Urangutang
Su questo sito ogni tanto sento nominare il metodo 'urangutang' per risolvere le equazioni differenziali. Ma che è??? Io ho fatto un corso di equazioni differenziali alla Sapienza, ma non ho mai sentito di urangutanghi. Forse lo chiamano in altro modo?
Risposte
Il punto poco formale non sta nella differenziazione ma nel dividere per una funzione. Se le due funzioni sono sufficientemente regolari, cosa che in fisica si suppone vero, allora tu puoi differenziare, essendo l'operatore $d$ ben definito. Quello che però tu devi controllare sono cose come l'annullarsi di una delle due funzioni.
Dov'è che avrei diviso per una funzione?
La derivata di una funzione è una funzione.
Appunto! Ed è proprio questo il problema...perchè Dini ti dice che puoi farlo solo in un intervallo in cui $(dA)/(dx)\neq 0$? Te lo impone proprio perchè ti dice che la derivata della funzione implicita ha proprio lui al denominatore.
Torno alle mie domande:
-Il modo in cui ho motivato con DIni la differenziazione membro a membro è giusto?
-Visto che tra $\theta=0$ e $\theta=2\pi$ c'è qualche punto in cui la derivata fa proprio 0, chi mi garantisce che la derivata nei differenti intervalli ha sempre quell'espressione lì?
Torno alle mie domande:
-Il modo in cui ho motivato con DIni la differenziazione membro a membro è giusto?
-Visto che tra $\theta=0$ e $\theta=2\pi$ c'è qualche punto in cui la derivata fa proprio 0, chi mi garantisce che la derivata nei differenti intervalli ha sempre quell'espressione lì?
Esistono teoremi qualitativi delle equazioni differenziali, sia sulla esistenza di soluzioni locali sia sulla loro estensione. Sul sito del professor Patrone vi sono interessanti tutte le informazioni necessarie per usare in modo consapevole i metodi di sostituzione. Ti suggerisco di leggere quelle brevi dispense. Il link è in prima pagina.
Le ho lette, forse non hai capito bene la mia domanda, in effetti mi rendo conto che è poco chiara, quindi riavvolgiamo un pò il nastro per mettere ordine al discorso.
Problema
Voglio calcolare il seguente integrale
$\int_a^b f(x) dx$
E ho a disposizione una variabile, che chiamo y, legata a x da una relazione del tipo
$A(x)=B(y)$
dove A e B sono due funzioni. Il mio obiettivo è scrivere quell'integrale come un integrale in dy.
Individuo un intervallo dentro [a,b], chiamiamolo J, in cui $(\partial A)/(\partial x)\ne 0$ per ogni x in J.
Per Dini, esiste una $f$ tale che $y=f(x)$, e so anche quanto fa $(df(x))/(dx)$.
Il problema è che il mio integrale non è in J, ma è in [a,b], per cui volevo chiedermi com'è possibile accertarmi che il cambio di variabile risultante è valido in tutto [a,b], non solo in J..
Problema
Voglio calcolare il seguente integrale
$\int_a^b f(x) dx$
E ho a disposizione una variabile, che chiamo y, legata a x da una relazione del tipo
$A(x)=B(y)$
dove A e B sono due funzioni. Il mio obiettivo è scrivere quell'integrale come un integrale in dy.
Individuo un intervallo dentro [a,b], chiamiamolo J, in cui $(\partial A)/(\partial x)\ne 0$ per ogni x in J.
Per Dini, esiste una $f$ tale che $y=f(x)$, e so anche quanto fa $(df(x))/(dx)$.
Il problema è che il mio integrale non è in J, ma è in [a,b], per cui volevo chiedermi com'è possibile accertarmi che il cambio di variabile risultante è valido in tutto [a,b], non solo in J..
Di solito questi sono conti che si fanno esplicitamente... Ad ogni modo, nel caso generale, se \(J\neq [a,b]\) il cambiamento di variabile non ti permette di calcolare l'integrale che hai scelto (a meno di altri trucchi).
Voglio calcolare il seguente integrale
$\int_a^b f(x) dx$
E ho a disposizione una variabile, che chiamo y, legata a x da una relazione del tipo
$A(x)=B(y)$
dove A e B sono due funzioni. Il mio obiettivo è scrivere quell'integrale come un integrale in dy.
Individuo un intervallo dentro [a,b], chiamiamolo J, in cui $(\partial A)/(\partial x)\ne 0$ per ogni x in J.
Mi sorge un dubbio: quando si fa l'integrazione per sostituzione in genere si usa una trasformazione invertibile, quindi monotona, il problema della derivata che si annulla in alcuni punti non ci dovrebbe stare.
La trasformazione con $ vartheta $ che prendi da Rosati non è monotona, non è che c'è una restrizione? Mi devo vedere questo benedetto Rosati, se no resto con la curiosità.
$\int_a^b f(x) dx$
E ho a disposizione una variabile, che chiamo y, legata a x da una relazione del tipo
$A(x)=B(y)$
dove A e B sono due funzioni. Il mio obiettivo è scrivere quell'integrale come un integrale in dy.
Individuo un intervallo dentro [a,b], chiamiamolo J, in cui $(\partial A)/(\partial x)\ne 0$ per ogni x in J.
Mi sorge un dubbio: quando si fa l'integrazione per sostituzione in genere si usa una trasformazione invertibile, quindi monotona, il problema della derivata che si annulla in alcuni punti non ci dovrebbe stare.
La trasformazione con $ vartheta $ che prendi da Rosati non è monotona, non è che c'è una restrizione? Mi devo vedere questo benedetto Rosati, se no resto con la curiosità.
Ti trovo un link?
Il Rosati non si crea problemi di nessun genere, fa quell'operazione coi dx e sostituisce, fine della conversazione...ma per qualche arcano motivo funziona...ed è strano, perchè per l'appunto l'equazione da cui estrae la funzione non è derivabile in tutti i punti. Lui usa
$X^2= R^2+\rho^2-2R\rho\cos\theta$
La derivata parziale della funzione $g(X,\theta)=X^2+R^2-\rho^2+2R\rho\cos\theta$ è $-2R\rho\sin\theta$.
Pace che voglia estrapolare X, ma $\sin\theta = 0$ per $\theta=0,\pi,2\pi$. Per questo non riesco a capire come possa essere legittimo fare brutalmente la sostituzione
$\int_0^(2\pi) *** d\theta = \int_(R-\rho)^(R+\rho)****** dX$
Il Rosati non si crea problemi di nessun genere, fa quell'operazione coi dx e sostituisce, fine della conversazione...ma per qualche arcano motivo funziona...ed è strano, perchè per l'appunto l'equazione da cui estrae la funzione non è derivabile in tutti i punti. Lui usa
$X^2= R^2+\rho^2-2R\rho\cos\theta$
La derivata parziale della funzione $g(X,\theta)=X^2+R^2-\rho^2+2R\rho\cos\theta$ è $-2R\rho\sin\theta$.
Pace che voglia estrapolare X, ma $\sin\theta = 0$ per $\theta=0,\pi,2\pi$. Per questo non riesco a capire come possa essere legittimo fare brutalmente la sostituzione
$\int_0^(2\pi) *** d\theta = \int_(R-\rho)^(R+\rho)****** dX$
L'integrale è ininfluente per il valore in spazi trascurabili.
$ dx=(B'(y))/(A'(B(y)))yd $[quote=newton_1372]Ti trovo un link?
Il Rosati non si crea problemi di nessun genere, fa quell'operazione coi dx e sostituisce, fine della conversazione...ma per qualche arcano motivo funziona...ed è strano, perchè per l'appunto l'equazione da cui estrae la funzione non è derivabile in tutti i punti.
Grazie, ma Rosati lo vorrei guardare in biblioteca appena riapre se no non ci capisco.
Negli integralimultipli le cose sono più complicate, è necessario che il detrminante della jacobiana della trasformazione sia diverso da 0, ma le singole derivate possono pure annullarsi.
Per quanto riguarda l'urang-rosati in una variabile di posto la mia versione, del caso A(x)=B(y), è un caso del tutto normale.
Sia
$ intf(A(x) dx $ / $ dx ( $ int dx/(1+sqrt(1+x^2) $ ad es., $ A(x)=x^2 $ )
$ A(x)=B(y) $ (ad es. si vuole sostituire $ x^2=y^2-1 $ )
$ x=A^-1(B(y)) $ (A deve essere invertibile, per x^2 ad es. si prende una restrizione)
$ dx=(B'(y))/(A'(B(y)))dy $
E' il solito urang in una variabile.
Così mi sembra più semplice, di più immediata comprensione e non c'è bisogno di scomodare Dini per fare una derivata, ma poi è lo stesso. A deve essere invertibile ma con Dini la
derivata al denominatore deve essere diversa da 0, e quindi siamo lì.
Il Rosati non si crea problemi di nessun genere, fa quell'operazione coi dx e sostituisce, fine della conversazione...ma per qualche arcano motivo funziona...ed è strano, perchè per l'appunto l'equazione da cui estrae la funzione non è derivabile in tutti i punti.
Grazie, ma Rosati lo vorrei guardare in biblioteca appena riapre se no non ci capisco.
Negli integralimultipli le cose sono più complicate, è necessario che il detrminante della jacobiana della trasformazione sia diverso da 0, ma le singole derivate possono pure annullarsi.
Per quanto riguarda l'urang-rosati in una variabile di posto la mia versione, del caso A(x)=B(y), è un caso del tutto normale.
Sia
$ intf(A(x) dx $ / $ dx ( $ int dx/(1+sqrt(1+x^2) $ ad es., $ A(x)=x^2 $ )
$ A(x)=B(y) $ (ad es. si vuole sostituire $ x^2=y^2-1 $ )
$ x=A^-1(B(y)) $ (A deve essere invertibile, per x^2 ad es. si prende una restrizione)
$ dx=(B'(y))/(A'(B(y)))dy $
E' il solito urang in una variabile.
Così mi sembra più semplice, di più immediata comprensione e non c'è bisogno di scomodare Dini per fare una derivata, ma poi è lo stesso. A deve essere invertibile ma con Dini la
derivata al denominatore deve essere diversa da 0, e quindi siamo lì.
E' venuto una cosa illegibile? Non so perché l'anteprima andava bene
pleease puoi riscrivere? (E ne approfitto per uppare lol!)
Sia
$ intf(A(x) dx $
Vogliamo sostituire $ B(y) $ a $ A(x) $ .
Abbiamo:
$ A(x)=B(y) $
da cui
$ x=A^-1(B(y)) $
con il solito urang in una variabile:
$ dx=(B'(y))/(A'(B(y)))dy $
A deve essere invertibile, ma con Dini la derivata non deve annullarsi, quindi siamo lì.
Ribadisco che in più variabili è diverso, lì non si deve annullare il determinante della Jacobiana della trasformazione, le singole derivate possono annullarsi.
Spero di non avere fatto troppi errori, oggi il sito mi sta facendo impazzire, mi logga out una continuazione e mi cancella i messaggi, è la quarta volta che riscrivo.
$ intf(A(x) dx $
Vogliamo sostituire $ B(y) $ a $ A(x) $ .
Abbiamo:
$ A(x)=B(y) $
da cui
$ x=A^-1(B(y)) $
con il solito urang in una variabile:
$ dx=(B'(y))/(A'(B(y)))dy $
A deve essere invertibile, ma con Dini la derivata non deve annullarsi, quindi siamo lì.
Ribadisco che in più variabili è diverso, lì non si deve annullare il determinante della Jacobiana della trasformazione, le singole derivate possono annullarsi.
Spero di non avere fatto troppi errori, oggi il sito mi sta facendo impazzire, mi logga out una continuazione e mi cancella i messaggi, è la quarta volta che riscrivo.
Sarebbe comodo, se A fosse invertibile. RIprendiamo in mano le notazioni.
L'equazione era
$X^2 = R^2+\rho^2-2R\rho \cos\theta$.
Il problema ora è che la funzione $A(X)= X^2$ si guarda bene dall'essere invertibile...in realtà mi basta che lo fosse per $\theta$ che va da 0 a $\pi$. In effetti per $\theta=0$ viene
$X^2=R^2+\rho^2-2R\rho= (R+\rho)^2$ il che è abbastanza incoraggiante.
Per $\theta=2\pi$ viene uguale. Se riuscissi a dimostrare che per $\theta$ compreso fra $2\pi$ e 0 la funzione $\rho^2+R^2-2r\rho\cos\theta$ si mantiene sempre positiva, allora potrei pensare di effettuare una restrizione, e considerare $X^2$ invertibile..
O sbaglio?
L'equazione era
$X^2 = R^2+\rho^2-2R\rho \cos\theta$.
Il problema ora è che la funzione $A(X)= X^2$ si guarda bene dall'essere invertibile...in realtà mi basta che lo fosse per $\theta$ che va da 0 a $\pi$. In effetti per $\theta=0$ viene
$X^2=R^2+\rho^2-2R\rho= (R+\rho)^2$ il che è abbastanza incoraggiante.
Per $\theta=2\pi$ viene uguale. Se riuscissi a dimostrare che per $\theta$ compreso fra $2\pi$ e 0 la funzione $\rho^2+R^2-2r\rho\cos\theta$ si mantiene sempre positiva, allora potrei pensare di effettuare una restrizione, e considerare $X^2$ invertibile..
O sbaglio?
Su quest'ultima cosa che hai scritto non è che che ti seguo molto. Che c'entra che la funzione è positiva?
Ma in ogni caso deve essere invertibile la $ A(x) $ , da sola, nuda e cruda, non la funzione $ B(y) $, nel nostro caso $ B(y) $ è quella con $ vartheta $ . $ A(x) $ è $ X^2 $, che palesemente non è invertibile, ma è probabile che ci si restringa a $ X>= 0 $, come si vede in molti esempi di sostituzione.
Comunque sugli integrali di Rosati sospendo ogni giudizio finché non li vedo!
Ma in ogni caso deve essere invertibile la $ A(x) $ , da sola, nuda e cruda, non la funzione $ B(y) $, nel nostro caso $ B(y) $ è quella con $ vartheta $ . $ A(x) $ è $ X^2 $, che palesemente non è invertibile, ma è probabile che ci si restringa a $ X>= 0 $, come si vede in molti esempi di sostituzione.
Comunque sugli integrali di Rosati sospendo ogni giudizio finché non li vedo!
Qui c'è il testo completo
https://drive.google.com/folderview?id= ... 2pIT0hNTWM
per chiunque fosse interessato ad aiutarmi a sciogliere il nodo della matassa...pag. 81 (del pdf) seconda facciata. verso giù, dove c'è il pianeta a spicchi!
Gabriella anch'io avevo pensato a una cosa del genere...se avessi la garanzia che X>0 allora in effetti non avrei ambiguità su cos'è òa $X(\theta)$...forse il segreto è nel modo in cui usa la coordinata X...
https://drive.google.com/folderview?id= ... 2pIT0hNTWM
per chiunque fosse interessato ad aiutarmi a sciogliere il nodo della matassa...pag. 81 (del pdf) seconda facciata. verso giù, dove c'è il pianeta a spicchi!
Gabriella anch'io avevo pensato a una cosa del genere...se avessi la garanzia che X>0 allora in effetti non avrei ambiguità su cos'è òa $X(\theta)$...forse il segreto è nel modo in cui usa la coordinata X...
Up
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"newton_1372":
Qui c'è il testo completo
https://drive.google.com/folderview?id= ... 2pIT0hNTWM
per chiunque fosse interessato ad aiutarmi a sciogliere il nodo della matassa...pag. 81 (del pdf) seconda facciata. verso giù, dove c'è il pianeta a spicchi!
Quale pdf?
A quel link ce ne sono millemila...
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