Unicità del polinomio di Taylor

[nadia891]

Salve a tutti, dovrei dimostrare che il polinomio di Taylor di $f(x)$ (di punto iniziale $x0$ ) sia unico e vorrei sapere se va bene il mio ragionamento:
(per un teorema ho che il polinomio soddisfa la proprietà : $P(x0)=f(x0),P^{\prime}(x0)=f'(x0)$ e così via..) allora
supponiamo (per assurdo ) che esistano due polinomi di taylor $P= f(x0)+f^{\prime}(x0)(x-x0)+.......... $e $P1=f(x0)+f^{\prime}(x0)(x1-x0)+...........$(vorrei magari avere la conferma di averli definiti bene i due polinomi..) ;quindi soddisfano entambi la proprietà detta sopra) allora ho che
$f(x0)= P(x0)-P1(x0)=0; f^{\prime}(x0)=P^{\prime}(x0)-P1'(x0)$ e così via.E quindi ho che $P-P1 $=0 .Va bene questo mio ragionamento?

[dissonance]

Il ragionamento va bene ma dovresti formalizzare un po' meglio. Io scomporrei la proposizione in un lemma:

Lemma:
Siano $P, Q$ due polinomi reali di grado $n$. Se $P(x_0)=Q(x_0), P'(x_0)=Q'(x_0), ..., P^((n))(x_0)=Q^((n))(x_0)$ per un $x_0\inRR$, allora i due polinomi sono uguali.

e poi nella proposizione vera e propria:

Proposizione:
Siano $I$ un intervallo, $f \in C^n(I)$ e $x_0\inI$. Detto $T_n$ il polinomio di Taylor di $f$ di centro $x_0$ e grado $n$, esso è l'unico polinomio di grado $n$ verificante la proprietà

$T_n(x_0)=f(x_0), T_n'(x_0)=f'(x_0), ..., T_n^((n))(x_0)=f^((n))(x_0)$.