Una semplice serie di potenze.
Porca miseria, l'estate mi ha fatto male!
E' mezzore che sto sbattendo la testa su questa semplice serie di potenze:
$sum_(n=1)^(+Inf) (3^n + 2^n) / (n6^n)$ il risultato è $log 3$
ma non riesco a ricondurla in nessuna maniera utile. uffa.
E' mezzore che sto sbattendo la testa su questa semplice serie di potenze:
$sum_(n=1)^(+Inf) (3^n + 2^n) / (n6^n)$ il risultato è $log 3$
ma non riesco a ricondurla in nessuna maniera utile. uffa.
Risposte
Che cosa è $log3$? il raggio di convergenza o il valore della somma?
Il valore della somma, scusami.
Osserva che la successione è uguale a $1/n (1/2^n+1/3^n)$.
Si può effettuare la maggiorazione
$0<= 1/n(1/2^n +1/3^n) <= 1/n^2 " " AAn>=1$
e dalla convergenza della serie degli $1/n^2$
segue quella della serie data. Ora penso
a un metodo per calcolare il valore...
Si può effettuare la maggiorazione
$0<= 1/n(1/2^n +1/3^n) <= 1/n^2 " " AAn>=1$
e dalla convergenza della serie degli $1/n^2$
segue quella della serie data. Ora penso
a un metodo per calcolare il valore...
Perdonami fireball, quello che tu hai fatto è il criterio del confronto:
siano $sum_(n=0)^(+Inf) a_n$ e $sum_(n=0)^(+Inf) b_n$ due serie tali che:
$ o <= a_n <= b_n per n>=0$
allora se $sum_(n=0)^(+Inf) b_n$ converge anche $sum_(n=0)^(+Inf) a_n$ converge.
solo che questo metodo serve solo per vedere se effettivamente la serie converge a un qualche L non a calcolarne la somma.
Io penso si debba riscriverla nella forma: $sum_(n=1)^(+Inf) (-1)^(n+1) z^n/n = log (1+z)$
Ah per curiosità $sum_(n=1)^(+Inf) 1/n^2 = pi^2/6$ che come dice il mio libro di analisi "la dimostrazione di questo risultato verrà spiegata nel prossimo volome"...
siano $sum_(n=0)^(+Inf) a_n$ e $sum_(n=0)^(+Inf) b_n$ due serie tali che:
$ o <= a_n <= b_n per n>=0$
allora se $sum_(n=0)^(+Inf) b_n$ converge anche $sum_(n=0)^(+Inf) a_n$ converge.
solo che questo metodo serve solo per vedere se effettivamente la serie converge a un qualche L non a calcolarne la somma.
Io penso si debba riscriverla nella forma: $sum_(n=1)^(+Inf) (-1)^(n+1) z^n/n = log (1+z)$
Ah per curiosità $sum_(n=1)^(+Inf) 1/n^2 = pi^2/6$ che come dice il mio libro di analisi "la dimostrazione di questo risultato verrà spiegata nel prossimo volome"...
Lo so, infatti prima di tutto va controllato che la serie
converga, poi si calcola il valore... Che il criterio del
confronto serva SOLO per quello, ti par poco?
converga, poi si calcola il valore... Che il criterio del
confronto serva SOLO per quello, ti par poco?
Assolutamente no! E' solo che già sapevo che la serie convergeva... se non convergeva non mi sarei mai azzardato a cercare un risultato, nonostante sia nota la mia pazzia 
Ciao.
Ciao.
Comunque di solito negli esami non viene
chiesto di calcolare la somma di una serie,
quanto di determinarne il carattere.
Non avevo mai visto la formula
$sum_(k=0)^(+oo) (-1)^(k+1) (x^k)/k = log(1+x)
(valida chiaramente $AAx> -1$)... Come si dimostra?
chiesto di calcolare la somma di una serie,
quanto di determinarne il carattere.
Non avevo mai visto la formula
$sum_(k=0)^(+oo) (-1)^(k+1) (x^k)/k = log(1+x)
(valida chiaramente $AAx> -1$)... Come si dimostra?
Comunque la tua serie è a termini positivi
e dunque non può essere scritta in quel
modo particolare... A meno che la serie
$sum_(k=0)^(+oo) (-1)^(k+1) x^k/k
non sia anche assolutamente convergente.
e dunque non può essere scritta in quel
modo particolare... A meno che la serie
$sum_(k=0)^(+oo) (-1)^(k+1) x^k/k
non sia anche assolutamente convergente.
Fireball, mi spiace contraddirti, ma purtroppo questo è proprio un esercizio d'esame. Comunque ho un appuntamento con il mio professore tra poco (evvai anche oggi si pranzo ad un ora improponibile!) vado a sentire che dice, poi riporto tutto qua sopra.
Eppure cavolo io questa roba la facevo ad occhi chiusi!
Ancora uffa.
Eppure cavolo io questa roba la facevo ad occhi chiusi!
Ancora uffa.
Non lo so, io ho la Dal Passo come prof. di Analisi,
tu dovresti avere Braides visto che fai Informatica...
Nelle prove d'esame della mia prof. non viene
mai chiesto di calcolare nulla per quanto riguarda le serie... Boh...
tu dovresti avere Braides visto che fai Informatica...
Nelle prove d'esame della mia prof. non viene
mai chiesto di calcolare nulla per quanto riguarda le serie... Boh...
No, non braides... ho Tauraso, comunque ho avuto anche Braides ma per Analisi1
Non sono riuscito a risolverla completamente, ma forse qualcosa può esserti d'aiuto.
Innanzitutto riscrivo la serie come $sum_(n=1)^(+oo) (3^n + 2^n) / (n6^n) = sum_(n=1)^(+oo) 1/(n 2^n) + sum_(n=1)^(+oo) 1/(n 3^n)$.
Poi ricordando che $log x = sum_(n=1)^(+oo) 1/n ((x-1)/x)^n$ per $x>1/2$ si osserva che $sum_(n=1)^(+oo) 1/(n 2^n) = log 2$.
Il secondo termine non sono riuscito a risolverlo, ma stando a quanto dice Mathematica dovrebbe poter essere scritto come $sum_(n=1)^(+oo) 1/(n 3^n) = log 3 - log2$.
Quindi il risultato effettivamente dovrebbe venire $log 3$.
Innanzitutto riscrivo la serie come $sum_(n=1)^(+oo) (3^n + 2^n) / (n6^n) = sum_(n=1)^(+oo) 1/(n 2^n) + sum_(n=1)^(+oo) 1/(n 3^n)$.
Poi ricordando che $log x = sum_(n=1)^(+oo) 1/n ((x-1)/x)^n$ per $x>1/2$ si osserva che $sum_(n=1)^(+oo) 1/(n 2^n) = log 2$.
Il secondo termine non sono riuscito a risolverlo, ma stando a quanto dice Mathematica dovrebbe poter essere scritto come $sum_(n=1)^(+oo) 1/(n 3^n) = log 3 - log2$.
Quindi il risultato effettivamente dovrebbe venire $log 3$.
Mah... Proprio non so come sia possibile
affermare che $logx=sum_(n=1)^(+oo) 1/n ((x-1)/x)^n
per ogni $x>1/2$... Probabilmente si tratta
di un argomento nuovo, non semplicemente
serie dipendenti da un parametro, ma vere
e proprie serie di funzioni, argomento di Analisi II.
Può essere che, dato che gli informatici (a Tor Vergata) non
fanno più Analisi dopo il primo anno (mi pare),
abbiano condensato un po' di Analisi II
nel loro corso di Analisi Matematica 2 del primo anno... E' così Jeko?
PS. Ho avuto Tauraso come prof. di Matematica Discreta
e non è stata affatto una bella esperienza...
affermare che $logx=sum_(n=1)^(+oo) 1/n ((x-1)/x)^n
per ogni $x>1/2$... Probabilmente si tratta
di un argomento nuovo, non semplicemente
serie dipendenti da un parametro, ma vere
e proprie serie di funzioni, argomento di Analisi II.
Può essere che, dato che gli informatici (a Tor Vergata) non
fanno più Analisi dopo il primo anno (mi pare),
abbiano condensato un po' di Analisi II
nel loro corso di Analisi Matematica 2 del primo anno... E' così Jeko?
PS. Ho avuto Tauraso come prof. di Matematica Discreta
e non è stata affatto una bella esperienza...
Eredir ha fatto gran parte del lavoro in quanto il successivo passaggio è abbastanza immediato...
$ln 3= ln 2 + ln (3/2) = sum_(n=1)^(+oo) 1/(n 2^n) + sum_(n=1)^(+oo) 1/n*((1/2)/(3/2))^n=$
$= sum_(n=1)^(+oo) 1/(n 2^n) + sum_(n=1)^(+oo) 1/(n 3^n)$
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$ln 3= ln 2 + ln (3/2) = sum_(n=1)^(+oo) 1/(n 2^n) + sum_(n=1)^(+oo) 1/n*((1/2)/(3/2))^n=$
$= sum_(n=1)^(+oo) 1/(n 2^n) + sum_(n=1)^(+oo) 1/(n 3^n)$
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
... e già che ci siamo si può arrivare alla formula più generale...
$ln k= ln (k-1) + sum_(n=1)^(+oo) 1/(n*k^n)$ (1)
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$ln k= ln (k-1) + sum_(n=1)^(+oo) 1/(n*k^n)$ (1)
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
dunque in generale $sum_(n=1)^(+oo) 1/n (1/(a^n)) = sum_(n=1)^(+oo) 1/n ((a/(a-1)-1)/(a/(a-1)))^n = log(a/(a-1)) = log(a) - log(a-1) $ per $a > 1$
ma come si dimostra che $sum_(n=1)^(+oo) 1/n ((x-1)/x)^n = log(x)$ ? anche solo una dritta...
ma come si dimostra che $sum_(n=1)^(+oo) 1/n ((x-1)/x)^n = log(x)$ ? anche solo una dritta...
Non so come si dimostra, mi dispiace.
Ma scusate... non lo so perché non ho fatto i conti, ma non basta manipolare un po' la celebre formula $log(1-x) = sum_(n=1)^(+oo) - (x^n)/n$, $|x|<1$ ?
Questo si ottiene facilmente integrando ambo i membri di una serie geometrica:
Se $|x|<1$ allora è noto che $sum_(n=0)^(+oo) x^n = 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5... = 1/(1-x)$
Integrando otteniamo:
$-log(1-x) = x+(x^2)/2+(x^3)/3+(x^4)/4+(x^5)/5+(x^6)/6+...$ e cambiando segno...
Questo si ottiene facilmente integrando ambo i membri di una serie geometrica:
Se $|x|<1$ allora è noto che $sum_(n=0)^(+oo) x^n = 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5... = 1/(1-x)$
Integrando otteniamo:
$-log(1-x) = x+(x^2)/2+(x^3)/3+(x^4)/4+(x^5)/5+(x^6)/6+...$ e cambiando segno...
Più o meno è così...
$ln (1+t)= sum_(n=1)^(+oo) ((-1)^(n-1))/n*t^n$ ->
-> $ln (1-t)=- sum_(n=1)^(+oo) t^n/n$ ->
-> $ln (1/(1-t))= sum_(n=1)^(+oo)t^n/n$ (1)
A questo punto si pone $x=1/(1-t)$-> $t=(x-1)/x$ e sostituendo nella (1) si ha...
$ln x= sum_(n=1)^(+oo) 1/n*((x-1)/x)^n$ (2)
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$ln (1+t)= sum_(n=1)^(+oo) ((-1)^(n-1))/n*t^n$ ->
-> $ln (1-t)=- sum_(n=1)^(+oo) t^n/n$ ->
-> $ln (1/(1-t))= sum_(n=1)^(+oo)t^n/n$ (1)
A questo punto si pone $x=1/(1-t)$-> $t=(x-1)/x$ e sostituendo nella (1) si ha...
$ln x= sum_(n=1)^(+oo) 1/n*((x-1)/x)^n$ (2)
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Non mi trovo con i segni... nello sviluppo di $log(1+t)$ dovrebbe uscire $(-1)^(n+1)$... o erro?
Comunque sia era una semplice questione di manipolazione... una volta noto lo sviluppo di $log(1+x)$ o $log(1-x)$ è fatta.
Lupo grigio toglimi una curiosità: lo sviluppo di $log(1+x)$ da dove esce? Io pensavo si dimostrasse prima lo sviluppo di $log(1-x)$ con la serie geometrica (come ho fatto sopra) e successivamente si passasse a $log(1+x)$, invece tu hai fatto il contrario...
Comunque sia era una semplice questione di manipolazione... una volta noto lo sviluppo di $log(1+x)$ o $log(1-x)$ è fatta.
Lupo grigio toglimi una curiosità: lo sviluppo di $log(1+x)$ da dove esce? Io pensavo si dimostrasse prima lo sviluppo di $log(1-x)$ con la serie geometrica (come ho fatto sopra) e successivamente si passasse a $log(1+x)$, invece tu hai fatto il contrario...
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