Un passaggio misterioso

[Principe2]

nella dimostrazione dell'immersione di Sobolev

$H^{n/2+a}\subsetL^{\infty}$ per $a>0$

nel primo passaggio leggo

$||f||_{L^{\infty}}\le||\bar{f}||_{L^1}$

dove $\bar{f}$ è la trasformata di Fourier di $f$ ...
ma la disuguaglianza non vale al contrario?

[irenze]

Ma tu stai in ambito $L^2$!!!
In questo caso $f$ è l'antitrasformata di $\hat{f}$, e quindi $|f(x)| \leq \int |\hat{f}(\xi)| |e^{i x * \xi}| d\xi = {||f||}_{L^1}$.

[Principe2]

arigrazie!!

p.s. mi rifiuto di fare la dimostrazione che $H^s$ è un'algebra per $s>n/2$!

[irenze]

ti giocherai la lode così!

[Principe2]

spero di non giocarmela prima... sto facendo una corsa folle!

a proposito, ma perchè $lg(lg(1+|x|^2))\inH^1$?

[irenze]

anzitutto sei in dimensione 2, poi devi troncarla con una funzione test in modo da localizzarla intorno a $0$ e ottieni una funzione $H^1$
semplicemente se prendi $f(x) = log(log(1+|x|^2)) * \chi(x)$ dove $\chi$ è una funzione test che vale $1$ intorno all'origine, quella sta in $H^1$
cioè è una funzione $C^1$ che è quadro-sommabile con il suo gradiente (per la sommabilità del gradiente, il pezzo che devi studiare è $2x_j/{log(1+|x|^2)}$, perché $1/{1+|x|^2}$ tende a $1$ in $0$)

[Principe2]

ah si.. che scemo che sono! stavo cercando di verificare la definizione generale
di $H^s$ e mi veniva un casino.. invece qua $s=1$ e devo solo fare una derivata!
grazie comunque!