Una formula dimenticata...
Ragazzi
so che il lunedì non è il giorno ideale per imbattersi in problemi complicati, ma ho necessità che qualcuno di voi mi chiarisca un poco le idee. Anche se la cosa mi attirerà pesanti critiche da parte di qualche ‘purista’ della matematica, vi dirò che il miglior testo di teoria delle funzioni di variabile complessa in mio possesso non è un testo scritto da matematici e non parla di argomenti matematici, bensì è scritto da ingegneri [sì… però da ingegneri ‘yanckee’…] e tratta di teoria delle reti elettriche. Il testo in questione è il seguente: N. Balabanian, T.A. Bickart, Elecrical network theory, 1969, Wiley & Sons, New York. Nella Appendix two gli autori hanno pensato bene di inserire una sia pur condensata teoria delle funzioni di variabile complessa con particolare enfasi sulla L-trasformata, nell’esatta convinzione che essa non sia stata insegnata bene agli studenti nei corsi propedeutici. Alla pagina 907 si parla di ‘convoluzione reale e complessa’ e si citano due formule, chiamate ‘integrali di convoluzione’. La definizione del primo integrale di convoluzione è assai nota…
Siano $f_1(t)$ ed $f_2(t)$ due funzioni tali che le loro L-trasformate…
$F_1(s)= int_0^(+oo) f_1(t)*e^(-s*t)*dt$ e $F_2(s)=int_0^(+oo) f_2(t)*e^(-s*t)*dt$ (1)
… abbiano ascissa di convergenza rispettivamente uguale a $sigma_1$ e $sigma_2$. Allora il prodotto $F_1(s)*F_2(s)$ è anch’esso una L-trasformata…
$F_1(s)*F_2(s)=int_0^(+oo) g(t)*e^(-s*t)*dt$ (2)
… con ascissa di convergenza pari al maggiore tra $sigma_1$ e $sigma_2$ ed è…
$g(t)=int_0^t f_1(x)*f_2(t-x)*dx=int_0^t f_1(t-x)*f_2(x)*dx$ (3)
Il secondo integrale di convoluzione è assai meno noto, al punto da essere ignorato dalla maggior parte dei testi…
Nelle medesime ipotesi prima poste la L-trasformata del prodotto $f_1(t)*f_2(t)$ è data da…
$L [f_1(t)*f_2(t)]=1/(2*pi*j) int_(c-j*oo)^(c+j*oo) F_ 1(z)*F_2(s-z)*dz$ (4)
… dove $sigma_1sigma_1+sigma_2$
Gli stessi autori, pur citando entrambi gli integrali di convoluzione, affermano che il secondo ‘non è di particolare utilità’ e passano oltre. Siccome però il concetto di ‘utilità’ è spesso assai relativo, a me sembra che varrebbe la pena di approfondire un poco la (4). Come?… magari con un esempio…
Consideriamo il caso assai semplice $f_1(t)=f_2(t)=t$ per cui $F_1(s)=F_2(s)=1/(s^2)$. Sappiamo già che $L[f_1(t)*f_2(t)]=L[t^2]= 2/(s^3)$, ma a questo punto la domanda è: come arrivare a questo risultato applicando la (4)?…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
so che il lunedì non è il giorno ideale per imbattersi in problemi complicati, ma ho necessità che qualcuno di voi mi chiarisca un poco le idee. Anche se la cosa mi attirerà pesanti critiche da parte di qualche ‘purista’ della matematica, vi dirò che il miglior testo di teoria delle funzioni di variabile complessa in mio possesso non è un testo scritto da matematici e non parla di argomenti matematici, bensì è scritto da ingegneri [sì… però da ingegneri ‘yanckee’…] e tratta di teoria delle reti elettriche. Il testo in questione è il seguente: N. Balabanian, T.A. Bickart, Elecrical network theory, 1969, Wiley & Sons, New York. Nella Appendix two gli autori hanno pensato bene di inserire una sia pur condensata teoria delle funzioni di variabile complessa con particolare enfasi sulla L-trasformata, nell’esatta convinzione che essa non sia stata insegnata bene agli studenti nei corsi propedeutici. Alla pagina 907 si parla di ‘convoluzione reale e complessa’ e si citano due formule, chiamate ‘integrali di convoluzione’. La definizione del primo integrale di convoluzione è assai nota…
Siano $f_1(t)$ ed $f_2(t)$ due funzioni tali che le loro L-trasformate…
$F_1(s)= int_0^(+oo) f_1(t)*e^(-s*t)*dt$ e $F_2(s)=int_0^(+oo) f_2(t)*e^(-s*t)*dt$ (1)
… abbiano ascissa di convergenza rispettivamente uguale a $sigma_1$ e $sigma_2$. Allora il prodotto $F_1(s)*F_2(s)$ è anch’esso una L-trasformata…
$F_1(s)*F_2(s)=int_0^(+oo) g(t)*e^(-s*t)*dt$ (2)
… con ascissa di convergenza pari al maggiore tra $sigma_1$ e $sigma_2$ ed è…
$g(t)=int_0^t f_1(x)*f_2(t-x)*dx=int_0^t f_1(t-x)*f_2(x)*dx$ (3)
Il secondo integrale di convoluzione è assai meno noto, al punto da essere ignorato dalla maggior parte dei testi…
Nelle medesime ipotesi prima poste la L-trasformata del prodotto $f_1(t)*f_2(t)$ è data da…
$L [f_1(t)*f_2(t)]=1/(2*pi*j) int_(c-j*oo)^(c+j*oo) F_ 1(z)*F_2(s-z)*dz$ (4)
… dove $sigma_1
Gli stessi autori, pur citando entrambi gli integrali di convoluzione, affermano che il secondo ‘non è di particolare utilità’ e passano oltre. Siccome però il concetto di ‘utilità’ è spesso assai relativo, a me sembra che varrebbe la pena di approfondire un poco la (4). Come?… magari con un esempio…
Consideriamo il caso assai semplice $f_1(t)=f_2(t)=t$ per cui $F_1(s)=F_2(s)=1/(s^2)$. Sappiamo già che $L[f_1(t)*f_2(t)]=L[t^2]= 2/(s^3)$, ma a questo punto la domanda è: come arrivare a questo risultato applicando la (4)?…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Risposte
lupo grigio, vorrei fare una precisazione...
innanzitutto complimenti perché metti i numeri vicino alle formule, che così risultano facilmente identificabili!!... in ogni caso nella $(1)$ hai dato la definizione di trasformata unilatera di Laplace oppure hai dato per implicito che le funzioni $f_1(t)$ e $f_2(t)$ siano identicamente nulle $AA t < 0$; io propendo per la seconda possibilità in quanto la definizione di convoluzione che hai dato nella $(3)$ è giusta solo se $f_1(t)$ e $f_2(t)$ sono nulle per $t < 0$, o meglio per q.o. $t < 0$ (ci sarebbe da fare un'altra ipotesi, cioè che $f_1$ e $f_2$ siano in $(L^1)_{loc}(RR)$ ma ciò è implicito visto che per ipotesi le due funzioni sono L-trasformabili)
innanzitutto complimenti perché metti i numeri vicino alle formule, che così risultano facilmente identificabili!!... in ogni caso nella $(1)$ hai dato la definizione di trasformata unilatera di Laplace oppure hai dato per implicito che le funzioni $f_1(t)$ e $f_2(t)$ siano identicamente nulle $AA t < 0$; io propendo per la seconda possibilità in quanto la definizione di convoluzione che hai dato nella $(3)$ è giusta solo se $f_1(t)$ e $f_2(t)$ sono nulle per $t < 0$, o meglio per q.o. $t < 0$ (ci sarebbe da fare un'altra ipotesi, cioè che $f_1$ e $f_2$ siano in $(L^1)_{loc}(RR)$ ma ciò è implicito visto che per ipotesi le due funzioni sono L-trasformabili)
In genere, parlando di L-trasformata, si ritiene irrilevante il valore assunto dalla funzione $f(t)$ per $t<0$. Del resto basta osservare la stessa formula di trasformazione...
$F(s)=int_0^(+oo) f(t)*e^(-s*t)*dt$ (1)
... per intuire che il comportamento della $f$ per $t<0$ non inficia il risultato. Diamo magari un esempio e consideriamo le due due funzioni $f_1(t)=t$ e $f_2(t)=|t|$. Entrambe inserite nella (1) forniscono $F(s)=1/(s^2)$ e quindi dal punto di vista della L-trasformata sono la stessa funzione, che corriponde alla trasformata inversa di $1/(s^2)$...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$F(s)=int_0^(+oo) f(t)*e^(-s*t)*dt$ (1)
... per intuire che il comportamento della $f$ per $t<0$ non inficia il risultato. Diamo magari un esempio e consideriamo le due due funzioni $f_1(t)=t$ e $f_2(t)=|t|$. Entrambe inserite nella (1) forniscono $F(s)=1/(s^2)$ e quindi dal punto di vista della L-trasformata sono la stessa funzione, che corriponde alla trasformata inversa di $1/(s^2)$...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
veramente quella che hai scritto tu è la definizione di trasformata unilatera... in generale la trasformata di Laplace è data sì dall'integrale da te proposto, ma tra $-oo$ e $+oo$, ecco perché, per rendere lecito ciò che dici, o specifichi che si tratta di trasformata unilatera o supponi le funzioni nulle per q.o. $t<0$
solitamente la trasformata unilatera di Laplace si indica con $L_u$ e risulta $L[x(t)](s)=L_u[x(-t)](-s)+L_u[x(t)](s)$
la sostanziale differenza tra le due trasformate è che mentre di solito quella unilatera converge in un semipiano destro, quella bilatera converge in una striscia verticale
solitamente la trasformata unilatera di Laplace si indica con $L_u$ e risulta $L[x(t)](s)=L_u[x(-t)](-s)+L_u[x(t)](s)$
la sostanziale differenza tra le due trasformate è che mentre di solito quella unilatera converge in un semipiano destro, quella bilatera converge in una striscia verticale
Ho guardato poco fa quel libro, che per altro non è un testo di Analisi complessa, ed invero l'Analisi complessa è fatta come appendice al testo stesso.
Ho subito osservato che parla di funzioni ad un sol valore e a più valori; nessun problema ovviamente, anche se è vagamente contradditorio, in quanto la parola "funzione" vuol già dire che siamo ad un sol valore. Comunque è solo un abuso di linguaggio.
Complessivamente posso dire che esistono testi di Analisi complessa decisamente migliori; quindi il mio è un consiglio: se vuoi davvero studiare dell'Analisi complessa cercati testi che trattano Analisi complessa, non che la fanno come appendice.
Quanto all'inutilità della formula, ho letto dove ne parla e dice che per gli scopi del testo quell'integrale appare inutile, quindi non ha detto che è inutile in assoluto. E la cosa capita proprio a fagiolo: guarda caso nel mio ultimo lavoro di ricerca ho proprio usato pesantemente quella proprietà per risolvere un'equazione integrale trasformando secondo Laplace i membri dell'equazione...
Ho subito osservato che parla di funzioni ad un sol valore e a più valori; nessun problema ovviamente, anche se è vagamente contradditorio, in quanto la parola "funzione" vuol già dire che siamo ad un sol valore. Comunque è solo un abuso di linguaggio.
Complessivamente posso dire che esistono testi di Analisi complessa decisamente migliori; quindi il mio è un consiglio: se vuoi davvero studiare dell'Analisi complessa cercati testi che trattano Analisi complessa, non che la fanno come appendice.
Quanto all'inutilità della formula, ho letto dove ne parla e dice che per gli scopi del testo quell'integrale appare inutile, quindi non ha detto che è inutile in assoluto. E la cosa capita proprio a fagiolo: guarda caso nel mio ultimo lavoro di ricerca ho proprio usato pesantemente quella proprietà per risolvere un'equazione integrale trasformando secondo Laplace i membri dell'equazione...
Per Kroldar... diciamo allora che quanto da me richiesto si riferisce alla L-trasformata unilatera...
cordiali saluti
lupo grigio
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cordiali saluti
lupo grigio
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lupo grigio, tu chiedi di calcolare l'integrale $int_(c-j*oo)^(c+j*oo) F_ 1(z)*F_2(s-z)*dz=int_(c-j*oo)^(c+j*oo) 1/(z^2(z-s)^2) dz$ notiamo che essendo la retta di integrazione interna alla striscia di convergenza allora $c>0$... consideriamo una curva formata dalla retta di integrazione e da una semicirconferenza di centro il punto $(c,0)$ poggiata lungo la retta di integrazione e situata nel semipiano alla destra di tale retta, avente raggio infinito. l'integrale della funzione integranda esteso a tale curva percorsa in verso orario, dalla teoria dei residui vale $-2pijR$ essendo $s$ l'unico zero della funzione integranda contenuto all'interno della curva. ora dal lemma del grande cerchio l'integrale esteso alla semicirconferenza è nullo. calcoliamo il residuo, esso è pari a $-2/s^3$, dunque l'integrale è pari a $-2pij(-2)/s^3*1/(2pij)=2/s^3$
Caro Kroldar
per vedere se ho inteso bene la soluzione da te fornita, consentimi di aiutarmi usando la figura qui sotto…
L’integrale da calcolare è effettivamente il seguente…
$L[t^2]= 1/(2*pi*j) int_(c-j*oo)^(c+j*oo) 1/(z^2*(z-s)^2)*dz$ (1)
Allora se ho ben capito sei andato ad integrare la funzione lungo il perimetro del semicerchio che si vede in figura di raggio $R$ centrato in $(c,0)$ e ne hai preso il limite per $R->oo$. Applicando il ‘lemma del grande cerchio’ si trova che il contributo della semicirconferenza tende a zero. Pertanto l’integrale (1) sarà dato da…
$int_C f(z)*dz= 2*pi*j*a_(-1)$ (2)
… essendo $a_(-1)$ la somma dei ‘residui’ della $f(z)$ in corrispondenza alle singolarità all’interno della curva di integrazione. Se questa è una sola di ordine $n$ in $z=a$, allora sarà…
$a_(-1)=lim_(z->a) 1/((n-1)!)*(d^(n-1))/(dz^(n-1)) (z-a)^n*f(z)$ (3)
Nel nostro caso la singolarità è in $z=s$ ed è di ordine $2$. Pertanto sarà…
$a_(-1)= lim_(z->s) d/(dz) 1/(z^2)= -2/(s^3)$ (4)
Tenendo conto del segno – dovuto al fatto che il cammino di integrazione è percorso in senso orario avremo alla fine…
$L[t^2]= (2*pi*j)/(2*pi*j)*2/(s^3)=2/(s^3)$ (5)
… e il gioco è fatto!… è davvero così Kroldar?…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
per vedere se ho inteso bene la soluzione da te fornita, consentimi di aiutarmi usando la figura qui sotto…
L’integrale da calcolare è effettivamente il seguente…
$L[t^2]= 1/(2*pi*j) int_(c-j*oo)^(c+j*oo) 1/(z^2*(z-s)^2)*dz$ (1)
Allora se ho ben capito sei andato ad integrare la funzione lungo il perimetro del semicerchio che si vede in figura di raggio $R$ centrato in $(c,0)$ e ne hai preso il limite per $R->oo$. Applicando il ‘lemma del grande cerchio’ si trova che il contributo della semicirconferenza tende a zero. Pertanto l’integrale (1) sarà dato da…
$int_C f(z)*dz= 2*pi*j*a_(-1)$ (2)
… essendo $a_(-1)$ la somma dei ‘residui’ della $f(z)$ in corrispondenza alle singolarità all’interno della curva di integrazione. Se questa è una sola di ordine $n$ in $z=a$, allora sarà…
$a_(-1)=lim_(z->a) 1/((n-1)!)*(d^(n-1))/(dz^(n-1)) (z-a)^n*f(z)$ (3)
Nel nostro caso la singolarità è in $z=s$ ed è di ordine $2$. Pertanto sarà…
$a_(-1)= lim_(z->s) d/(dz) 1/(z^2)= -2/(s^3)$ (4)
Tenendo conto del segno – dovuto al fatto che il cammino di integrazione è percorso in senso orario avremo alla fine…
$L[t^2]= (2*pi*j)/(2*pi*j)*2/(s^3)=2/(s^3)$ (5)
… e il gioco è fatto!… è davvero così Kroldar?…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
perfetto! non solo hai capito a volo, ma hai anche spiegato e accuratamente graficato quello che frettolosamente avevo scritto io
il tuo post è stato molto interessante... si è scoperto che per la trasformata di Laplace vale un risultato simile al ben noto risultato concernente la trasformata di Fourier che dice che la trasformata del prodotto tra $x$ e $y$ è pari a meno di un fattore costante alla convoluzione delle trasformata $X$ e $Y$ ovvero: $int_(-oo)^(+oo)x(t)y(t)e^(-jomegat)dt=1/(2pi)int_(-oo)^(+oo)X(lambda)Y(omega-lambda)dlambda$, a patto che il prodotto $x(t)y(t)$ sia sommabile su $RR$ e ciò è sempre vero se $x$ e $y$ sono funzioni a decrescenza rapida
in sostanza ci hai mostrato che per la L-trasformata cambia un $j$ al denominatore e l'integrazione, anziché lungo l'asse reale, va fatta lungo una retta verticale del piano complesso interna alla striscia di convergenza e ciò non deve stupire dato che la trasformata di Fourier è una funzione di variabile reale mente la trasformata di Laplace è una funzione di variabile complessa
il tuo post è stato molto interessante... si è scoperto che per la trasformata di Laplace vale un risultato simile al ben noto risultato concernente la trasformata di Fourier che dice che la trasformata del prodotto tra $x$ e $y$ è pari a meno di un fattore costante alla convoluzione delle trasformata $X$ e $Y$ ovvero: $int_(-oo)^(+oo)x(t)y(t)e^(-jomegat)dt=1/(2pi)int_(-oo)^(+oo)X(lambda)Y(omega-lambda)dlambda$, a patto che il prodotto $x(t)y(t)$ sia sommabile su $RR$ e ciò è sempre vero se $x$ e $y$ sono funzioni a decrescenza rapida
in sostanza ci hai mostrato che per la L-trasformata cambia un $j$ al denominatore e l'integrazione, anziché lungo l'asse reale, va fatta lungo una retta verticale del piano complesso interna alla striscia di convergenza e ciò non deve stupire dato che la trasformata di Fourier è una funzione di variabile reale mente la trasformata di Laplace è una funzione di variabile complessa
la parola "funzione" vuol già dire che siamo ad un sol valore. Comunque è solo un abuso di linguaggio.
E' un uso abbastanza recente. Nei testi più datati era normale parlare di "funzione" sia con il significato di funzione monodroma che di funzione polidroma.
ho proprio usato pesantemente quella proprietà per risolvere un'equazione integrale trasformando secondo Laplace i membri dell'equazione
Congratulazioni per la tua "apertura mentale". Conosco molti matematici che hanno avversione per la trasformazione secondo Laplace in quanto sarebbe una teoria non elegante, poco rigorosa ed inutile. In definitiva... roba da ingegneri!
Non so come ringraziarti Kroldar!... e non solo per avermi 'aiutato' nel calcolo dell'integrale!... 
Sembra dunque che per fare passi avanti in matematica si debba andare a leggere sui trattati di ingegneria!...
Comunque sia quella di oggi è stata una 'scoperta' importante e [quello che alla fine interessa...] utilissima e presto vedremo in che consiste la sua 'utilità'...
Un grazie ancora a Kroldar!!!...
cordiali saluti
lupo grigio
an ols wolf may lose his teeth, but never his nature
Sembra dunque che per fare passi avanti in matematica si debba andare a leggere sui trattati di ingegneria!...
Comunque sia quella di oggi è stata una 'scoperta' importante e [quello che alla fine interessa...] utilissima e presto vedremo in che consiste la sua 'utilità'... Un grazie ancora a Kroldar!!!...
cordiali saluti
lupo grigio
an ols wolf may lose his teeth, but never his nature
"in quanto sarebbe una teoria non elegante, poco rigorosa ed inutile. In definitiva... roba da ingegneri!"
Bellissima...
Bellissima...
figurati lupo, il tuo post è stato molto interessante e anch'io ho scoperto cose nuove in merito, difatti il mio testo di metodi matematici (che pure è un ottimo testo scritto da un eccellente matematico) non si pronuncia riguardo alla trasformata di Laplace del prodotto...
la frase citata da CA è la sintesi di un luogo comune ahimé molto comune... frequentando una facoltà di ingegneria confermo pienamente che la stragrande maggioranza degli studenti "litiga" spesso con la matematica, criticandone l'eccessivo rigore e l'inutilità a fini pratici, preferendo metodi approssimativi e superficiali (invero una mera applicazione meccanica di qualche formula buttata là da qualche professore), insomma più che tra gli ingegneri (per coloro che riescono a conseguire il diploma di laurea) sono da annoverare nella categoria dei "praticoni". io, così come credo lupo grigio e tanti altri, dissento da ciò ma devo purtroppo constatare che la quantità di pseudo-ingegneri o aspiranti tali che vede di mal occhio la matematica è ingente e, salvo la pace di pochi, frasi scherzose come quella di CA non siano in fondo tanto lontane dalla realtà...
la frase citata da CA è la sintesi di un luogo comune ahimé molto comune... frequentando una facoltà di ingegneria confermo pienamente che la stragrande maggioranza degli studenti "litiga" spesso con la matematica, criticandone l'eccessivo rigore e l'inutilità a fini pratici, preferendo metodi approssimativi e superficiali (invero una mera applicazione meccanica di qualche formula buttata là da qualche professore), insomma più che tra gli ingegneri (per coloro che riescono a conseguire il diploma di laurea) sono da annoverare nella categoria dei "praticoni". io, così come credo lupo grigio e tanti altri, dissento da ciò ma devo purtroppo constatare che la quantità di pseudo-ingegneri o aspiranti tali che vede di mal occhio la matematica è ingente e, salvo la pace di pochi, frasi scherzose come quella di CA non siano in fondo tanto lontane dalla realtà...
Purtroppo è vero, mi ha fatto sorridere parecchio, ma c'è poco da ridere quando si pensa che è la realtà per la maggior parte degli ingegneri. Per fortuna che ci sono gli ingegneri del forum di Matematicamente che alzano la media!
Guarda è una cosa DRAMMATICA: ci sono ragazzi ad ingegneria (pochi per fortuna)che odiano profondamente la matematica e la fisica....a me fanno un misto di dispiacere e di tenerezza, perchè si capisce che si sono trovati invischiati in una cosa che non c'entra niente con la loro indole e probabilmente non sono stati adeguatamente informati/consigliati quando hanno scelto la facoltà.
Ah lo so bene, ne vedo tanti di studenti che si trovano completamente persi. Forse la colpa è anche di chi orienta all'Università; i corsi di laurea in Ingegneria sono, in generale, di elevata complessità, e mi stupisco che attirino così tanti studenti, contrariamente ai corsi più scientifici, che attirano un numero "normale" (ovvero pochi, ma forse troppo pochi) di studenti.
Il risultato è un abbassamento della qualità dello studente medio e quindi dell'Ingegnere medio futuro.
Il risultato è un abbassamento della qualità dello studente medio e quindi dell'Ingegnere medio futuro.
Il problema è che molti pensano che l'ingegnere sia COOL
a me non fanno per nulla compassione, anzi mi sembra che se la passino troppo bene "certi" studenti... purtroppo secondo me gli esami di matematica e/o fisica ad ingegneria sono troppo semplici o forse sono alcuni professori a semplificarli, così capita che studenti che, come dice giovanni, che odiano la matematica riescano a cavarsela, seppure con un voto basso, a esami quali "Analisi II", "Metodi Matematici" e simili
giusto per farsi due risate, a un appello di Analisi II l'anno scorso, come primo dei soli tre esercizi, uscì $int int x dx dy$ rispetto a un dominio banale
oppure c'è un professore di fisica che fa gli esami senza far fare esercizi ma ponendo solo due domande scritte di teoria a risposta aperta
penso che l'andazzo e il luogo comune finirebbero di esistere se tutti i professori di ingegneria iniziassero a comportarsi in modo più serio e coscienzioso
giusto per farsi due risate, a un appello di Analisi II l'anno scorso, come primo dei soli tre esercizi, uscì $int int x dx dy$ rispetto a un dominio banale
oppure c'è un professore di fisica che fa gli esami senza far fare esercizi ma ponendo solo due domande scritte di teoria a risposta aperta
penso che l'andazzo e il luogo comune finirebbero di esistere se tutti i professori di ingegneria iniziassero a comportarsi in modo più serio e coscienzioso
la frase citata da CA è la sintesi di un luogo comune ahimé molto comune... frequentando una facoltà di ingegneria confermo pienamente che la stragrande maggioranza degli studenti "litiga" spesso con la matematica, criticandone l'eccessivo rigore e l'inutilità a fini pratici,
ed è un vero peccato!
la matematica, quella vera con tanto di rigore e di formalismo, è l'attrezzo più utile nella borsa degli attrezzi di un bravo ingegnere
beati gli ingegneri che non dimenticano gli integrali e le equazioni differenziali!!!
Il dramma si consuma quando bisogna integrare $y'(x)=y(x)*x^2$...
"GIOVANNI IL CHIMICO":
Il dramma si consuma quando bisogna integrare $y'(x)=y(x)*x^2$...
credo tu volessi fare una battuta come sarebbe lecito
tuttavia ti dico che se avessero messo quell'esercizio si sarebbe consumato davvero un dramma e il numero delle persone promosse si sarebbe dimezzato
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