Uniforme continuità

[dennisnica]

ciao a tutti ragazzi mi trovo d'avanti un problema: se ho una funzione uniformemente continua in $[0,\infty) $ è vero che $lim_{x\to\infty}f(x)$ esiste?

[marione111]

guarda sono uno studente (nemmeno tanto bravo) che si approccia per la prima volta alla materia, uso la tua domanda solo per puro interesse personale visto che sto preparando analisi, quindi non sono sicuro della risposta... prendila molto con le pinze solo come spunto di riflessione.

si esiste. Perché per definizione, una funzione uniformemente continua in un intervallo (in questo caso $[0, oo[$ ) è continua ogni punto dell'intervallo (in questo caso $oo$). Segue dalla definizione di funzione continua in un punto che la funzione ammette limite in quel punto. Quindi ammette limite in ogni punto dell'intervallo.

Definizione di funzione continua nell'intervallo $[0,oo[:$

$AA$ $\epsilon$ $>0,$ $EE$ $\delta$ $>0$ : $AA$ $x_1,x_2$ $in$ $[0,oo[,$ con $|x_1-x_2|<$ $\delta$ si ha che $|f(x_1)-f(x_2)|<$ $epsilon$

e visto che per definizione una funzione ammette limite in $x_0$ se

$AA$ $\epsilon$ $>0,$ $EE$ $\delta$ $>0 : |f(x)- l|<$ $epsilon$, $AA$ $x$ $in$ $]x_0 - delta, x_0 + delta[ $

E in questo particolare caso la definizione di limite è sempre verificata.

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Aspetta la risposta di qualcuno più esperto comunque, perché potrei aver detto qualche castroneria

[dissonance]

@marione: Non è così facile, \(+\infty\) non è un punto dell'intervallo (infatti non è nemmeno un punto).

PS: per l'OP, pensa ad una funzione che oscilla, tipo seno o coseno