Una successione è un tipo di serie
Quando si afferma che una successione è un tipo particolare di serie, cosa si intende di preciso? 
Risposte
Beh, io sapevo il contrario...
No, è vero, se uno ha la successione $a_1, a_2, a_3, a_4 \ldots$ se la può riscrivere come
\begin{equation}
\begin{split}
a_1 \\ a_2-a_1 + a_1\\ a_3-a_2+a_2-a_1+a_1\\ \vdots \\\sum_{k=1}^n (a_{k+1}-a_k)+a_1 \\ \vdots
\end{split}
\end{equation}
Una fesseria, ma a volte può essere utile. Ad esempio, uno può riuscire a dimostrare che la serie è convergente, e allora ha dimostrato che pure la successione è convergente.
\begin{equation}
\begin{split}
a_1 \\ a_2-a_1 + a_1\\ a_3-a_2+a_2-a_1+a_1\\ \vdots \\\sum_{k=1}^n (a_{k+1}-a_k)+a_1 \\ \vdots
\end{split}
\end{equation}
Una fesseria, ma a volte può essere utile. Ad esempio, uno può riuscire a dimostrare che la serie è convergente, e allora ha dimostrato che pure la successione è convergente.
Beh... Innanzitutto bisognerebbe vedere com'è definito il termine "serie". 
"dissonance":
No, è vero, se uno ha la successione $a_1, a_2, a_3, a_4 \ldots$ se la può riscrivere come
\begin{equation}
\begin{split}
a_1 \\ a_2-a_1 + a_1\\ a_3-a_2+a_2-a_1+a_1\\ \vdots \\\sum_{k=1}^n (a_{k+1}-a_k)+a_1 \\ \vdots
\end{split}
\end{equation}
Una fesseria, ma a volte può essere utile. Ad esempio, uno può riuscire a dimostrare che la serie è convergente, e allora ha dimostrato che pure la successione è convergente.
Grazie, non riuscivo proprio a figurarmi una successione espressa come una serie!
Io la serie la intendevo come limite della successione delle somme parziali...
"kobeilprofeta":
Io la serie la intendevo come limite della successione delle somme parziali...
Quella è la somma della serie.
Ah... Ok. Non lo sapevo.
Allora che differenza c'è?
Io avrei detto: "sia $a_n$ una successione. La somma dei primi $k$ termini di essa è una somma parziale relativa alla successione. Al variare di k, le somme parziali costituiscono, a loro volta, una successione. Il limite di questa successione (per $k to +infty$ viene detto serie"
Ma allora quella è la somma della serie... -.-
...quindi: cos'è una serie?
Allora che differenza c'è?
Io avrei detto: "sia $a_n$ una successione. La somma dei primi $k$ termini di essa è una somma parziale relativa alla successione. Al variare di k, le somme parziali costituiscono, a loro volta, una successione. Il limite di questa successione (per $k to +infty$ viene detto serie"
Ma allora quella è la somma della serie... -.-
...quindi: cos'è una serie?
Il punto penso sia che non si può definire una successione a partire dalle serie. Perché una serie è in sostanza una successione.
D'altra parte la questione è che la funzione \(\displaystyle \Sigma\colon \mathbb{R}^{\mathbb{N}}\to \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \) definita come \(\displaystyle \Sigma\colon \{ a_n \}\mapsto \sum a_n \) è biiettiva.
D'altra parte la questione è che la funzione \(\displaystyle \Sigma\colon \mathbb{R}^{\mathbb{N}}\to \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \) definita come \(\displaystyle \Sigma\colon \{ a_n \}\mapsto \sum a_n \) è biiettiva.
"kobeilprofeta":
Ah... Ok. Non lo sapevo.
Allora che differenza c'è?
Io avrei detto: "sia $a_n$ una successione. La somma dei primi $k$ termini di essa è una somma parziale relativa alla successione. Al variare di k, le somme parziali costituiscono, a loro volta, una successione. Il limite di questa successione (per $k to +infty$ viene detto serie"
Ma allora quella è la somma della serie... -.-
...quindi: cos'è una serie?
Una serie è la somma di tutti i termini di una successione.
Cioè $\sum_{n=1}^\infty\ a_n$
La successione delle somme ridotte è invece questa:
$s_1 = a_1$
$s_2 = a_1 + a_2$
$s_3 = a_1 + a_2 + a_3$
$.......$
$s_n = \sum_{k=1}^\n\ a_k$
@kobeilprofeta una serie è definita come una successione (la successione delle somme parziali, quindi una serie è comunque un elemento di \(\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\)) "dipendente" da un'altra successione (quella dei termini della serie)[nota]non ho molta voglia di formalizzare il tutto, tanto sono cose che sapete 
[/nota]. Il limite cui tende la serie (se esiste) è detto somma della serie. Il fatto che nella pratica matematica si rappresenti una serie come \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n \) (scrittura utilizzata anche per rappresentare la somma della serie) invece che come \(\displaystyle \left ( \sum_{n=0}^j a_n \right )_{j \in \mathbb{N}} \) è uno dei motivi che spesso portano a confondere i due concetti.
Da un punto di vista rigoroso non è possibile o risulterebbe sconveniente definire una successione come una particolare serie, in quanto la definizione sarebbe o circolare, o decisamente contorta. Ovviamente si può rappresentare una successione scrivendola formalmente come una serie (definire cioè una serie le cui somme parziali siano uguali termine a termine agli elementi di una successione), nel modo illustrato da dissonance.
EDIT non so come, ma m'era sfuggito il commento di vict85, che sostanzialmente aveva già detto in maniera più sintetica buona parte di quello che ho scritto.
[/nota]. Il limite cui tende la serie (se esiste) è detto somma della serie. Il fatto che nella pratica matematica si rappresenti una serie come \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n \) (scrittura utilizzata anche per rappresentare la somma della serie) invece che come \(\displaystyle \left ( \sum_{n=0}^j a_n \right )_{j \in \mathbb{N}} \) è uno dei motivi che spesso portano a confondere i due concetti.Da un punto di vista rigoroso non è possibile o risulterebbe sconveniente definire una successione come una particolare serie, in quanto la definizione sarebbe o circolare, o decisamente contorta. Ovviamente si può rappresentare una successione scrivendola formalmente come una serie (definire cioè una serie le cui somme parziali siano uguali termine a termine agli elementi di una successione), nel modo illustrato da dissonance.
EDIT non so come, ma m'era sfuggito il commento di vict85, che sostanzialmente aveva già detto in maniera più sintetica buona parte di quello che ho scritto.
Ok. In pratica la serie è la successione delle somme parziali. Mentre la somme della serie è il limite di essa.
It's ok?
It's ok?
Non proprio ... a me sembra di aver capito che la maggioranza ( 
... non qui, in generale intendo) intende la serie come la somma delle somme parziali (e in particolare la somma infinita).
Quindi la successione delle somme parziali è una cosa (una successione dipendente da un'altra successione), la serie è la somma (infinita) delle somme parziali e il limite di questa somma (infinita) è la somma della serie ... isnt'it?
Cordialmente, Alex
... non qui, in generale intendo) intende la serie come la somma delle somme parziali (e in particolare la somma infinita).Quindi la successione delle somme parziali è una cosa (una successione dipendente da un'altra successione), la serie è la somma (infinita) delle somme parziali e il limite di questa somma (infinita) è la somma della serie ... isnt'it?
Cordialmente, Alex
Io penso che i matematici siano piuttosto uniti nel ritenere una serie (numerica) come la successione delle somme parziali.
Però la maggior parte delle volte che ho letto qualcosa riguardanti una serie l'ho sempre vista definire come una "somma" e una successione è comunque qualcosa di diverso da una somma (per quanto la somma sia, in un certo senso, implicita ...)
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
"axpgn":
Non proprio ... a me sembra di aver capito che la maggioranza (
Quindi la successione delle somme parziali è una cosa (una successione dipendente da un'altra successione), la serie è la somma (infinita) delle somme parziali e il limite di questa somma (infinita) è la somma della serie ... isnt'it?
No, it's not
Riporto da Bourbaki - Elements of Mathematics - General Topology III §5.6
Consider a sequence of points \((x_n)_{n \in \mathbb{N}}\) in a Hausdorff commutative group, and form the sequence of partial sums \(\displaystyle s_n = \sum_{p=0}^{n} x_p \left ( n \in \mathbb{N} \right )\). The mapping \((x_n) \to (s_n)\) is a bijection of of the set \(G^{\mathbb{N}}\) of sequences \((x_n)\) of points of \(G\), onto itself; for if the sequence \((s_n)\) is given, the sequence \((x_n)\) is determined by the relations \(x_0 = s_0, x_n = s_n - s_{n-1} (n \ge 1)\).
The series defined by the sequence \((x_n)\), or the series whose general term is \(x_n\) [or simply the series \((x_n)\), by abuse of language, if there is no risk of confusion] is defined to be the pair of sequences \((x_n)\) and \((s_n)\) thus associated. The series defined by the sequence \((x_n)\) is said to be convergent if the sequence \((s_n)\) is convergent; the limit of this sequence is called the sum of the series and is written \({\huge \sf S}_{n=0}^{\infty} x_n\) (or \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x_n\), by abuse of notation).
Come puoi vedere è estremamente in linea con la definizione proposta da gugo82.
Ho scritto una cosa ma ne pensavo un'altra ...
Qui
non intendevo "la somma delle somme" (che ha poco senso) ma la somma degli addendi della successione "primaria" mentre la somma della serie non è il limite della somma (anche qui poco sensato) ma il limite della successione delle somme parziali.
Cordialmente, Alex
P.S.: di gugo82 mi ricordavo questo post http://matematicamente.it/forum/viewtop ... ie#p887413, sufficientemente chiaro
P.P.S.: Mai scrivere mentre si ha fretta di uscire
Qui
"axpgn":
... la serie è la somma (infinita) delle somme parziali ...
non intendevo "la somma delle somme" (che ha poco senso) ma la somma degli addendi della successione "primaria" mentre la somma della serie non è il limite della somma (anche qui poco sensato) ma il limite della successione delle somme parziali.
Cordialmente, Alex
P.S.: di gugo82 mi ricordavo questo post http://matematicamente.it/forum/viewtop ... ie#p887413, sufficientemente chiaro
P.P.S.: Mai scrivere mentre si ha fretta di uscire
La serie è la somma di tutti, e dico tutti i termini della successione. Ma sono numerabili questi termini? no... per questo la sommatoria è per $n$ che va da $1$ a $oo$
"cicalino":
La serie è la somma di tutti, e dico tutti i termini della successione. Ma sono numerabili questi termini? no... per questo la sommatoria è per $n$ che va da $1$ a $oo$
questa me la devi spiegare
"cicalino":
La serie è la somma di tutti, e dico tutti i termini della successione.
A Roma direbbero "e daje..."
Io mi limito a dire "così è, se ti pare", se dissenti perfino dal Bourbaki, non so che farci."cicalino":
Ma sono numerabili questi termini? no... per questo la sommatoria è per $n$ che va da $1$ a $oo$
credo di essere perplesso almeno quanto kobeilprofeta.@axpgn nella discussione che riporti gugo82 spiega cosa sia la somma di una serie, non cosa sia una serie.
Poi fate come vi pare, eh. Anche se mi piacerebbe sapere come giustifichiate la buona definizione di una scrittura come \(\sum_k (-1)^k\).
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