Una serie, dubbi
Ho visto questa serie sul libro, e il mio risultato coincide con quello del libro.
$\sum ((-1)^n)*(n^2)/3^(nx)$
devo trovare le $x$ affinchè converga la serie
E' una serie alternata.
Penso a Leibniz
Affinchè essa converga, condizione sufficiente, è che:
1) $a_n$ sia decrescente
2) $a_n$ sia infinitesima.
ammesso che io abbia saputo dimostrare che è infinitesima, come faccio a dimostrare che è decrescente?
ad occhio è decrescente, anche perchè se non lo fosse non potrei applicare leibniz.
qualche suggerimento? Grazie.
$\sum ((-1)^n)*(n^2)/3^(nx)$
devo trovare le $x$ affinchè converga la serie
E' una serie alternata.
Penso a Leibniz
Affinchè essa converga, condizione sufficiente, è che:
1) $a_n$ sia decrescente
2) $a_n$ sia infinitesima.
ammesso che io abbia saputo dimostrare che è infinitesima, come faccio a dimostrare che è decrescente?
ad occhio è decrescente, anche perchè se non lo fosse non potrei applicare leibniz.
qualche suggerimento? Grazie.
Risposte
Così ad occhio mi viene da pensare alla gerarchia degli ordini di infinito... Che ne dici?
Clever, inizia a chiederti per quali $x$
$lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{3^{nx}}=0$.
Se questo non succede, il termine generale della serie neanche sarà infinitesimo e quindi la serie non convergerà. Questa è sempre la prima cosa da fare. Poi si penserà a Leibnitz e compagnia cantante.
$lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{3^{nx}}=0$.
Se questo non succede, il termine generale della serie neanche sarà infinitesimo e quindi la serie non convergerà. Questa è sempre la prima cosa da fare. Poi si penserà a Leibnitz e compagnia cantante.
Si io ho scritto proprio così. dopo varie applicazione di de l'hopital ho trovato che converge per:
$x>0$
questa era la domanda del compito, cioè per quali valori converge la serie,
Io poi dopo aver verificato questo, non ho dato troppo peso alla dimostrazione della prima. (che infatti non ho fatto)
Dunque:
Per verificare la decrescenza, posso menzionare il criterio della gerarchia degli ordini, o c'è una dimostrazione a parte?
$x>0$
questa era la domanda del compito, cioè per quali valori converge la serie,
Io poi dopo aver verificato questo, non ho dato troppo peso alla dimostrazione della prima. (che infatti non ho fatto)
Dunque:
Per verificare la decrescenza, posso menzionare il criterio della gerarchia degli ordini, o c'è una dimostrazione a parte?
Un metodo molto banale (e non sempre conveniente) per determinare la decrescenza consiste nel provare che
[tex]$\forall n \in N : a_{n+1} \le a_{n}$[/tex]
Cioè se hai [tex]$a_{n}= \frac{1}{n}$[/tex]
Essa è decrescente perché:
[tex]$\frac{1}{n+1} \le \frac{1}{n}$[/tex] vero.
Se invece consideriamo [tex]$a_{n}= n$[/tex]
Non è decrescente perché:
[tex]$n+1 \le n$[/tex] falso.
Oppure, alternativamente, potresti calcolare le derivata e ragionare sulla derivata, oppure ci sono anche altri modi, che probabilmente avrai visto nel corso di Analisi I.
[tex]$\forall n \in N : a_{n+1} \le a_{n}$[/tex]
Cioè se hai [tex]$a_{n}= \frac{1}{n}$[/tex]
Essa è decrescente perché:
[tex]$\frac{1}{n+1} \le \frac{1}{n}$[/tex] vero.
Se invece consideriamo [tex]$a_{n}= n$[/tex]
Non è decrescente perché:
[tex]$n+1 \le n$[/tex] falso.
Oppure, alternativamente, potresti calcolare le derivata e ragionare sulla derivata, oppure ci sono anche altri modi, che probabilmente avrai visto nel corso di Analisi I.
"clever":De l'Hôpital? Per successioni? Clever, ti dispiacerebbe farci vedere che cosa hai fatto?
Si io ho scritto proprio così. dopo varie applicazione di de l'hopital ho trovato che converge per:
$x>0$
$Lim_(n->+oo)(n^2)/(3^(nx)) = Lim_(n->+oo) 2n/((log3)*(3^(nx))) = Lim_(n->+oo) 2/((log3)^2*(3^(nx)))$
alla fine si comporta come questo limite:
$lim_(x->+oo)a^x=0$ quando $0
la nostra $a$ è $1/3^x$
basta metterla in $0<1/3^x<1$ e considero:
$1/3^x<1$ che viene $x>0$
ti trovi?
(lo so, ci sono altre risoluzioni come quello di mettere prima in valore assoluto e poi risolvere con il criterio della radice, ma a me è venuto naturale usare questo....)
alla fine si comporta come questo limite:
$lim_(x->+oo)a^x=0$ quando $0
la nostra $a$ è $1/3^x$
basta metterla in $0<1/3^x<1$ e considero:
$1/3^x<1$ che viene $x>0$
ti trovi?
(lo so, ci sono altre risoluzioni come quello di mettere prima in valore assoluto e poi risolvere con il criterio della radice, ma a me è venuto naturale usare questo....)
Ho tuttavia dimostrato che è decrescente, usando il suggerimento di raptorista, se volete ecco i passaggi:
$((n+1)^2)/(3^(n+1))=<(n^2)/(3^n)$ ovviamente ho posto $x=1$ per semplicità di calcoli, nn so se si può fare.
$(n^2+2n+1)/(3*3^n)=<(n^2)/(3^n)$
$n^2+2n+1=<3n^2$
$n^2+2n+1<3n^2$
secondo voi va bene?
$((n+1)^2)/(3^(n+1))=<(n^2)/(3^n)$ ovviamente ho posto $x=1$ per semplicità di calcoli, nn so se si può fare.
$(n^2+2n+1)/(3*3^n)=<(n^2)/(3^n)$
$n^2+2n+1=<3n^2$
$n^2+2n+1<3n^2$
secondo voi va bene?
C'è un errore di concetto: pensa alla definizione di derivata, e quindi a quella di limite; ti accorgerai che questo passaggio che hai fatto non ha molto senso!
Edit: Chiedo scusa per il crossposting, mi riferivo al messaggio in cui applichi il teorema di De l'Hopital
Edit: Chiedo scusa per il crossposting, mi riferivo al messaggio in cui applichi il teorema di De l'Hopital
"Raptorista":
C'è un errore di concetto: pensa alla definizione di derivata, e quindi a quella di limite; ti accorgerai che questo passaggio che hai fatto non ha molto senso!
Edit: Chiedo scusa per il crossposting, mi riferivo al messaggio in cui applichi il teorema di De l'Hopital
a quale passaggio ti riferisci in particolare?
il risultato, allora perchè mi trovo?
Mi riferisco all'applicazione del teorema di De l'Hopital!
Arrivare al risultato non ti giustifica: è il procedimento che dev'essere giusto.
Arrivare al risultato non ti giustifica: è il procedimento che dev'essere giusto.
come avrei dovuto fare allora?
in quel momento mi è venuto quel ragionamento :S
in quel momento mi è venuto quel ragionamento :S
Il teorema di De l'Hopital si applica facendo le derivate; le derivate si calcolano facendo dei limiti di rapporti incrementali, con incrementi che tendono a zero. Tu hai una serie, che rappresenta una serie di punti isolati, dunque ha significato dire che calcoli la derivata in un punto.
Dunque, applicare de hopital, è sbagliatissimo?
O si può fare, preò dicendo quello che hai detto tu?
O si può fare, preò dicendo quello che hai detto tu?
Direi che è sbagliato!
Comunque puoi semplicemente utilizzare gli ordini di infinito per risolvere il limite..
Comunque puoi semplicemente utilizzare gli ordini di infinito per risolvere il limite..
Cioè dire che quel limite li, per gli ordini di infinito, e vedere per quali valori converge $x$?
Ascolta, non vedo perchè girarci così tanto attorno, al numeratore hai un polinomio, al denominatore un esponenziale. Dovrebbe esserti noto che l' esponenziale tende all' infinito più rapidamente di qualunque polinomio, quindi per qualunque $x >0$ quel limite tenderà a zero.
Grazie stefano_89.
Dubbio risolto
Dubbio risolto
"Mathcrazy":
Oppure, alternativamente, potresti calcolare le derivata e ragionare sulla derivata, oppure ci sono anche altri modi, che probabilmente avrai visto nel corso di Analisi I.
Mmm... analogamente all'utilizzare de L'Hopital, è lecito poter guardare alla derivata per dedurre il comportamento di una successione ( senza utilizzare il "teorema ponte" )? In $NN$ non esistono punti di accumulazione!
Per la decrescenza, io ho sempre usato la disuguaglianza $ a_n >= a_(n+1) $. In questo caso:
$ n^2/3^(nx) >= (n+1)^2/3^((n+1)x) $ Da qui otteniamo:
$n^2 \cdot 3^((n+1)x) >= (n+1)^2 \cdot 3^(nx) $
$n^2 \cdot 3^(nx) \cdot 3^x >= (n^2 + 2n + 1) \cdot 3^(nx) $
$n^2 \cdot 3^x >= n^2 + 2n + 1 $
ed in definitiva
$( 3^x -1 ) n^2 - 2n -1 >= 0$
Facilmente risolvibile. Spero di non aver errato :\
@clever & Raptorista: mi avete fatto tornare alla mente un mio post di un po' di tempo fa: Contra de l'Hôpital.
De Hopital da come ho capito io, a volte mette sulla cattiva strada
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