Va bene come impostazione di un integrale?
Salve a tutti, l'esercizio è questo
Calcolare l'area del pezzo della superficie $z^2=x^2+y^2+1$ contenuto in $0 < z < 2$.
Procedo così:
$int_D dxdy int_0^2 sqrt(x^2+y^2+1)$ e facendo i calcoli ottengo $ int_D 2sqrt(x^2+y^2+1) dxdy$ ed adesso devo determinare D con le coordinate polari.
Secondo voi fin qua va bene?Perchè nelle soluzioni del prof(che ci ha detto che vi possono essere errori) risulta così $int_D sqrt(4x^2+4y^2+1)$ e poi usa le polari.
Se porto dentro il 2 alla radice i termini al quadrato coincidono ma l'uno mi diventa un quattro!:( perchè?grazie!
Calcolare l'area del pezzo della superficie $z^2=x^2+y^2+1$ contenuto in $0 < z < 2$.
Procedo così:
$int_D dxdy int_0^2 sqrt(x^2+y^2+1)$ e facendo i calcoli ottengo $ int_D 2sqrt(x^2+y^2+1) dxdy$ ed adesso devo determinare D con le coordinate polari.
Secondo voi fin qua va bene?Perchè nelle soluzioni del prof(che ci ha detto che vi possono essere errori) risulta così $int_D sqrt(4x^2+4y^2+1)$ e poi usa le polari.
Se porto dentro il 2 alla radice i termini al quadrato coincidono ma l'uno mi diventa un quattro!:( perchè?grazie!
Risposte
"matteomors":
Salve a tutti, l'esercizio è questo
Calcolare l'area del pezzo della superficie $z^2=x^2+y^2+1$ contenuto in $0 < z < 2$.
Procedo così:
$int_D dxdy int_0^2 sqrt(x^2+y^2+1)$ e facendo i calcoli ottengo $ int_D 2sqrt(x^2+y^2+1) dxdy$ ed adesso devo determinare D con le coordinate polari.
Secondo voi fin qua va bene?Perchè nelle soluzioni del prof(che ci ha detto che vi possono essere errori) risulta così $int_D sqrt(4x^2+4y^2+1)$ e poi usa le polari.
Se porto dentro il 2 alla radice i termini al quadrato coincidono ma l'uno mi diventa un quattro!:( perchè?grazie!
Non mi pare che abbia molto senso quello che hai scritto.
Anche perche', cosi' come hai scritto tu, cos'e' D?
Io direi che devi semplicemente fare un integrale doppio in x e y col dominio $0<=x^2+y^2+1<=4$ (dato che $0<=z<=2$)
Come lo imposteresti scusa?
Ti posto la soluzione del prof...scusami ma sto andando un pò in confusione e l'esame si avvicina...panico!!
Ti posto la soluzione del prof...scusami ma sto andando un pò in confusione e l'esame si avvicina...panico!!
mmh non mi tornano i uoi conti, ma neanche quelli del prof, o forse sono simili, ma non ne vedo la connessione.
In qualcunque caso, assumiamo che D sia la proiezione della nostra superficie sul paino xy. Poi, sapendo che la superficie in questione è cartesiana, cioè si più scrivere come: $\sigma(x,y) = (x,y,sqrt(1 + x^2 + y^2))$ (con $f(x,y) = sqrt(1 + x^2 + y^2)$) allora l' area della supercie che vuoi calcolare sarà per difinizione: $\int\int_D ||\sigma_x^^^\sigma_y||dxdy$ cioè: $\int\int_D sqrt(1 + (f_x)^2 + (f_y)^2)dxdy$
In qualcunque caso, assumiamo che D sia la proiezione della nostra superficie sul paino xy. Poi, sapendo che la superficie in questione è cartesiana, cioè si più scrivere come: $\sigma(x,y) = (x,y,sqrt(1 + x^2 + y^2))$ (con $f(x,y) = sqrt(1 + x^2 + y^2)$) allora l' area della supercie che vuoi calcolare sarà per difinizione: $\int\int_D ||\sigma_x^^^\sigma_y||dxdy$ cioè: $\int\int_D sqrt(1 + (f_x)^2 + (f_y)^2)dxdy$
"matteomors":
Come lo imposteresti scusa?
Ti posto la soluzione del prof...scusami ma sto andando un pò in confusione e l'esame si avvicina...panico!!
Anche il tuo prof fa qualche errore.
Allora le cose stanno in questi termini.
Provo a spiegarti.
Devi calcolare l'area di una superficie che ti viene data come grafico, cioè hai $z=f(x,y)$ cioè nel tuo caso $f(x,y)=sqrt(1+x^2+y^2)$.
In tal caso allora il grafico è dato da $int int sqrt(1+(del/(delx)f)^2+(del/(dely)f)^2)dx dy$ ovviamente fatto in un opportuno dominio D.
Ora $del/(delx)f=1/2*(2x)/sqrt(1+x^2+y^2)$ e analogamente $del/(dely)f$
Il dominio diventa $0<=x^2+y^2+1<=4$ da cui $-1<=x^2+y^2<=3$ da cui $0<=x^2+y^2<=3$
Svolgi i calcoli, passa in coordinate polari e il tutto dovrebbe uscirti
Intanto grazie...avrei 2 cose da chiederti che mi sorgono mentre provo a svolgere l'esercizio:
1)Se il dominio è $0<=x^2+y^2<=3$ passando in coordinate polari otterrei che $0<=r<=sqrt(3)$, quindi ha sbagliato il prof che per lui $0<=r<=1$ ?
2)Perchè devo fare le derivate della funzione?Non le ho mai fatte...è una cosa standard che va fatta in certi casi? Scusa ma mi è nuova e mi hai proprio spiazzato
1)Se il dominio è $0<=x^2+y^2<=3$ passando in coordinate polari otterrei che $0<=r<=sqrt(3)$, quindi ha sbagliato il prof che per lui $0<=r<=1$ ?
2)Perchè devo fare le derivate della funzione?Non le ho mai fatte...è una cosa standard che va fatta in certi casi? Scusa ma mi è nuova e mi hai proprio spiazzato
1) si, ha sbagliato il tuo prof.
2) la formula che ti abbiamo dato è quella standard per trovare l'area di superficie in $R^3$, è questo il punto importante.
Poi per eveitare errori grossolani come quelli che hai scritto nel primo post, ricorda che in qualunque caso non è passibile trovare una superficie utilizzando un integrale triplo, quindi quando si parla di superfici dimenticati assolutamente del $dz$ e di integrali tripli.
La formula generale prevede che tu faccia l'integrale doppio sulla proiezione della tua superficie nel piano xy, della norma, del prodotto vettoriale tra le derivate parziali della parametrizzazione. (Che si riassume in quello scritto nel post precedente). Poi nel caso di una superficie cartesiana, il calcolo si riduce a quello che ti ha spiegato bene misanino.
2) la formula che ti abbiamo dato è quella standard per trovare l'area di superficie in $R^3$, è questo il punto importante.
Poi per eveitare errori grossolani come quelli che hai scritto nel primo post, ricorda che in qualunque caso non è passibile trovare una superficie utilizzando un integrale triplo, quindi quando si parla di superfici dimenticati assolutamente del $dz$ e di integrali tripli.
La formula generale prevede che tu faccia l'integrale doppio sulla proiezione della tua superficie nel piano xy, della norma, del prodotto vettoriale tra le derivate parziali della parametrizzazione. (Che si riassume in quello scritto nel post precedente). Poi nel caso di una superficie cartesiana, il calcolo si riduce a quello che ti ha spiegato bene misanino.
Grazie stefano, ho ancora qualche piccolo dubbio.
Quindi quando si parla di superficie devo sempre applicare quella formula che mi avete scritto?
Inoltre parlare di area e superficie è la stessa cosa?
Quindi quando si parla di superficie devo sempre applicare quella formula che mi avete scritto?
Inoltre parlare di area e superficie è la stessa cosa?
Quindi quando si parla di superficie devo sempre applicare quella formula che mi avete scritto?
Solo quando ci si trova in $R^3$. Se ci si trova in $R^2$ si applica la formula standard: $\int\int_D dxdy$
Inoltre parlare di area e superficie è la stessa cosa?
Mmh non ci ho mai pensato, ma penso di poter dire con una certa sicurezza che: l' area è uno scalare, cioè un numero, e indica la misura di una superficie $\Sigma$, mentre la superficie è l' espressione che identifica una figura nello spazio.
Grazie.
Tornando all'esercizio, se non ho capito male lo imposto così:
$int_0^{2\pi}d\theta int_0^sqrt(3) 1+(rcos\theta)/(sqrt(1+r^2))+(rsin\theta)/(sqrt(1+r^2))rdr$
Tornando all'esercizio, se non ho capito male lo imposto così:
$int_0^{2\pi}d\theta int_0^sqrt(3) 1+(rcos\theta)/(sqrt(1+r^2))+(rsin\theta)/(sqrt(1+r^2))rdr$
"matteomors":
Grazie.
Tornando all'esercizio, se non ho capito male lo imposto così:
$int_0^{2\pi}d\theta int_0^sqrt(3) 1+(rcos\theta)/(sqrt(1+r^2))+(rsin\theta)/(sqrt(1+r^2))rdr$
Piu precisamente è così: $int_0^{2\pi}d\theta int_0^sqrt(3) (1+(rcos\theta)/(sqrt(1+r^2))+(rsin\theta)/(sqrt(1+r^2)))rdr$
Dev' essere moltiplicato tutto per $r$.
"matteomors":
Grazie.
Tornando all'esercizio, se non ho capito male lo imposto così:
$int_0^{2\pi}d\theta int_0^sqrt(3) 1+(rcos\theta)/(sqrt(1+r^2))+(rsin\theta)/(sqrt(1+r^2))rdr$
Attenti che nella formula c'erano i quadrati delle derivate e poi una radice quadrata su tutto!!
"misanino":
[quote="matteomors"]Grazie.
Tornando all'esercizio, se non ho capito male lo imposto così:
$int_0^{2\pi}d\theta int_0^sqrt(3) 1+(rcos\theta)/(sqrt(1+r^2))+(rsin\theta)/(sqrt(1+r^2))rdr$
Attenti che nella formula c'erano i quadrati delle derivate e poi una radice quadrata su tutto!![/quote]
Ah già è vero scusami, ho fatto i calcoli ieri sera e ho dato per scontato che li avesse fatti giusti..
Scusate...eccolo:
$int_0^{2\pi}d\theta int_0^sqrt(3) (sqrt(1+(r^2cos^2\theta)/(1+r^2)+(r^2sin^2\theta)/(1+r^2)))rdr$
già che ci sono ve ne posto uno che ho appena fatto e spero sia dello stesso tipo...
Calcolare la superficie $z=x^2+y^2$ contenuta in $z<=x+y$
Dovrebbe essere così:
$int_0^{2\pi}d\theta int_0^{1/sqrt(2)} (2rcos\theta+1+2rsin\theta+1)rdr$
$int_0^{2\pi}d\theta int_0^sqrt(3) (sqrt(1+(r^2cos^2\theta)/(1+r^2)+(r^2sin^2\theta)/(1+r^2)))rdr$
già che ci sono ve ne posto uno che ho appena fatto e spero sia dello stesso tipo...
Calcolare la superficie $z=x^2+y^2$ contenuta in $z<=x+y$
Dovrebbe essere così:
$int_0^{2\pi}d\theta int_0^{1/sqrt(2)} (2rcos\theta+1+2rsin\theta+1)rdr$
"matteomors":
Scusate...eccolo:
$int_0^{2\pi}d\theta int_0^sqrt(3) (sqrt(1+(r^2cos^2\theta)/(1+r^2)+(r^2sin^2\theta)/(1+r^2)))rdr$
già che ci sono ve ne posto uno che ho appena fatto e spero sia dello stesso tipo...
Calcolare la superficie $z=x^2+y^2$ contenuta in $z<=x+y$
Dovrebbe essere così:
$int_0^{2\pi}d\theta int_0^{1/sqrt(2)} (2rcos\theta+1+2rsin\theta+1)rdr$
Non ho controllato se gli estremi di integrazione sono corretti, ma penso di si, visto che questo esercizio mi ricorda un tuo post di qualche giorno fa.
Comuque no, vediamo che calcoli hai fatto e poi vediamo di correggerli.
Grazie ancora:)
"matteomors":
Grazie ancora:)
Ho detto che gli estremi di integrazione dovrebbero essere corretti. ma l' integrando no
Posta i passaggi che hai fatto.
Hai ragione...
avendo posto $x=rcos\theta + 1/2,y=rsin\theta+1/2$ ed essendo l'integrando $x^2+y^2$ ottengo:
$r^2+1/4+1/4+rcos\theta+rsin\theta$ giusto?
avendo posto $x=rcos\theta + 1/2,y=rsin\theta+1/2$ ed essendo l'integrando $x^2+y^2$ ottengo:
$r^2+1/4+1/4+rcos\theta+rsin\theta$ giusto?
"matteomors":
Hai ragione...
avendo posto $x=rcos\theta + 1/2,y=rsin\theta+1/2$ ed essendo l'integrando $x^2+y^2$ ottengo:
$r^2+1/4+1/4+rcos\theta+rsin\theta$ giusto?
Nono aspetta, le polari le usi per trovarti gli estremi di integrazione.
L' integrando invece, te lo calcoli prima in x e y come abbiamo detto prima. Dopo che hai derivato, elevato al quadrato, fatto la norma, e hai il tuo bell' integrando in x e y, allora puoi applicare le polari. Così fai meno confusione.
OK...
allora derivo ed ottengo $2x+2y$ poi devo ripristinare i quadrati quindi avrò $(2x)^2+(2y)^2$ a questo punto posso usare le polari no?
Spero di non fare altri errori...vi giuro che non sto facendo apposta
Quindi se posso usare le polari diventa $((2rcos\theta+1/2)^2+(2rsin\theta+1/2)^2)r dr $ right?
allora derivo ed ottengo $2x+2y$ poi devo ripristinare i quadrati quindi avrò $(2x)^2+(2y)^2$ a questo punto posso usare le polari no?
Spero di non fare altri errori...vi giuro che non sto facendo apposta
Quindi se posso usare le polari diventa $((2rcos\theta+1/2)^2+(2rsin\theta+1/2)^2)r dr $ right?
"matteomors":
OK...
allora derivo ed ottengo $2x+2y$ poi devo ripristinare i quadrati quindi avrò $(2x)^2+(2y)^2$ a questo punto posso usare le polari no?
Spero di non fare altri errori...vi giuro che non sto facendo apposta
Quindi se posso usare le polari diventa $((2rcos\theta+1/2)^2+(2rsin\theta+1/2)^2)r dr $ right?
Mmh quasi, ti sei dimenticato che il 2 davanti ad x ed y viene moltiplicato anche per gli $1/2$ delle polari, poi va sommato 1 come c' era scritto nella formula, ed il tutto va sotto radice, apparte la $r$ più a destra.
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