Un problema sugli insiemi
Salve a tutti,
ho il seguente dubbio:
Sia $A\subset\mathbb{R}^{n},A\ne\emptyset,A$ limitato. Sia $B:=\mathbb{R}^{n}-A$.
Non sono sicuro di quale delle 2 affermazioni sia, in generale, corretta:
$(a)$ $x\notin B\Rightarrow x\in A$
$(b)$ $x\notin B\Rightarrow x\in\bar{A}$
Dove con $\bar{A}$ indico la chiusura di $A$.
Naturalmente vera la prima, sarebbe vera anche la seconda, dato che
$A\subset\bar{A}$.
Il dubbio comunque nasce dal fatto che "intuitivamente'' la $(a)$
mi sembra vera.
Ad ogni modo, se la $(a)$ fosse falsa, mi piacerebbe che qualcuno
me ne mostrasse un controesempio.
Grazie!
ho il seguente dubbio:
Sia $A\subset\mathbb{R}^{n},A\ne\emptyset,A$ limitato. Sia $B:=\mathbb{R}^{n}-A$.
Non sono sicuro di quale delle 2 affermazioni sia, in generale, corretta:
$(a)$ $x\notin B\Rightarrow x\in A$
$(b)$ $x\notin B\Rightarrow x\in\bar{A}$
Dove con $\bar{A}$ indico la chiusura di $A$.
Naturalmente vera la prima, sarebbe vera anche la seconda, dato che
$A\subset\bar{A}$.
Il dubbio comunque nasce dal fatto che "intuitivamente'' la $(a)$
mi sembra vera.
Ad ogni modo, se la $(a)$ fosse falsa, mi piacerebbe che qualcuno
me ne mostrasse un controesempio.
Grazie!
Risposte
[mod="Martino"]Ciao. Questo non è un problema di insiemistica ma di topologia. Sposto in geometria. Attenzione alla sezione in futuro, grazie.[/mod]
Qua non è questione di "chiusura", né di "insiemi limitati", né di nessuna proprietà metrica o topologica. Tu hai un insieme $A$ e ne prendi il complementare, $B$. Per definizione allora $x\inB \iff x \notin A$. Fine.
Ok, allora dato che mi confermi che la mia intuizione era giusta,
ti faccio vedere da dove nasce il problema.
Si vuole dimostrare il segurente teorema:
Sia $A\subset\mathbb{R}^{n}$, $A$ limitato, $f:A\to\mathbb{R}$
limitata e continua tranne che in $\Delta_{f}$, $\Delta_{f}$ trascurabile, $Fr(A)$ trascurabile$\Rightarrow f$
è integrabile secondo Riemann in $A$.
NOTAZIONE
$\Delta_{f}=$ l'insieme di punti di discontinuità di $f$
$Fr(A)=$ la frontiera di $A$
$I(\mathbb{R}^{n})=$ insieme degli intervalli di $\mathbb{R}^{n}$
$B$ è trascurabile$\Leftrightarrow\forall\epsilon>0\exists(Q_{i})_{i=1,...,r}\subset I(\mathbb{R}^{n})\: B\subset\bigcup_{i=1}^{r}Q_{i}$
$\wedge\sum_{i=1}^{r}m(Q_{i})\leq\epsilon$
$C_{o}(A)=$ il complementare di $A$
DIMOSTRAZIONE
Consideriamo la funzione $f^{*}:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$che è
per definizione, la funzione che vale $f(x)$ se $x\in A$, e vale
invece $0$ se $x\in C_{o}(A)$.
Per ragioni che ora non riporto, per provare la tesi basta provare
che $\Delta_{f^{*}}$è trascurabile.
L'idea è quella di far vedere che $\Delta_{f^{*}}$ è contenuto in
una unione di insiemi trascurabili.
Ecco come ragiono:
Sia $x\in\Delta_{f^{*}}\Rightarrow$ $f^{*}$ non è continua in $x\Rightarrow x\notin C(A)$
(perchè in $C(A)$ la $f*$ vale sempre $0$ e quindi è continua).
$\Rightarrow x\in A$.
Sicchè abbiamo che $x\in A$ e $f^{*}$ non è continua in $x$$\Rightarrow$$x\in A$
e $f$ non è continua in $x$ (perchè in $A$ $f^{*}=f$)$\Rightarrow x\in\Delta_{f}$.
Dunque $\Delta_{f^{*}}\subset\Delta_{f}$ che è trascurabile per ipotesi$\Rightarrow\Delta_{f^{*}}$
è trascurabile.
-----------------------------------------------------
Il fatto è, che se questo ragionamento fosse corretto, non si capisce
a cosa serva l'ipotesi che $Fr(A)$ sia trascurabile!
Invece il mio prof procedeva in un modo leggermente diverso (ricopio
testualmente):
-----------------------------------------------------------------------
Sia $x\in\Delta_{f^{*}}\Rightarrow$ $f^{*}$ non è continua in $x\Rightarrow x\notin C(A)$
(perchè in $C(A)$ la $f*$ vale sempre $0$ e quindi è continua).
$\Rightarrow x\in\overline{A}=A\cup F_{r}(A)$.
Se poi $x\in A$ avremmo che $\Rightarrow$$x\in A$ e $f$ non
è continua in $x$ (perchè in $A$ $f^{*}=f$)$\Rightarrow x\in\Delta_{f}$.
Dunque $\Delta_{f^{*}}\subset\Delta_{f}\cup F_{r}(A)$ che è trascurabile
perchè unione di trascurabili$\Rightarrow\Delta_{f^{*}}$ è trascurabile.
Dove sbaglio?](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
EDIT: ho modificato le ipotesi secondo l'osservazione di Vicious Goblin.
ti faccio vedere da dove nasce il problema.
Si vuole dimostrare il segurente teorema:
Sia $A\subset\mathbb{R}^{n}$, $A$ limitato, $f:A\to\mathbb{R}$
limitata e continua tranne che in $\Delta_{f}$, $\Delta_{f}$ trascurabile, $Fr(A)$ trascurabile$\Rightarrow f$
è integrabile secondo Riemann in $A$.
NOTAZIONE
$\Delta_{f}=$ l'insieme di punti di discontinuità di $f$
$Fr(A)=$ la frontiera di $A$
$I(\mathbb{R}^{n})=$ insieme degli intervalli di $\mathbb{R}^{n}$
$B$ è trascurabile$\Leftrightarrow\forall\epsilon>0\exists(Q_{i})_{i=1,...,r}\subset I(\mathbb{R}^{n})\: B\subset\bigcup_{i=1}^{r}Q_{i}$
$\wedge\sum_{i=1}^{r}m(Q_{i})\leq\epsilon$
$C_{o}(A)=$ il complementare di $A$
DIMOSTRAZIONE
Consideriamo la funzione $f^{*}:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$che è
per definizione, la funzione che vale $f(x)$ se $x\in A$, e vale
invece $0$ se $x\in C_{o}(A)$.
Per ragioni che ora non riporto, per provare la tesi basta provare
che $\Delta_{f^{*}}$è trascurabile.
L'idea è quella di far vedere che $\Delta_{f^{*}}$ è contenuto in
una unione di insiemi trascurabili.
Ecco come ragiono:
Sia $x\in\Delta_{f^{*}}\Rightarrow$ $f^{*}$ non è continua in $x\Rightarrow x\notin C(A)$
(perchè in $C(A)$ la $f*$ vale sempre $0$ e quindi è continua).
$\Rightarrow x\in A$.
Sicchè abbiamo che $x\in A$ e $f^{*}$ non è continua in $x$$\Rightarrow$$x\in A$
e $f$ non è continua in $x$ (perchè in $A$ $f^{*}=f$)$\Rightarrow x\in\Delta_{f}$.
Dunque $\Delta_{f^{*}}\subset\Delta_{f}$ che è trascurabile per ipotesi$\Rightarrow\Delta_{f^{*}}$
è trascurabile.
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Il fatto è, che se questo ragionamento fosse corretto, non si capisce
a cosa serva l'ipotesi che $Fr(A)$ sia trascurabile!
Invece il mio prof procedeva in un modo leggermente diverso (ricopio
testualmente):
-----------------------------------------------------------------------
Sia $x\in\Delta_{f^{*}}\Rightarrow$ $f^{*}$ non è continua in $x\Rightarrow x\notin C(A)$
(perchè in $C(A)$ la $f*$ vale sempre $0$ e quindi è continua).
$\Rightarrow x\in\overline{A}=A\cup F_{r}(A)$.
Se poi $x\in A$ avremmo che $\Rightarrow$$x\in A$ e $f$ non
è continua in $x$ (perchè in $A$ $f^{*}=f$)$\Rightarrow x\in\Delta_{f}$.
Dunque $\Delta_{f^{*}}\subset\Delta_{f}\cup F_{r}(A)$ che è trascurabile
perchè unione di trascurabili$\Rightarrow\Delta_{f^{*}}$ è trascurabile.
Dove sbaglio?
EDIT: ho modificato le ipotesi secondo l'osservazione di Vicious Goblin.
Scusa, una domanda al volo: il tuo prof è per caso Francesco Altomare?
P.S.: No, te lo chiedo perché io studiai questi argomenti con lui. Se è il tuo professore allora potrebbe valere la pena di disseppellire i miei appunti.
P.S.: No, te lo chiedo perché io studiai questi argomenti con lui. Se è il tuo professore allora potrebbe valere la pena di disseppellire i miei appunti.
Sì, esattamente!
PS: io non ho potuto seguire direttamente le sue lezioni, quindi ho studiato da appunti di altri; e dunque molto probabile che in questi passaggi, qualche dato sia stato perso
PS: io non ho potuto seguire direttamente le sue lezioni, quindi ho studiato da appunti di altri; e dunque molto probabile che in questi passaggi, qualche dato sia stato perso
OT
Un peccato. Se dovessi scegliere il curriculum giusto non ti perdere le lezioni di Analisi Superiore 1 sempre con lui.
Non è il mio settore, ma quel corso (io l'ho seguito due o tre anni fa) è veramente molto bello!
/OT
Comunque questo thread lo vedo meglio in Analisi. Se non avete niente in contrario, io sposto.
"dark121it":
Sì, esattamente!
PS: io non ho potuto seguire direttamente le sue lezioni, quindi ho studiato da appunti di altri;
Un peccato. Se dovessi scegliere il curriculum giusto non ti perdere le lezioni di Analisi Superiore 1 sempre con lui.
Non è il mio settore, ma quel corso (io l'ho seguito due o tre anni fa) è veramente molto bello!
/OT
Comunque questo thread lo vedo meglio in Analisi. Se non avete niente in contrario, io sposto.
Per me non ci sono problemi.
Mi pare di capire che nell'enunciato del teorema hai scordato $\Delta_f$ trascurabile (altrimenti il teorema è falso). A questo punto chiamiamo $g$ la funzione
messa zero fuori di $A$ (preferisco $g$ per capire meglio la differenza con la funzione di partenza). Devi verificare che $\Delta_g$ è trascurabile. In effetti (come fa il tuo prof.) $\Delta_g\subset\Delta_f\cup F(A)$ - non puoi sperare che $\Delta_g\subset\Delta_f$ dato che nei punti della frontiera la $g$ è quasi sicuramente discontinua
(per esempio se $f(x)=1$ tutti i funti di $F(a)$ sono di discontinuità).
Il problema nel tuo ragionamento si trova nel punto in cui dal sapere che il punto $x$ (di discontinuità per $g$) sta in $A$ deduci che $x\in\Delta_f$. Questo sarebbe
vero se $x$ fosse interno ad $A$, ma nei punti di frontiera possono esserci (come notato sopra) punti in cui $g$ è discontinua ma $f$ è continua.
messa zero fuori di $A$ (preferisco $g$ per capire meglio la differenza con la funzione di partenza). Devi verificare che $\Delta_g$ è trascurabile. In effetti (come fa il tuo prof.) $\Delta_g\subset\Delta_f\cup F(A)$ - non puoi sperare che $\Delta_g\subset\Delta_f$ dato che nei punti della frontiera la $g$ è quasi sicuramente discontinua
(per esempio se $f(x)=1$ tutti i funti di $F(a)$ sono di discontinuità).
Il problema nel tuo ragionamento si trova nel punto in cui dal sapere che il punto $x$ (di discontinuità per $g$) sta in $A$ deduci che $x\in\Delta_f$. Questo sarebbe
vero se $x$ fosse interno ad $A$, ma nei punti di frontiera possono esserci (come notato sopra) punti in cui $g$ è discontinua ma $f$ è continua.
Ok, quindi l'errore "logico'' nelle mie implicazione è nella
riga
$x\in\Delta_{g}\Rightarrow$ $g$ non è continua in $x\Rightarrow x\notin C(A)\Rightarrow x\in A$
che dovrebbe invece essere
$x\in\Delta_{g}\Rightarrow$ $g$ non è continua in $x\Rightarrow x\notin C(A)-F_{r}(A)\Rightarrow x\in A\cup F_{r}(A)$
giusto?
riga
$x\in\Delta_{g}\Rightarrow$ $g$ non è continua in $x\Rightarrow x\notin C(A)\Rightarrow x\in A$
che dovrebbe invece essere
$x\in\Delta_{g}\Rightarrow$ $g$ non è continua in $x\Rightarrow x\notin C(A)-F_{r}(A)\Rightarrow x\in A\cup F_{r}(A)$
giusto?
"dark121it":
Ok, quindi l'errore "logico'' nelle mie implicazione è nella
riga
$x\in\Delta_{g}\Rightarrow$ $g$ non è continua in $x\Rightarrow x\notin C(A)\Rightarrow x\in A$
che dovrebbe invece essere
$x\in\Delta_{g}\Rightarrow$ $g$ non è continua in $x\Rightarrow x\notin C(A)-F_{r}(A)\Rightarrow x\in A\cup F_{r}(A)$
giusto?
Sì se $A$ è aperto. Se no è dopo, quando ricavi che $x\in\Delta_f$
Ti ringrazio molto per la disponibilità! Ora ho capito.
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