo ponendo l'accento sul fatto che $+-2$ NON è un unico numero reale con due segni (Dio non voglia che esista una roba del genere), ma una scrittura convenzionale che in un colpo rappresenta due numeri distinti (sarebbe decisamente molto meglio scrivere $x \in \{-2; 2\}$ in luogo di $x = +-2$ dato che in questo caso significano esattamente la stessa cosa). Chiaramente se le soluzioni di un'equazione sono due, non c'è da scegliere niente
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