Valore assoluto

[ditek]

raga nn ho mai capito quando c'è un valore assoluto nella funzione:
come si calcola il dominio?
come si studia il grafico?

[freddofede]

"ditek":raga nn ho mai capito quando c'è un valore assoluto nella funzione:
come si calcola il dominio?
come si studia il grafico?

E' semplice: se hai una funzione con il valore assoluto al suo interno, supponiamo sia |expr|, mettiamo |expr| = expr quando consideriamo x > 0 e |expr| = -expr quando prendiamo x < 0, questo per quante espressioni ci siano col valore assoluto.

Ad esempio $x^2 + 10x + |3 + x|$

Per x>0 diventa $x^2 + 10x + 3 + x$

Per x<0 $x^2 + 10x + - 3 - x$

E per il disegno e lo studio del grafico usiamo una di queste due funzioni a seconda del segno di x. Il dominio dipende da funzione a funzione, ma tenendo in mente questo principio il valore assoluto non dovrebbe essere un ostacolo.

P.S.:Hai qualcosa in particolare che non ti riesce?

[Camillo]

Attenzione $ |x+3 | = x+3 $ se $x >= -3$
ed è =$-x-3 $ se $ x < -3 $ .
In generale è :
$| f(x) |= f(x) $ per $ f(x) > 0 $, mentre vale $ -f(x) $ per $f(x) < 0 $ .
il modulo rende sempre positivo( o nullo ) quello che è il suo argomento.

[freddofede]

"camillo":Attenzione $ |x+3 | = x+3 $ se $x >= -3$
ed è =$-x-3 $ se $ x < -3 $ .
In generale è :
$| f(x) |= f(x) $ per $ f(x) > 0 $, mentre vale $ -f(x) $ per $f(x) < 0 $ .
il modulo rende sempre positivo( o nullo ) quello che è il suo argomento.

e si va di nulla ... il bello è che è roba del liceo è meglio se vado a

Spero che ditek non si sia intortato ancora di più

[ditek]

queste cose le conosco già. io intendevo come si calcola il dominio. supponiamo che ho il valore assoluto di una quantità al denominatore e per il dominio devo porre il denominatore diverso da 0. anche se c'è il valore assoluto essendo una quiantità positiva? ci sono anche + casi

[freddofede]

"ditek":queste cose le conosco già. io intendevo come si calcola il dominio. supponiamo che ho il valore assoluto di una quantità al denominatore e per il dominio devo porre il denominatore diverso da 0. anche se c'è il valore assoluto essendo una quiantità positiva? ci sono anche + casi

Certo nel caso che hai detto te, perchè |0|=0. Poi i vari casi vanno discussi, ad esempio se hai $sqrt(|x|)$ vuoldire che x ha dominio in $RR$ al contrario di $sqrt(x)$ (non considerando numeri complessi), mentre per una frazione con polinomi al denominatore e al numeratore, non credo che il dominio cambi in presenza di valore assoluto...

[ditek]

ti puoi spiegare meglio?

[freddofede]

"ditek":ti puoi spiegare meglio?

Ho fatto solo alcuni esempi.
Ad esempio, se prendiamo $f(x)=sqrt(x)$, il dominio va posto, senza considerare i numeri complessi, da 0 a $+oo$, perchè una radice di un numero negativo non ha soluzioni reali. Se invece l'espressione è $sqrt(|x|)$, il dominio della x potrà essere tutto $RR$, perchè pur prendendo un argomento della radice negativo, il valore assoluto lo invertirà di segno e quindi questo diverrà valido.
Se invece consideriamo una frazione di polinomi, supponiamo come hai detto te con il valore assoluto al denominatore, abbiamo che il suo dominio è identico a quello che avrebbe l'espressione senza il valore assoluto. Perchè? Per trovare il dominio di una frazione di polinomi dobbiamo porre solamente il denominatore diverso da zero, ma i valori di x che rendevano il denominatore uguale a zero non cambiano con l'aggiunta del valore assoluto. Infatti prendiamo per esempio come denominatore

$(x - 1)(x + 2) = x^2 + x - 2$

I valori che annullano il polinomio sono chiaramente x = 1 e x = -2. Ma questi annullano anche il suo valore assoluto. Infatti, poniamo x = 1:

$|x^2 + x - 2| = |1 + 1 - 2| = |0| = 0$

Stessa cosa con x = -2. Quindi in questo caso l'aggiunta del valore assoluto lascerà identico il dominio dell'espressione, in quanto i valori che annullano il polinomio rimarranno i soliti: cambierà solo che i valori di x che davano un risultato negativo al polinomio ora lo daranno positivo, per effetto dell'inversione di segno dovuta al valore assoluto. Es x = -1

$|x^2 + x - 2| = |1 - 1 - 2| = |-2| = 2 $

E' evidente quindi l'assenza di variazioni nel dominio.
Il grafico si deduce facilmente, per esempio invertendo simmetricamente all'asse x gli intervalli in cui la funzione era negativa prima di porre il valore assoluto.

Spero di essere riuscito a spiegarmi più chiaramente; comunque, tieni conto che queste cose è più difficile spiegarle a parole che vederle applicate ad esempi, quindi ti consiglio di macinare esercizi e di chiedere spesso spiegazioni al tuo professore. Se poi vuoi postare altre cose che non ti tornano, si proverà a risolverle, magari con l'aiuto anche di persone più esperte del sottoscritto.
Il "trucchetto", comunque, rimane quello di considerare l'effetto che fa l'inversione del segno per i negativi sulla validità dell'espressione: se lascia invariato il dominio, lo amplia o lo restringe.

[ditek]

grazie della teoria. però ora devo togliermi dei dubbi:

1)che significa che la funzione è regolare?
2)cos'è il punto di accumulazione?
3)il concetto di limite anche dal punto di vista grafico.


sono concetti che bene o male li conosco però vorrei approfondirli

[freddofede]

"ditek":grazie della teoria. però ora devo togliermi dei dubbi:

1)che significa che la funzione è regolare?
2)cos'è il punto di accumulazione?
3)il concetto di limite anche dal punto di vista grafico.


sono concetti che bene o male li conosco però vorrei approfondirli

Gli 1 e il 2 purtroppo non li abbiamo studiati; il concetto di limite in pratica indica verso che punto una linea si sta avvicinando man mano che la x si avvicina a un determinato punto, detto "alla gretta" ...

[Sk_Anonymous]

"ditek":
2)cos'è il punto di accumulazione?

Si parla di topologia... Siano $A \subseteq X$ ed $(X, \tau)$ uno sp. topologico. Si dice allora che un punto $x_0 \in X$ è di accumulazione per $A$ sse, comunque scelto un intorno $U$ di $x_0$ nella topologia, vale che $A \cap U \ne \emptyset$. L'insieme dei punti di accumulazione di $A$, che s'indica con $der(A)$, è detto il derivato di $A$. In particolare, un punto $x_0 \in \mathbb{R}$ è di accumulazione per un assegnato insieme $A \subseteq \mathbb{R}$, nell'usuale topologia indotta dalla metrica euclidea sulla retta, sse, per ogni $\delta > 0$, esiste $x \in A$ tale che $|x - x_0| < \delta$.

[ditek]

questo lo so anche io ma detto un pò tra di noi per farmi capire?

[Sk_Anonymous]

"ditek":questo lo so anche io ma detto un pò tra di noi per farmi capire?

...ne deduco che ti serve l'esempio chiarificatore. Andiamo sul classico: supponiamo sia $A := \{1/n: n \in \mathbb{Z}^+\}$ e attrezziamo $\mathbb{R}$ della topologia metrica euclidea. Intendiamo provare che $0 \in der(A)$. Per ogni $\delta > 0$, esiste infatti un $a\in A$ tale che $\delta > |a - 0| = a$. Basta assumere $a := 1/n$, con $n :=$ floor$(\frac{1}{\delta} ) + 1$. Dunque $0$ è un p.to di accumulazione per $A$ (vedi post precedente a questo).

[ditek]

intendevo il contrario cioè detto in termini + semplici

[Sk_Anonymous]

"ditek":intendevo il contrario cioè detto in termini + semplici

Guarda che non si può mica parlare inglese usando la grammatica e il vocabolario francese, eh...

[ditek]

raga ritornando al valore assoluto cosa comporta quando si trova nel calcolo dei limiti?

[Christiantric]

"ditek":raga ritornando al valore assoluto cosa comporta quando si trova nel calcolo dei limiti?

Quando si trova nel calcolo dei limiti significa che devi considerare |f(x)| sempre positiva anche se f(x) può assumere valori negativi. In altre parole il valore assoluto restringe la tua funzione.