Un limite (AI) da formalizzare
Ciao a tutti, sono nuovo e come da mio username vorrei rendere più formale un limite che non sono convinto di come sia risolto in un corso di chimica (quindi contesto più fisico che analitico).
Io mi trovo con la seguente condizione: $1/r$>>$omega/c$ (*)
e ho la formula
$P=k (i omega p_0)/c^2 (1/r-(i omega)/c)e^(-iomega(t-r/c))/r$
(per la verità più complessa ma ho tolto parti costanti poco utili)
Il professore svolge un ragionamento del genere:
(primo passaggio)
$P≈k (i omega p_0)/c^2 e^(-(i (omegat))*e^(i(romega)/c))*1/r^2$
E mi sembra abbia sfruttato la (*) per prendere l'ordine di infinitesimo inferiore 1/r come deve essere. Però caspita speza il limite perché non lavora sulla parte con exp.
(secondo passaggio) lavora sull exp ottenendo sfruttando (*): r piccolo $e^0=1$
$≈k (i omega p_0)/c^2 e^(-(i (omegat)))*1/r^2$
In particolare avrei due dubbi:
1) passare dal primo passaggio a secondo passaggio non è aver "fatto a pezzi il limite", pratica piuttosto pericolosa in genere però qui funziona e non capisco bene perché invece funzioni lavora prima nella parte tra parentesi (primo passaggio) e poi lavora sull'argomento dell'exp (ma solo in un secondo tempo).
2) essendo nei complessi data la presenza di "i", il limite perché funziona come fosse un tipico limite da analisi I?
Non dovrei usare limiti complessi?
Credo di essere un poco confuso. E vorrei capire come si formalizzi matematicamente in modo corretto nei due punti citati. Ringrazio per l'aiuto!
Io mi trovo con la seguente condizione: $1/r$>>$omega/c$ (*)
e ho la formula
$P=k (i omega p_0)/c^2 (1/r-(i omega)/c)e^(-iomega(t-r/c))/r$
(per la verità più complessa ma ho tolto parti costanti poco utili)
Il professore svolge un ragionamento del genere:
(primo passaggio)
$P≈k (i omega p_0)/c^2 e^(-(i (omegat))*e^(i(romega)/c))*1/r^2$
E mi sembra abbia sfruttato la (*) per prendere l'ordine di infinitesimo inferiore 1/r come deve essere. Però caspita speza il limite perché non lavora sulla parte con exp.
(secondo passaggio) lavora sull exp ottenendo sfruttando (*): r piccolo $e^0=1$
$≈k (i omega p_0)/c^2 e^(-(i (omegat)))*1/r^2$
In particolare avrei due dubbi:
1) passare dal primo passaggio a secondo passaggio non è aver "fatto a pezzi il limite", pratica piuttosto pericolosa in genere però qui funziona e non capisco bene perché invece funzioni lavora prima nella parte tra parentesi (primo passaggio) e poi lavora sull'argomento dell'exp (ma solo in un secondo tempo).
2) essendo nei complessi data la presenza di "i", il limite perché funziona come fosse un tipico limite da analisi I?
Non dovrei usare limiti complessi?
Credo di essere un poco confuso. E vorrei capire come si formalizzi matematicamente in modo corretto nei due punti citati. Ringrazio per l'aiuto!
Risposte
"il_formalizzatore":
Secondo quello che dici f dovrebbe per forza essere qualcosa del tipo $ f(z)=u(z)+v(z)$, ad esempio.
Mai scritta una cosa del genere. Rileggiti attentamente la definizione che hai dato tu stesso, da me rivista e corretta. Certo che si può scrivere $w = f(z) = u(x,y) + iv(x,y) $, te l'ho scritto esplicitamente. Il fatto è che continui a confondere il dominio $A$ della funzione, e $z \in A \subseteq \CC $, col suo codominio $B$, e $f(z) = w \in B \subseteq \CC$
"il_formalizzatore":
la definizione invece a me pare permettere di spezzare proprio l'argomento di f (cioè z) in x e y e operarvi separatamente.
Non la definizione di funzione complessa di variabile complessa $z$: se operi su $x$ e $y$ separatamente avrai una funzione da $D \subseteq \RR^2 $ a valori in $B \subseteq \CC$, $f : D \rightarrow B$, si torna a quanto era già stato detto per la funzione $P$.
Scusa una domanda @pilloeffe, ma credo di essere caduto in una incomprensione nei discorsi che fate.
Se ho ben capito il tuo discorso dici che $f(z)=f(x+iy)=3x+i7yx$ definita così in modo esplicito (come si sul dire) NON è una funzione da C in C?
Questa cosa mi lascia un po' interdetto nel senso che a me invece lo sembra, rispettando la definizione:
Mi sembra infatti che in questi due quote:
Dici che non è possibile?
Cioè mi sembra che stai dicendo, correggimi se sbaglio: data una $f(z)$ posso scriverla come $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$, ma data una $u(x,y)+iv(x,y)$ non è detto che sia una $f(z)$ con $z=x+iy$?
Scusatemi per essermi inserito nel vostro discorso ma ci sono capitato e dato che sto studiando queste cose ho bisogno di un aiuto.
Se ho ben capito il tuo discorso dici che $f(z)=f(x+iy)=3x+i7yx$ definita così in modo esplicito (come si sul dire) NON è una funzione da C in C?
Questa cosa mi lascia un po' interdetto nel senso che a me invece lo sembra, rispettando la definizione:
La definizione corretta (a parte qualche ripetizione) l'hai scritta tu stesso poco dopo, te la riporto per bene:
Una funzione $f$ della variabile complessa $z$, che indicheremo con $f(z)$, corrisponde ad una legge $f: A \rightarrow B $ che associa in modo univoco ad un punto $z$ di un sottoinsieme $A$ del piano complesso $\CC$ (il dominio della funzione, cioè $A \subseteq \CC$), un punto $w$ che può considerarsi appartenere ad un sottoinsieme $B$ di un secondo piano complesso $\CC$ che costituisce il codominio della funzione. Esplicitando la variabile $z=x+iy$ dentro l'espressione della funzione complessa $f(z)$ è possibile scrivere l'espressione della funzione complessa nella forma $f(z)= w = u(x,y)+iv(x,y) $
Mi sembra infatti che in questi due quote:
"pilloeffe":
prova a scrivere $f =3x+i7yx$ come $f(z) $ ove $z = x + iy$ se ci riesci, è possibile: potrebbe essere qualcosa del tipo $f(z) = \text{Re}(z)[3 +7i\text{Im}(z)] $, come vedi molto diversa da quella che hai tu...
"pilloeffe":
Puoi vederla come $f(x, y): \RR^2 \rightarrow \CC $ senz'altro, infatti $a = a(x, y) = 3x $ e $b = b(x, y) = 7xy $;
Come $f(x + iy) = f(z) $ mi fai vedere in che modo? Si potrebbe fare se avessi una funzione tipo $g(x + iy) = 7x + 7iy $: in questo caso si potrebbe scrivere $g(z) = 7z $
Dici che non è possibile?
Cioè mi sembra che stai dicendo, correggimi se sbaglio: data una $f(z)$ posso scriverla come $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$, ma data una $u(x,y)+iv(x,y)$ non è detto che sia una $f(z)$ con $z=x+iy$?
Scusatemi per essermi inserito nel vostro discorso ma ci sono capitato e dato che sto studiando queste cose ho bisogno di un aiuto.
Ciao siffunziona,
Proverò ad essere il più chiaro possibile.
La funzione $f(x, y) = 3x+i7yx = u(x, y) + i v(x, y) = w \in CC$ è una funzione $f : \RR^2 \rightarrow \CC $
Se la stessa funzione mi viene assegnata come $f(z) = \text{Re}(z)[3 +7i\text{Im}(z)] = w \in \CC$, allora questa è una funzione $f : \CC \rightarrow \CC $
In altre parole dipende dal modo in cui viene assegnata la definizione della funzione: nel caso specifico dell'OP è evidente che siamo nel primo caso, perché non compare da nessuna parte $z \in A \subseteq \CC $ e neanche viene richiesto da nessuna parte di ridefinire la funzione assegnata scrivendola in termini della variabile complessa $z$
Proverò ad essere il più chiaro possibile.
La funzione $f(x, y) = 3x+i7yx = u(x, y) + i v(x, y) = w \in CC$ è una funzione $f : \RR^2 \rightarrow \CC $
Se la stessa funzione mi viene assegnata come $f(z) = \text{Re}(z)[3 +7i\text{Im}(z)] = w \in \CC$, allora questa è una funzione $f : \CC \rightarrow \CC $
In altre parole dipende dal modo in cui viene assegnata la definizione della funzione: nel caso specifico dell'OP è evidente che siamo nel primo caso, perché non compare da nessuna parte $z \in A \subseteq \CC $ e neanche viene richiesto da nessuna parte di ridefinire la funzione assegnata scrivendola in termini della variabile complessa $z$
Ciao Pilloeffe e grazie per avermi dato retta 
, dato che ho visto che la discussione era un po' lunga non ero sicuro avrei ricevuto risposta.
Certo il caso dell' OP mi è chiaro, ma io sto studiando le funzioni complesse quindi ero più interessato al caso generale f(z) non tanto quella P, cioè l'evoluzione del vostro discorso.
Per tornare a bomba al discorso; questa come dici è ovviamente una funzione da C in C: $f(z)=Re(z)[3+7iIm(z)]=w∈C$, però da definizione delle funzioni da C in C mi pare di capire che sono anche "scrivibili" come
$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ quindi in realtà quello che volevo chiedere era: ma $u(x,y)+iv(x,y)$ non è una funzione da C in C? Credo che a mandarmi nel pallone sia la definizione a questo punto, quella che hai scritto e ho quotato.
Perché nel quote del mio messaggio prima del tuo mi pareva di capire di si, quindi è questo che mi lascia confuso.
PS:
per evitare fraintendimenti la riposto e intendo questa
, dato che ho visto che la discussione era un po' lunga non ero sicuro avrei ricevuto risposta.Certo il caso dell' OP mi è chiaro, ma io sto studiando le funzioni complesse quindi ero più interessato al caso generale f(z) non tanto quella P, cioè l'evoluzione del vostro discorso.
Per tornare a bomba al discorso; questa come dici è ovviamente una funzione da C in C: $f(z)=Re(z)[3+7iIm(z)]=w∈C$, però da definizione delle funzioni da C in C mi pare di capire che sono anche "scrivibili" come
$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ quindi in realtà quello che volevo chiedere era: ma $u(x,y)+iv(x,y)$ non è una funzione da C in C? Credo che a mandarmi nel pallone sia la definizione a questo punto, quella che hai scritto e ho quotato.
Perché nel quote del mio messaggio prima del tuo mi pareva di capire di si, quindi è questo che mi lascia confuso.
PS:
per evitare fraintendimenti la riposto e intendo questa
La definizione corretta (a parte qualche ripetizione) l'hai scritta tu stesso poco dopo, te la riporto per bene:
Una funzione $f$ della variabile complessa $z$, che indicheremo con $f(z)$, corrisponde ad una legge $f: A \rightarrow B $ che associa in modo univoco ad un punto $z$ di un sottoinsieme $A$ del piano complesso $\CC$ (il dominio della funzione, cioè $A \subseteq \CC$), un punto $w$ che può considerarsi appartenere ad un sottoinsieme $B$ di un secondo piano complesso $\CC$ che costituisce il codominio della funzione. Esplicitando la variabile $z=x+iy$ dentro l'espressione della funzione complessa $f(z)$ è possibile scrivere l'espressione della funzione complessa nella forma $f(z)= w = u(x,y)+iv(x,y) $
Certo che si può scrivere $f(z) = u(x,y)+iv(x,y) = w \in B \subseteq \CC $, ma attenzione a non confondere il dominio col codominio $B$: fra l'altro a rigore per assegnare una funzione si devono specificare il dominio $D$ e la legge $f$. Se invece una funzione è definita assegnando la sola legge $f$, quello che usualmente si intende è che il suo sia il dominio naturale, richiamato poi brevemente dominio, che è il più grande sottoinsieme $A$ di $\CC $ tale che $\forall z \in A \subseteq \CC $ esiste il numero complesso $w = f(z) \in B \subseteq \CC$, che, come peraltro tutti i numeri complessi, può certamente essere scritto in termini della sua parte reale $u(x,y) = \text{Re}[w] $ e della sua parte immaginaria $ v(x,y) = \text{Im}[w] $
Non vorrei esser stato poco chiaro ma io intendevo:
Dominio $A ⊆ CC$,
Codominio $B ⊆ CC$
siano gli elementi $z in A$ e $w in B$
1)
affermo e dico: questa funzione f:$A ⊆ CC -> B ⊆ CC$ in forma esplicita: $f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)=3x+i7yx=w∈B⊆C$
è una funzione complessa da C in C (nel senso da complesso a complesso).
2)
Però nel tuo discorso mi sembrava di capire che dicevi di no, solo ad esempio $(z)=Re(z)[3+7iIm(z)]=w∈C$ lo è.
A me sembra che la prima scrittura sia proprio la definizione di funzione complessa del quote che riportato, mentre nei discorsi che hai fatto con l'OP a me sembra che dici che non era una funzione complessa (cioè da valori complessi in complessi) mentre a me par proprio di si.
E non ho capito perché affermavi di no.
Dominio $A ⊆ CC$,
Codominio $B ⊆ CC$
siano gli elementi $z in A$ e $w in B$
1)
affermo e dico: questa funzione f:$A ⊆ CC -> B ⊆ CC$ in forma esplicita: $f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)=3x+i7yx=w∈B⊆C$
è una funzione complessa da C in C (nel senso da complesso a complesso).
2)
Però nel tuo discorso mi sembrava di capire che dicevi di no, solo ad esempio $(z)=Re(z)[3+7iIm(z)]=w∈C$ lo è.
A me sembra che la prima scrittura sia proprio la definizione di funzione complessa del quote che riportato, mentre nei discorsi che hai fatto con l'OP a me sembra che dici che non era una funzione complessa (cioè da valori complessi in complessi) mentre a me par proprio di si.
E non ho capito perché affermavi di no.
Dipende da come è assegnata la funzione, vediamo i vari casi possibili:
1) se mi si assegna la funzione tramite la sua legge $f$ ed il suo dominio $A\subseteq \CC $, con $z \in A$, e poi mi si scrive $f = u(x,y) + iv(x,y) = 3x+i7yx = w \in B \subseteq \CC $ (come hai fatto tu), io anche se non vedo scritta esplicitamente la variabile complessa $z$ da nessuna parte nella legge assegnata, devo andare sulla fiducia e crederci...
2) se invece mi si assegna la funzione tramite la sua legge $f = u(x,y) + iv(x,y) = 3x+i7yx = w \in B \subseteq \CC $ senza specificare esplicitamente il dominio (come nel caso dell'OP), io non vedo scritta la variabile complessa $z$ da nessuna parte e per me quella è una funzione $f: D\subseteq \RR^2 \rightarrow B \subseteq \CC $
3) se infine mi si assegna la funzione tramite la sua legge $ f(z) = \text{Re}(z)[3 +7i\text{Im}(z)] = w \in B \subseteq \CC $ senza specificare esplicitamente il dominio, ma io vedo scritta la variabile complessa $z$ nella legge assegnata, per me quella è una funzione $f: A\subseteq \CC \rightarrow B \subseteq \CC $
1) se mi si assegna la funzione tramite la sua legge $f$ ed il suo dominio $A\subseteq \CC $, con $z \in A$, e poi mi si scrive $f = u(x,y) + iv(x,y) = 3x+i7yx = w \in B \subseteq \CC $ (come hai fatto tu), io anche se non vedo scritta esplicitamente la variabile complessa $z$ da nessuna parte nella legge assegnata, devo andare sulla fiducia e crederci...
2) se invece mi si assegna la funzione tramite la sua legge $f = u(x,y) + iv(x,y) = 3x+i7yx = w \in B \subseteq \CC $ senza specificare esplicitamente il dominio (come nel caso dell'OP), io non vedo scritta la variabile complessa $z$ da nessuna parte e per me quella è una funzione $f: D\subseteq \RR^2 \rightarrow B \subseteq \CC $
3) se infine mi si assegna la funzione tramite la sua legge $ f(z) = \text{Re}(z)[3 +7i\text{Im}(z)] = w \in B \subseteq \CC $ senza specificare esplicitamente il dominio, ma io vedo scritta la variabile complessa $z$ nella legge assegnata, per me quella è una funzione $f: A\subseteq \CC \rightarrow B \subseteq \CC $
Ah ecco il misunderstanding. Ora mi è chiaro.
io in realtà immaginavo già di pormi nel caso 1) e non specificavo il dominio dandolo per scontato (cioè sottointendevo di voler essere in quel caso) e non capivo perché dicessi che aveva dominio in un sottoinsieme di $RR^2$ e non di $CC$. Ho capito ora la mia poca formalità e l'importanza di specificare!
Per il resto, tutto questo discorso mi ha fatto sorgere però una curiosità. Vediamo se riesco a spiegarmi in tal caso:
Poniamoci nel caso 1) cioè che vado da $f:A->B$ con $A$ e $B$ sottoinsiemi di $CC$.
La mia domanda è questa, è sempre possibile partendo da una scrittura $f=u(x,y)+iv(x,y)$ ottenere una $f(z)$ con esplicitata zeta? E al contrario partendo da una $f(z)$ è sempre possibile arrivare a una riscrittura $f=u(x,y)+iv(x,y)$.
Per farla breve: posso scrivere $f=u(x,y)+iv(x,y)$ <=> posso scrivere una $f(z)$ (cioè come funzione esplicitamente operante su z)
(Dove con f(z) intendo qualcosa di esplicito come la forma $f(z)=Re(z)[3+7iIm(z)]$ per intenderci)
Di questo verso $f=u(x,y)+iv(x,y)$ <= $f(z)$ sono più propenso a dire di si, di questo $f=u(x,y)+iv(x,y)$ => $f(z)$ un po' meno.
Tu che ne pensi?
io in realtà immaginavo già di pormi nel caso 1) e non specificavo il dominio dandolo per scontato (cioè sottointendevo di voler essere in quel caso) e non capivo perché dicessi che aveva dominio in un sottoinsieme di $RR^2$ e non di $CC$. Ho capito ora la mia poca formalità e l'importanza di specificare!
Per il resto, tutto questo discorso mi ha fatto sorgere però una curiosità. Vediamo se riesco a spiegarmi in tal caso:
Poniamoci nel caso 1) cioè che vado da $f:A->B$ con $A$ e $B$ sottoinsiemi di $CC$.
La mia domanda è questa, è sempre possibile partendo da una scrittura $f=u(x,y)+iv(x,y)$ ottenere una $f(z)$ con esplicitata zeta? E al contrario partendo da una $f(z)$ è sempre possibile arrivare a una riscrittura $f=u(x,y)+iv(x,y)$.
Per farla breve: posso scrivere $f=u(x,y)+iv(x,y)$ <=> posso scrivere una $f(z)$ (cioè come funzione esplicitamente operante su z)
(Dove con f(z) intendo qualcosa di esplicito come la forma $f(z)=Re(z)[3+7iIm(z)]$ per intenderci)
Di questo verso $f=u(x,y)+iv(x,y)$ <= $f(z)$ sono più propenso a dire di si, di questo $f=u(x,y)+iv(x,y)$ => $f(z)$ un po' meno.
Tu che ne pensi?
Beh, penso proprio di sì. Il primo caso sicuramente, dato che $f(z) = w \in \CC $ e qualsiasi numero complesso si può scrivere in termini della sua parte reale e della sua parte immaginaria. Nell'altro caso sì se puoi usare $x = \text{Re}[z] $ e $y = \text{Im}[z] $
Grazie, direi che ho concluso i miei dubbi!
E anche se con un po' di anticipo: buone (prossime future) feste!
E anche se con un po' di anticipo: buone (prossime future) feste!
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