Una "caratterizzazione" del \( \lim \sup \)
La lower topology sulla retta estesa \( \tilde{\mathbb{R}}= \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \} \) è la topologia nella quale gli aperti sono le semirette con estremo inferiore, cioè i \( V_a = \{ t \in \tilde{\mathbb{R}} : t > a \} \), \(a \in \mathbb{R}\) o \(a= - \infty\). Dualmente si può definire la upper topology.
Siccome queste due topologie non sono Hausdorff, l'unicità del limite per \(\tilde{\mathbb{R}}\)-valued functions (come si traduce?) può non valere, come infatti avviene. Come di consueto, siano \(E\) uno spazio topologico, \(c\) un punto non isolato di \(E\), \(D= E \setminus \{c\}\) e \(f: D \to \tilde{\mathbb{R}} \) una funzione.
(a) Provare che se \(l \in \tilde{\mathbb{R}}\) è limite di \(f\) per \(x\) che tende a \(c\), dove su \(\tilde{\mathbb{R}}\) è "montata" la upper topology, allora anche ogni \(a> l\) è limite;
(b) Provare che l'insieme dei limiti di \(f\) nella upper topology è un insieme non vuoto e chiuso di \(\tilde{\mathbb{R}}\) il minimo del quale è \(\limsup_{x \to c} \ f(x)\).
Svolgimento.
Passerei subito al punto (b) che è quello che mi sta dando problemi ( - per (a) mi pare basti osservare che se \(\mathcal{I}_l \) è l'insieme (filtro?) degli intorni di \(l\) del tipo \([-\infty, a)\) con \(l l \) si ha che \(\mathcal{I}_t \subset \mathcal{I}_l\), e quindi la definizione di limite è ancora verificata - è comunque da scrivere per bene).
Se poi \(l\) è limite di \(f\) per \(x \to c\), da (a) segue che tutti i punti di \([l,+\infty]\) sono limiti; quest'ultimo è un chiuso in quanto complementare di un aperto, ed è evidentemente non vuoto. Ammesso che quanto ho detto sia giusto, \(l\) dovrebbe essere il \(\lim \sup\), giusto? Ma come lo dimostro?
La definizione di \(\lim \sup\) che mi è stata data è la seguente: \[\limsup_{x \to c} f(x) := \inf \{ \sup f(U) : U \in \mathcal{I}_c\}\]e \[\mathcal{I}_c = \{ U=Z \setminus \{c\} : Z \text{ è un intorno di c}\}\]
Ringrazio.
Siccome queste due topologie non sono Hausdorff, l'unicità del limite per \(\tilde{\mathbb{R}}\)-valued functions (come si traduce?) può non valere, come infatti avviene. Come di consueto, siano \(E\) uno spazio topologico, \(c\) un punto non isolato di \(E\), \(D= E \setminus \{c\}\) e \(f: D \to \tilde{\mathbb{R}} \) una funzione.
(a) Provare che se \(l \in \tilde{\mathbb{R}}\) è limite di \(f\) per \(x\) che tende a \(c\), dove su \(\tilde{\mathbb{R}}\) è "montata" la upper topology, allora anche ogni \(a> l\) è limite;
(b) Provare che l'insieme dei limiti di \(f\) nella upper topology è un insieme non vuoto e chiuso di \(\tilde{\mathbb{R}}\) il minimo del quale è \(\limsup_{x \to c} \ f(x)\).
Svolgimento.
Passerei subito al punto (b) che è quello che mi sta dando problemi ( - per (a) mi pare basti osservare che se \(\mathcal{I}_l \) è l'insieme (filtro?) degli intorni di \(l\) del tipo \([-\infty, a)\) con \(l
Se poi \(l\) è limite di \(f\) per \(x \to c\), da (a) segue che tutti i punti di \([l,+\infty]\) sono limiti; quest'ultimo è un chiuso in quanto complementare di un aperto, ed è evidentemente non vuoto. Ammesso che quanto ho detto sia giusto, \(l\) dovrebbe essere il \(\lim \sup\), giusto? Ma come lo dimostro?
La definizione di \(\lim \sup\) che mi è stata data è la seguente: \[\limsup_{x \to c} f(x) := \inf \{ \sup f(U) : U \in \mathcal{I}_c\}\]e \[\mathcal{I}_c = \{ U=Z \setminus \{c\} : Z \text{ è un intorno di c}\}\]
Ringrazio.
Risposte
Sia $L$ l'insieme dei limiti di $f(x)$ al tendere di $x$ a $c$, [tex]\mathcal{I}_c[/tex] la famiglia degli intorni di $c$ ordinata per finezza e [tex]a = \inf(L)[/tex] (esiste tutto per ipotesi). Quanto dimostrato in (a) (assieme alle ipotesi) implica che [tex]\forall k>a \in \mathbb{R}[/tex] [tex]\exists V' \in \mathcal{I}_c[/tex] tale che [tex]\forall V'' \subset V' , x \in V''[/tex] $f(x) < k$ cioè [tex]\forall U \in \{(-\infty, k], k \in \mathbb{R}, k > a\}[/tex] [tex]\exists V' \in \mathcal{I}_c[/tex] tale che [tex]\forall V'' \subset V' \, \sup f(V'') \ \subset U[/tex] che è equivalente a scrivere
[tex]\displaystyle \lim_{V \in \mathcal{I}_c} \sup_{x \in V \smallsetminus \{c\}} f(x) = a[/tex] (dove il $\lim$ è inteso in senso generalizzato, come limite di una funzione definita su un insieme filtrante, [tex]\mathcal{I}_c[/tex] ) e LHS è una definizione alternativa del [tex]\limsup[/tex] (l'equivalenza si dimostra banalmente notando che la funzione definita dal [tex]\sup[/tex] in quelle condizioni è debolmente monotona).
[tex]\displaystyle \lim_{V \in \mathcal{I}_c} \sup_{x \in V \smallsetminus \{c\}} f(x) = a[/tex] (dove il $\lim$ è inteso in senso generalizzato, come limite di una funzione definita su un insieme filtrante, [tex]\mathcal{I}_c[/tex] ) e LHS è una definizione alternativa del [tex]\limsup[/tex] (l'equivalenza si dimostra banalmente notando che la funzione definita dal [tex]\sup[/tex] in quelle condizioni è debolmente monotona).
"Epimenide93":
[...] che è equivalente a scrivere
[tex]\displaystyle \lim_{V \in \mathcal{I}_c} \sup_{x \in V \smallsetminus \{c\}} f(x) = a[/tex] (dove il $\lim$ è inteso in senso generalizzato, come limite di una funzione definita su un insieme filtrante, [tex]\mathcal{I}_c[/tex] ) e LHS è una definizione alternativa del [tex]\limsup[/tex] (l'equivalenza si dimostra banalmente notando che la funzione definita dal [tex]\sup[/tex] in quelle condizioni è debolmente monotona).
Mi chiarisci questo pezzo? Ho paura di aver frainteso.
(Quanto scrivo è, con qualche modifica, un riassunto della trattazione su massimo e minimo limite del libro Analisi Matematica di Giovanni Prodi)
Do per buono il Teorema: "Sia $f$ una funzione reale non crescente definita in un inseme filtrante $F$. Allora esiste il [tex]\lim_{x\in F} f(x)[/tex] e coincide con l' [tex]\inf_{x\in F} f(x)[/tex] (finito o infinito)." (Che si dimostra facilmente sulla falsariga del teorema di esistenza del limite per $n \to \infty$ di una successione monotona a valori reali $a_n$, sfruttando l'ipotesi che $F$ sia filtrante).
Considero $E$ spazio topologico, $c\inE$ non isolato, [tex]f : E \smallsetminus \{c\} \to \mathbb{R}[/tex].
Per ogni intorno $V$ del punto $c$ pongo [tex]M(V):= \sup_{x \in V \smallsetminus \{c\}} f(x)[/tex]. Considero l'insieme [tex]\mathcal{I}_c[/tex] degli intorni di $c$, ordinato per finezza ($U\leqV \iff V\subseteqU$), che risulta essere un insieme filtrante (per le proprietà degli intorni), e sul quale la funzione $M$ è monotona non crescente (dati due insiemi di reali $A$ e $B$, si ha [tex]A \subseteq B \Rightarrow \sup(A)\leq \sup(B)[/tex], cioè $M$ è una funzione monotona definita su un insieme filtrante, che quindi ammette limite per il Teorema enunciato all'inizio. Definisco il massimo limite di $f(x)$ al tendere di $x$ a $c$ come il [tex]\lim_{V\in\mathcal{I}_c} M(V)[/tex] e tenendo conto che $M$ è monotona non crescente ciò equivale (per lo stesso Teorema) a scrivere [tex]\inf_{V\in\mathcal{I}_c} M(V)[/tex], che è la definizione da te data di [tex]\liminf[/tex].
My two cents
Do per buono il Teorema: "Sia $f$ una funzione reale non crescente definita in un inseme filtrante $F$. Allora esiste il [tex]\lim_{x\in F} f(x)[/tex] e coincide con l' [tex]\inf_{x\in F} f(x)[/tex] (finito o infinito)." (Che si dimostra facilmente sulla falsariga del teorema di esistenza del limite per $n \to \infty$ di una successione monotona a valori reali $a_n$, sfruttando l'ipotesi che $F$ sia filtrante).
Considero $E$ spazio topologico, $c\inE$ non isolato, [tex]f : E \smallsetminus \{c\} \to \mathbb{R}[/tex].
Per ogni intorno $V$ del punto $c$ pongo [tex]M(V):= \sup_{x \in V \smallsetminus \{c\}} f(x)[/tex]. Considero l'insieme [tex]\mathcal{I}_c[/tex] degli intorni di $c$, ordinato per finezza ($U\leqV \iff V\subseteqU$), che risulta essere un insieme filtrante (per le proprietà degli intorni), e sul quale la funzione $M$ è monotona non crescente (dati due insiemi di reali $A$ e $B$, si ha [tex]A \subseteq B \Rightarrow \sup(A)\leq \sup(B)[/tex], cioè $M$ è una funzione monotona definita su un insieme filtrante, che quindi ammette limite per il Teorema enunciato all'inizio. Definisco il massimo limite di $f(x)$ al tendere di $x$ a $c$ come il [tex]\lim_{V\in\mathcal{I}_c} M(V)[/tex] e tenendo conto che $M$ è monotona non crescente ciò equivale (per lo stesso Teorema) a scrivere [tex]\inf_{V\in\mathcal{I}_c} M(V)[/tex], che è la definizione da te data di [tex]\liminf[/tex].
My two cents
Ok, una parte adesso è più chiara (non conoscevo questa "costruzione", bella!).
Ora però mi è sorto un altro dubbio:
Come provi \(\Longrightarrow\)?
Ora però mi è sorto un altro dubbio:
"Epimenide93":
[...] [tex]\forall U \in \{(-\infty, k], k \in \mathbb{R}, k > a\}[/tex] [tex]\exists V' \in \mathcal{I}_c[/tex] tale che [tex]\forall V'' \subset V' \, \sup f(V'') \ \in U[/tex] che è equivalente a scrivere
[tex]\displaystyle \lim_{V \in \mathcal{I}_c} \sup_{x \in V \smallsetminus \{c\}} f(x) = a[/tex] [...]
Come provi \(\Longrightarrow\)?
È la definizione di limite in un insieme filtrante. [tex]\displaystyle \lim_{x\in F} f(x) = l \iff \forall V \in \mathcal{I}_l \; \exists \tilde x[/tex] tale che [tex]\forall x > \tilde x, \; f(x) \in V[/tex].
Ah ecco. Probabilmente l'avevo anche vista, quella definizione (sempre ammesso che un insieme filtrante sia per te questo), ma difetto un po' di memoria.
Ti ringrazio!
Ti ringrazio!
Sì, intendo un insieme parzialmente ordinato che è un filtro su se stesso (o insieme diretto, directed set in inglese).
Di nulla
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