Unione di insiemi

[GuidoFretti1]

Siano X,Y spazi metrici e siano $fn:X→Y$ una successione di funzioni continue che convergono puntualmente : $∀x$ esiste $lim_n fn(x)$ in $Y$ e definisce $f:X→Y$.
sia $Fn,m:={x∣dY(fn(x),fk(x))≤1/m,∀k≥n}$, dimostrare che $X=uuu_{n >0} F_(n,m)$

Ho provato a procedere così, ma poi mi blocco e non riesco più ad andare avanti.

sia $x in X$ allora per ipotesi $fn(x) -> f(x)$ e dunque $fn(x)$ è di Cauchy in $Y$ e per ogni $epsilon >0$ esiste $N>0$ tale che per ogni $i,j>=N$ $dY(fj(x),fi(x)) sia $epsilon=1/m$ allora esiste $k(m,x)$ tale che per ogni $i,j>=k(m,x)$ $dY(fj(x),fi(x))<1/m$

sia ora $i>=k(m,x)$, allora $dY(fk(m,x)(x),fi(x))<1/m$.

ora però non so come andare avanti: in primis perchè usando cauchy ho $<$ anzichè $<=$ e poi perchè non saprei come far comparire l'unione sulle $n$.

grazie

[GuidoFretti1]

Ripensandoci bene: fissata $x in X$, le $f_n(x)$ convergono e quindi sono di Cauchy.
Allora esiste $N$ tale che per ogni $n,k>=N$ vale che la distanza tra $f_n(x)$ e $f_k(x)$ è $<=1/m$. (*)

Se considero $k>=n$ e $n>=N$ allora la tesi (*) vale ancora e quindi $x in F_(n,m)$

[Mathita]

Scrivila meglio, così non va bene. Il tuo $n$ piccolo non è l'$n$ piccolo di $F_{n,m}$. Consiglio: scrivi la condizione di Cauchy usando lettere maiuscole ai pedici.

[GuidoFretti1]

Perché non può essere $n$ piccolo lo stesso di $F_n,m$?

Una volta che scelgo $n>N$, non ho un corrispondente $F_(n,m)$?

Sto veramente impazzendo dietro sta cosa...fatemi capire per favore

[Mathita]

Sia $x\in X$, dato che $f_{n}$ converge puntualmente, vale la condizione di Cauchy: per ogni $\epsilon>0$, esiste $\nu_{\epsilon}\in\mathbb{N}$ tale che per ogni $N,K>\nu_{\epsilon}$ si ha che $d_{Y}(f_{N}(x),f_{K}(x))<\epsilon$

In base alla definizione, per ogni $m\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$, esiste $\nu_{m}\in\mathbb{N}$ tale che per ogni $N,K>\nu_{m}$ si ha che $d_{Y}(f_{N}(x),f_{K}(x))<\frac{1}{m}$. (*)

Ora attenzione. Affinché $x$ sia un elemento di $F_{n,m}$, deve succedere che $d_{Y}(f_{n}(x),f_{k}(x))$ sia minore o al più uguale a $\frac{1}{m}$ per ogni $k\ge n$. Nota che $n$ è fissato, mentre $k$ deve essere maggiore o uguale a $n$: in (*) $N,K$ sono arbitrari, purché maggiori di $\nu_{m}$.

Idea! Pongo $n=\nu_{m}+1$ (così $n$ è maggiore di $\nu_{m}$). Di conseguenza per ogni $k\ge n$ (anche $k$ è maggiore di $\nu_m$) si ha che:

$d_{Y}(f_{n}(x),f_{k}(x))<\frac{1}{m}$

Questo consente di concludere che $x$ è un elemento di $F_{n,m}$ e dunque appartiene all'unione. Spero di essere stato chiaro.

[GuidoFretti1]

Allora, l'inizio noto con piacere che è simile al mio e quindi almeno fino a li ero arrivato.

Tuttavia perché il fatto che sia $<$ e non esattamente $<=$ mi permette comunque di dire che $x in F_(n,m)$?

[Mathita]

Se $a

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[Mathita]

"GuidoFretti":Allora, l'inizio noto con piacere che è simile al mio e quindi almeno fino a li ero arrivato.

Tuttavia perché il fatto che sia $<$ e non esattamente $<=$ mi permette comunque di dire che $x in F_(n,m)$?

È per questo che insistevo sul fatto di pensarci su. Le tue idee andavano bene: probabilmente i pedici ti hanno tratto in inganno.

[GuidoFretti1]

Hai perfettamente ragione, che sciocco. questa potevo evitarmela.

Grazie ancora per l'aiuto