Unione di insiemi
Siano X,Y spazi metrici e siano $fn:X→Y$ una successione di funzioni continue che convergono puntualmente : $∀x$ esiste $lim_n fn(x)$ in $Y$ e definisce $f:X→Y$.
sia $Fn,m:={x∣dY(fn(x),fk(x))≤1/m,∀k≥n}$, dimostrare che $X=uuu_{n >0} F_(n,m)$
Ho provato a procedere così, ma poi mi blocco e non riesco più ad andare avanti.
sia $x in X$ allora per ipotesi $fn(x) -> f(x)$ e dunque $fn(x)$ è di Cauchy in $Y$ e per ogni $epsilon >0$ esiste $N>0$ tale che per ogni $i,j>=N$ $dY(fj(x),fi(x))
sia ora $i>=k(m,x)$, allora $dY(fk(m,x)(x),fi(x))<1/m$.
ora però non so come andare avanti: in primis perchè usando cauchy ho $<$ anzichè $<=$ e poi perchè non saprei come far comparire l'unione sulle $n$.
grazie
sia $Fn,m:={x∣dY(fn(x),fk(x))≤1/m,∀k≥n}$, dimostrare che $X=uuu_{n >0} F_(n,m)$
Ho provato a procedere così, ma poi mi blocco e non riesco più ad andare avanti.
sia $x in X$ allora per ipotesi $fn(x) -> f(x)$ e dunque $fn(x)$ è di Cauchy in $Y$ e per ogni $epsilon >0$ esiste $N>0$ tale che per ogni $i,j>=N$ $dY(fj(x),fi(x))
sia ora $i>=k(m,x)$, allora $dY(fk(m,x)(x),fi(x))<1/m$.
ora però non so come andare avanti: in primis perchè usando cauchy ho $<$ anzichè $<=$ e poi perchè non saprei come far comparire l'unione sulle $n$.
grazie
Risposte
Cos'è $F_(m,m)$?
$Fm,m:={x∣dY(fm(x),fk(x))≤1/m,∀k≥n}$
Però non ho capito a cosa serva consideralo onestamente
Però non ho capito a cosa serva consideralo onestamente
Guido, scusami, forse hai difficoltà a metteregli indici sotto, basta metere l'underscore _ prima dell'indice, così il tutto risulta più leggibile.
Si, grazie del consiglio.
L'insieme di cui ho bisogno è il seguente
$F_(m,m):={x∣dY(fm(x),fk(x))≤1/m,∀k≥n}$
$F_(n,m):={x∣dY(fn(x),fk(x))≤1/m,∀k≥n}$
L'insieme di cui ho bisogno è il seguente
$F_(m,m):={x∣dY(fm(x),fk(x))≤1/m,∀k≥n}$
$F_(n,m):={x∣dY(fn(x),fk(x))≤1/m,∀k≥n}$
Scusa ho male interpretato io, non serve a niente, ci pernserò.
Ho capito, spero qualcuno riesca a darmi una mano.
Purtroppo sono bloccato in questo punto e non so come andare avanti
Purtroppo sono bloccato in questo punto e non so come andare avanti
$m$ è un numero arbitrario? Lo posso fissare come voglio?
Sisi un numero arbitrario nei Naturali
importante che sia nei naturali.
Infatti mi ero impallata in un dubbio.
Se $m$ è nei reali, prendo $1/m$ molto grande, ad esempio pari o più grande del diametro di $Y$.
Il diametro di un insieme $Y$ è $Sup_(x,y in Y) d(x,y)$, no?
In questo caso l'enunciato dell'esercizio è banalmente vero, che stiamo a fa'.
Quindi, ha senso se siamo nei naturali.
Infatti mi ero impallata in un dubbio.
Se $m$ è nei reali, prendo $1/m$ molto grande, ad esempio pari o più grande del diametro di $Y$.
Il diametro di un insieme $Y$ è $Sup_(x,y in Y) d(x,y)$, no?
In questo caso l'enunciato dell'esercizio è banalmente vero, che stiamo a fa'.
Quindi, ha senso se siamo nei naturali.
Onestamente a me non mi è chiaro come dimostrare la tesi: ho messo il mio tentativo e dove mi bloccavo... mi può aiutare se è cosi banale a capire dove mi perdo?
Grazie
Grazie
No, no, non ci siamo capiti, non sto dicendo che l'esercizio è banale.
Dicevo che bisognava specificare quel $m$, a che insieme numerico appartiene, e se lo fissiamo a piacere, o l'enunciato deve essere valido per ogni $m$.
Se $m$ è nei naturali l'esercizio non è banale.
Dicevo che diventerebbe banale potendo fissare un qualsiasi numero reale per $m$, così uno prenderebbe $1/m$ enorme, superiore al diametro dell'insieme $Y$.
Ma $m in mathbb(N)$, e quindi così ok, non è banale, lascia stare questa mia digressione.
Dicevo che bisognava specificare quel $m$, a che insieme numerico appartiene, e se lo fissiamo a piacere, o l'enunciato deve essere valido per ogni $m$.
Se $m$ è nei naturali l'esercizio non è banale.
Dicevo che diventerebbe banale potendo fissare un qualsiasi numero reale per $m$, così uno prenderebbe $1/m$ enorme, superiore al diametro dell'insieme $Y$.
Ma $m in mathbb(N)$, e quindi così ok, non è banale, lascia stare questa mia digressione.
"gabriella127":
Se $m$ è nei reali, prendo $1/m$ molto grande, ad esempio pari o più grande del diametro di $Y$.
Non potrebbe essere infinito?
Sì, questo è vero. L'enunciato , con $m$ scelto a piacere in $mathbb(R)$, sarebbe banale solo per insiemi di diametro finito.
Eccomi: prendi $n=k(m,x)$.
"GuidoFretti":
dimostrare che $X=uuu_{n >0} F_(n,m)$
E $m$ non appare?
"ghira":
[quote="GuidoFretti"]dimostrare che $X=uuu_{n >0} F_(n,m)$
E $m$ non appare?[/quote]
È la prima cosa che mi sono chiesto anche io. $X$ non dipende da $m$? In base alla dimostrazione che ho trovato (che poi è simile a quella suggerita da otta96), no. Quesito curioso e interessante.
Ma dove sarebbe la dimostrazione suggerita da otta96?
Sto provando a capire come dimostrarlo ma non ci riesco, un suggerimento mi farebbe comodo.
Segue comunque la strada che avevo accennato anche io nel mio tentativo la tua dimostrazione Mathita?
Sto provando a capire come dimostrarlo ma non ci riesco, un suggerimento mi farebbe comodo.
Segue comunque la strada che avevo accennato anche io nel mio tentativo la tua dimostrazione Mathita?
"Mathita":
[quote="ghira"][quote="GuidoFretti"]dimostrare che $X=uuu_{n >0} F_(n,m)$
E $m$ non appare?[/quote]
È la prima cosa che mi sono chiesto anche io. $X$ non dipende da $m$? In base alla dimostrazione che ho trovato (che poi è simile a quella suggerita da otta96), no. Quesito curioso e interessante.[/quote]
Ma l'unione di quali $F_(n,m)$? Magari tutti i valori di $m$, ma perché non dirlo?
L'idea è questa. Siamo d'accordo che, banalmente, $\bigcup_{n>0}F_{n,m}\subseteq X$? Se sì, l'unica cosa da dimostrare è che $X\subseteq\bigcup_{n>0}F_{n,m}$. Per farlo è sufficiente far vedere che per ogni elemento $x$ di $X$, esiste un $n_0\in\mathbb{N}$ tale che $x\in F_{n_0,m}$. Se, infatti, $x$ appartiene a uno degli insiemi che costituiscono l'unione, banalmente apparterrà all'unione.
L'idea di otta96 è quella di esibire questo $n_0$. Al momento vado un po' di fretta, per cui non posso essere più dettagliato di così, ma bene o male ti ho fornito tutti gli elementi per concludere: lo dico perché sei partito piuttosto bene nella risoluzione dell'esercizio.
L'idea di otta96 è quella di esibire questo $n_0$. Al momento vado un po' di fretta, per cui non posso essere più dettagliato di così, ma bene o male ti ho fornito tutti gli elementi per concludere: lo dico perché sei partito piuttosto bene nella risoluzione dell'esercizio.
"ghira":
[omissis]
Ma l'unione di quali $F_(n,m)$? Magari tutti i valori di $m$, ma perché non dirlo?
Io ho tenuto $m\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$ arbitrario e il giochino funziona. Nell'enunciato del problema, avrebbero dovuto mettere che $X=\bigcup_{n>0}F_{n,m} \ \forall m\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$, in effetti (sempre che la mia dimostrazione sia corretta
).
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