Uniforme continuità

[Paolo902]

Proposizione. Sia $f: RR->RR$ così definita: $f(x)=x/(x^2+1)$. $f$ è uniformemente continua su qualsiasi intervallo $I subseteq RR$.

Dimostrazione "svelta". $f$ è continua su tutto $RR$. Per Heine-Cantor, quindi, $f$ sarà anche uniformemente continua su qualsiasi compatto $[a,b]$ con $a,b in RR$. Anche il caso dei semiaperti (o semichiusi) si fa facilmente: $f$ è uniformemente continua su $(a,b]$ e su $[c,d)$ perchè -in virtù della continuità di $f$- esistono finiti i limiti per $x->a^-$ e per $x->d^+$.

Infine, anche su $(-oo, a]$ e $[a,+oo)$ $f$ è uniformemente continua perchè ammette asintoto orizzontale (l'asse delle ascisse lo è sia a $-oo$ sia a $+oo$).

Scusate se è troppo stringata come dimostrazione, fin qui mi è tutto chiaro e spero di aver scritto tutte cose giuste. Che dite voi?

Il punto è questo: ho verificato l'u. continuità mediante teoremi, d'accordo. Supponiamo che io voglia "toccare con mano" questa proprietà della funzione: io voglio verificare

$forall epsilon>0, " " exists d_epsilon>0, " " forall x,y in RR " tale che " |x-y| |f(x)-f(y)|
Fissiamo un $epsilon>0$:
$|x/(x^2+1)-y/(y^2+1)|
Da qui c'è una strada per arrivare a $|x-y|1$: evidentemente ho esagerato un po' con le maggiorazioni .

Che cosa devo fare allora secondo voi? C'è una strada umana o sono io che devo perdere il vizio di farmi venire strambe idee ?

Vi ringrazio molto per l'aiuto.

[dissonance]

"Paolo90":Proposizione. Sia $f: RR->RR$ così definita: $f(x)=x/(x^2+1)$. $f$ è uniformemente continua su qualsiasi intervallo $I subseteq RR$.

Veramente è uniformemente continua su tutto $RR$. Di più, è Lipschitiziana: se vuoi toccare con mano la continuità uniforme di questa funzione ti conviene trovarne una (la?) costante di Lipschitz.

[Paolo902]

"dissonance":[quote="Paolo90"]Proposizione. Sia $f: RR->RR$ così definita: $f(x)=x/(x^2+1)$. $f$ è uniformemente continua su qualsiasi intervallo $I subseteq RR$.

Veramente è uniformemente continua su tutto $RR$. [/quote]

Sì, verissimo, grazie. Ho messo apposta $I$ sottoinsieme improprio di $RR$ perchè alla fine era quello che si otteneva. Grazie per la precisazione.

"dissonance":Di più, è Lipschitiziana: se vuoi toccare con mano la continuità uniforme di questa funzione ti conviene trovarne una (la?) costante di Lipschitz.

Vero, non avevo pensato a questo fatto. Per caso $L=1$ (con $L$ costante di Lipschitz)? Io l'ho trovata un po' a naso, osservando il grafico della funzione in esame (e quello della sua derivata). Esistono procedure un po' più ortodosse per trovare $L$?

Grazie mille per l'aiuto.

[dissonance]

"Paolo90":Esistono procedure un po' più ortodosse per trovare $L$?

Prova a fare una ricerca sul forum, ne abbiamo parlato varie volte. Il risultato è: se hai una funzione derivabile $f:I\toRR$ dove $I$ è un intervallo, e se $|f'(x)|<=L\ \forallx\inI$, allora $L$ è una costante di Lipschitz per $f$. Puoi dimostrarlo da solo, è una immediata applicazione (anzi, di fatto, una riformulazione) del teorema del valore medio.