Un limite facile
Salve ho un paio di limiti molto simili da risolvere. Mi sembra di aver fatto tutto correttamente, ma quando verifico la soluzione con Wolfram...le soluzioni sono invertite.
Dunque:
[tex]\lim x\rightarrow -\infty \sqrt{x^2 -1}(\sqrt{x^2 + k} \pm x); k>0[/tex]
devo calcolare sia il limite con +x che quello con meno x.
Procedo così:
razionalizzo dentro parentesi moltiplicando per [tex]\lim x\rightarrow -\infty \sqrt{x^2 -1}[(\sqrt{x^2 + k} \pm x)\frac{(\sqrt{x^2 + k} \mp x)}{(\sqrt{x^2 + k} \mp x)}][/tex]
e ottengo
[tex]\lim_{x \to -\infty} \sqrt{x^2 -1}[\frac{k}{(\sqrt{x^2 + k} \mp x)}][/tex]
razionalizzo anche l'altro radicale
[tex]\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2-1}{\sqrt{x^2 -1}}[\frac{k}{(\sqrt{x^2 + k} \mp x)}][/tex]
e sia sopra che sotto nei radicali raccolgo x^2 e poi sotto raccolgo la x che esce dal radicale
[tex]\lim_{x \to -\infty} x^2\frac{1 - \frac{1}{x^2}}{x^2\sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}}[\frac{k}{(\sqrt{1 - \frac{k}{x^2}} \mp 1)}][/tex]
Ora, se non sbaglio, semplifico le [tex]x^2[/tex], nel limite dove ho il meno ottengo [tex]\frac{k}{0^+}[/tex] e in quello col più ottengo [tex]\frac{k}{2}[/tex]. (Il limite con il meno 1 è evidentemente quello che inizialmente aveva a numeratore + x dentro la parentesi e viceversa per le razionalizzazioni). Wolfram mi dici esattamente il contrario cioè che
[tex]\lim_{x \to -\infty} \sqrt{x^2 -1}(\sqrt{x^2 + k} - x)=\infty[/tex]
[tex]\lim_{x \to -\infty} \sqrt{x^2 -1}(\sqrt{x^2 + k} + x)=\frac{k}{2}[/tex]
...e non riesco proprio a capire dove sbaglio...
Dunque:
[tex]\lim x\rightarrow -\infty \sqrt{x^2 -1}(\sqrt{x^2 + k} \pm x); k>0[/tex]
devo calcolare sia il limite con +x che quello con meno x.
Procedo così:
razionalizzo dentro parentesi moltiplicando per [tex]\lim x\rightarrow -\infty \sqrt{x^2 -1}[(\sqrt{x^2 + k} \pm x)\frac{(\sqrt{x^2 + k} \mp x)}{(\sqrt{x^2 + k} \mp x)}][/tex]
e ottengo
[tex]\lim_{x \to -\infty} \sqrt{x^2 -1}[\frac{k}{(\sqrt{x^2 + k} \mp x)}][/tex]
razionalizzo anche l'altro radicale
[tex]\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2-1}{\sqrt{x^2 -1}}[\frac{k}{(\sqrt{x^2 + k} \mp x)}][/tex]
e sia sopra che sotto nei radicali raccolgo x^2 e poi sotto raccolgo la x che esce dal radicale
[tex]\lim_{x \to -\infty} x^2\frac{1 - \frac{1}{x^2}}{x^2\sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}}[\frac{k}{(\sqrt{1 - \frac{k}{x^2}} \mp 1)}][/tex]
Ora, se non sbaglio, semplifico le [tex]x^2[/tex], nel limite dove ho il meno ottengo [tex]\frac{k}{0^+}[/tex] e in quello col più ottengo [tex]\frac{k}{2}[/tex]. (Il limite con il meno 1 è evidentemente quello che inizialmente aveva a numeratore + x dentro la parentesi e viceversa per le razionalizzazioni). Wolfram mi dici esattamente il contrario cioè che
[tex]\lim_{x \to -\infty} \sqrt{x^2 -1}(\sqrt{x^2 + k} - x)=\infty[/tex]
[tex]\lim_{x \to -\infty} \sqrt{x^2 -1}(\sqrt{x^2 + k} + x)=\frac{k}{2}[/tex]
...e non riesco proprio a capire dove sbaglio...
Risposte
Ciao!
Metti $x^2$ in evidenza in entrambi i radicandi al denominatore e poi,prima d'associarli,
stà attento sia a come lo esci dal segno di radice che a come riscrivere il |x| che ti salterà fuori:
a quel punto dovresti accorgerti che c'è della sostanza in quel che dici,
ma la forma devi rispettarla un pò di più..
Saluti dal web.
Metti $x^2$ in evidenza in entrambi i radicandi al denominatore e poi,prima d'associarli,
stà attento sia a come lo esci dal segno di radice che a come riscrivere il |x| che ti salterà fuori:
a quel punto dovresti accorgerti che c'è della sostanza in quel che dici,
ma la forma devi rispettarla un pò di più..
Saluti dal web.
Ok, quindi estraggo la |x| e ho il valore assoluto, la x sarà sempre minore di 0 quando faccio il limite per meno infinito, quindi tolgo il limite e scrivo -x, raccogliendo - x nel secondo fattore questo fa si che [tex]\mp1[/tex] si inverta e ora ottengo i risultati corretti.
Grazie^^
Grazie^^
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