Un limite (AI) da formalizzare
Ciao a tutti, sono nuovo e come da mio username vorrei rendere più formale un limite che non sono convinto di come sia risolto in un corso di chimica (quindi contesto più fisico che analitico).
Io mi trovo con la seguente condizione: $1/r$>>$omega/c$ (*)
e ho la formula
$P=k (i omega p_0)/c^2 (1/r-(i omega)/c)e^(-iomega(t-r/c))/r$
(per la verità più complessa ma ho tolto parti costanti poco utili)
Il professore svolge un ragionamento del genere:
(primo passaggio)
$P≈k (i omega p_0)/c^2 e^(-(i (omegat))*e^(i(romega)/c))*1/r^2$
E mi sembra abbia sfruttato la (*) per prendere l'ordine di infinitesimo inferiore 1/r come deve essere. Però caspita speza il limite perché non lavora sulla parte con exp.
(secondo passaggio) lavora sull exp ottenendo sfruttando (*): r piccolo $e^0=1$
$≈k (i omega p_0)/c^2 e^(-(i (omegat)))*1/r^2$
In particolare avrei due dubbi:
1) passare dal primo passaggio a secondo passaggio non è aver "fatto a pezzi il limite", pratica piuttosto pericolosa in genere però qui funziona e non capisco bene perché invece funzioni lavora prima nella parte tra parentesi (primo passaggio) e poi lavora sull'argomento dell'exp (ma solo in un secondo tempo).
2) essendo nei complessi data la presenza di "i", il limite perché funziona come fosse un tipico limite da analisi I?
Non dovrei usare limiti complessi?
Credo di essere un poco confuso. E vorrei capire come si formalizzi matematicamente in modo corretto nei due punti citati. Ringrazio per l'aiuto!
Io mi trovo con la seguente condizione: $1/r$>>$omega/c$ (*)
e ho la formula
$P=k (i omega p_0)/c^2 (1/r-(i omega)/c)e^(-iomega(t-r/c))/r$
(per la verità più complessa ma ho tolto parti costanti poco utili)
Il professore svolge un ragionamento del genere:
(primo passaggio)
$P≈k (i omega p_0)/c^2 e^(-(i (omegat))*e^(i(romega)/c))*1/r^2$
E mi sembra abbia sfruttato la (*) per prendere l'ordine di infinitesimo inferiore 1/r come deve essere. Però caspita speza il limite perché non lavora sulla parte con exp.
(secondo passaggio) lavora sull exp ottenendo sfruttando (*): r piccolo $e^0=1$
$≈k (i omega p_0)/c^2 e^(-(i (omegat)))*1/r^2$
In particolare avrei due dubbi:
1) passare dal primo passaggio a secondo passaggio non è aver "fatto a pezzi il limite", pratica piuttosto pericolosa in genere però qui funziona e non capisco bene perché invece funzioni lavora prima nella parte tra parentesi (primo passaggio) e poi lavora sull'argomento dell'exp (ma solo in un secondo tempo).
2) essendo nei complessi data la presenza di "i", il limite perché funziona come fosse un tipico limite da analisi I?
Non dovrei usare limiti complessi?
Credo di essere un poco confuso. E vorrei capire come si formalizzi matematicamente in modo corretto nei due punti citati. Ringrazio per l'aiuto!
Risposte
Ciao il_formalizzatore,
Benvenuto sul forum!
Onestamente non capisco perché parli di limite; qui io non vedo alcun limite, ma solo [tex]\frac{1}{r} \gg \frac{\omega}{c} \implies \frac{\omega r}{c} \ll 1[/tex] e l'uguaglianza seguente:
$P=k (i \omega p_0)/c^2 (1/r-(i omega)/c)e^(-i\omega(t-r/c))/r = k (i \omega p_0)/c^2 e^(-i\omega(t-r/c))/r^2 +(k \omega^2 p_0)/c^3 e^(-i\omega(t-r/c))/r = $
$ = k (i \omega p_0)/c^2 e^(-i(\omega t - (\omega r)/c))/r^2 +(k \omega^2 p_0)/c^3 e^(-i(\omega t-(\omega r)/c))/r = k (i \omega p_0)/c^2 e^(-i(\omega t - (\omega r)/c))/r^2(1 - i (\omega r)/c) $
In queste condizioni il secondo termine nelle ultime due parentesi tonde è trascurabile rispetto al primo, sicché si ha proprio
$ P ~~ k (i omega p_0)/c^2 e^(-i\omega t)/r^2 $
Benvenuto sul forum!
Onestamente non capisco perché parli di limite; qui io non vedo alcun limite, ma solo [tex]\frac{1}{r} \gg \frac{\omega}{c} \implies \frac{\omega r}{c} \ll 1[/tex] e l'uguaglianza seguente:
$P=k (i \omega p_0)/c^2 (1/r-(i omega)/c)e^(-i\omega(t-r/c))/r = k (i \omega p_0)/c^2 e^(-i\omega(t-r/c))/r^2 +(k \omega^2 p_0)/c^3 e^(-i\omega(t-r/c))/r = $
$ = k (i \omega p_0)/c^2 e^(-i(\omega t - (\omega r)/c))/r^2 +(k \omega^2 p_0)/c^3 e^(-i(\omega t-(\omega r)/c))/r = k (i \omega p_0)/c^2 e^(-i(\omega t - (\omega r)/c))/r^2(1 - i (\omega r)/c) $
In queste condizioni il secondo termine nelle ultime due parentesi tonde è trascurabile rispetto al primo, sicché si ha proprio
$ P ~~ k (i omega p_0)/c^2 e^(-i\omega t)/r^2 $
Ciaooo 
Parlavo di limite perché nel contesto della spiegazione si faceva tendere r asintoticamente a varie distante (cioè r era variabile) e in un certo limite per distanza->(a un certo)r risultava $\frac{1}{r} \> > \frac{\omega}{c}$.
E quindi mi sembrava di usare un confronto di infinitesimi $[(1/r'-(i omega)/c)]_(r'->r)=[1/(r')(1-((i omega)/c)/(1/r'))]_(r'->r)=[1/(r')]_(r'->r)=1/r$
Messa così secondo te non va bene? Cosa ne pensi della mia idea?
Grazie di tutto e del benvenuto!
Parlavo di limite perché nel contesto della spiegazione si faceva tendere r asintoticamente a varie distante (cioè r era variabile) e in un certo limite per distanza->(a un certo)r risultava $\frac{1}{r} \> > \frac{\omega}{c}$.
E quindi mi sembrava di usare un confronto di infinitesimi $[(1/r'-(i omega)/c)]_(r'->r)=[1/(r')(1-((i omega)/c)/(1/r'))]_(r'->r)=[1/(r')]_(r'->r)=1/r$
Messa così secondo te non va bene? Cosa ne pensi della mia idea?
Grazie di tutto e del benvenuto!
"il_formalizzatore":
E quindi mi sembrava di usare un confronto di infinitesimi
Beh no, qual è la definizione di infinitesimo?
Anche col limite non c'è niente che risulta $0$, semplicemente si ha:
$\lim_{r' \to r}(1/(r') - (i \omega)/c) = \lim_{r' \to r}1/(r')(1 - ((i \omega)/c)/(1/(r'))) = \lim_{r' \to r}1/(r')(1 - (i \omega r')/c) = 1/r (1 - (i \omega r)/c) $
Ora se [tex]\frac{1}{r} \gg \frac{\omega}{c} \implies \frac{\omega r}{c} \ll 1[/tex] il risultato del limite si può approssimare con $1/r $
Da questa
non mi ero in effetti accorto che se $[((i omega)/c)/(1/(r'))]_(r'->r)->0$ non è per via del limite ma per il fatto che $1/r$>>$omega/c$, invece frettolosamente mi ero detto tende a zero è un confronto di infinitesimi come spiegavo nel mio ultimo post. E penso l'errore giustificativo che mi davo era proprio questo. Spero ora concorderai
Mentre per il dubbio (2) quello che riferivo: essendo nei complessi data la presenza di "i", il limite perché funziona come fosse un tipico limite da analisi I? Non dovrei usare limiti complessi?
Perché funziona trattare i come parametro in questo limite r'->r? Cioè dico io faccio tenedere r' a r e così ottengo la relazione voluta $1/r$>>$omega/c$ che mi serve per le semplificazioni apportate sopra.
però, non uso un limite complesso eppure ho numeri complessi.
$[(1/r'-(i omega)/c)]_(r'->r)=[1/(r')(1-((i omega)/c)/(1/r'))]_(r'->r)=[1/(r')]_(r'->r)=1/r$
non mi ero in effetti accorto che se $[((i omega)/c)/(1/(r'))]_(r'->r)->0$ non è per via del limite ma per il fatto che $1/r$>>$omega/c$, invece frettolosamente mi ero detto tende a zero è un confronto di infinitesimi come spiegavo nel mio ultimo post. E penso l'errore giustificativo che mi davo era proprio questo. Spero ora concorderai
Mentre per il dubbio (2) quello che riferivo: essendo nei complessi data la presenza di "i", il limite perché funziona come fosse un tipico limite da analisi I? Non dovrei usare limiti complessi?
Perché funziona trattare i come parametro in questo limite r'->r? Cioè dico io faccio tenedere r' a r e così ottengo la relazione voluta $1/r$>>$omega/c$ che mi serve per le semplificazioni apportate sopra.
però, non uso un limite complesso eppure ho numeri complessi.
"il_formalizzatore":
però, non uso un limite complesso eppure ho numeri complessi.
Non capisco perché ti ostini a parlare di limiti complessi quando non se ne vede l'ombra...
Hai l'uguaglianza seguente:
$ P = k (i \omega p_0)/c^2 e^(-i(\omega t - (\omega r)/c))/r^2(1 - i (\omega r)/c) $
Ad esponente della $e$ c'è il numero reale $(\omega t - (\omega r)/c) $: se [tex]\frac{1}{r} \gg \frac{\omega}{c} \implies \frac{\omega r}{c} \ll 1[/tex] il secondo numero $(\omega r)/c$ diventa trascurabile (vicino a $0$) rispetto al primo $\omega t $, sicché si ha $e^(-i \omega t) $. Punto. Dov'è il limite complesso? Se [tex]\frac{1}{r} \gg \frac{\omega}{c} \implies \frac{\omega r}{c} \ll 1[/tex] nel numero complesso $(1 - i (\omega r)/c)$ la parte complessa diventa trascurabile (vicina a $0$) rispetto a $1$ ed il numero complesso diventa reale ed uguale a $1$. Anche qui non c'è alcun limite complesso.
No, in questo caso intendevo dire che il prof assume r'->r (come limite), e in questo limite vale $1/r$ >> $omega/c$. In questo senso limite perché faccio tendere r' a r, r che ha quella caratteristica $1/r$ >> $omega/c$. Ma questo avviene nel limite indicato di r' a r.
E mi chiedevo perché si può usare un limite reale se ho "i". Quidni nel completto un ... complesso
E mi chiedevo perché si può usare un limite reale se ho "i". Quidni nel completto un ... complesso
"il_formalizzatore":
No, in questo caso intendevo dire che il prof assume r'->r (come limite)
Scusa, potresti scrivere esattamente quello che ha scritto il tuo professore? Perché prima scrivi una cosa e poi scrivi che ne intendevi dire un'altra: qual è la versione ufficiale? Anche se $r' \to r $, comunque l'approssimazione [tex]\frac{1}{r} \gg \frac{\omega}{c} \implies \frac{\omega r}{c} \ll 1[/tex] viene usata dopo, sul risultato del passaggio al limite (se esiste, perché comunque non compare in ciò che hai scritto).
"il_formalizzatore":
E mi chiedevo perché si può usare un limite reale se ho "i"
Non è che "si può usare un limite reale": il limite, se c'è, è reale. Se scrivi $\lim_{r' \to r} P' = P$, $r' $ e $r$ sono reali, anche perché altrimenti il rapporto $\frac{\omega r}{c}$ non sarebbe un numero reale molto minore di $1$. Il fatto che ci sia $i$ è irrilevante: significa solamente che avrai da calcolare il limite reale di una funzione $P' = P'(\omega, p_0, r', c, t)$ di variabili reali a valori in $\CC $, ma il limite (che comunque ripeto non compare da nessuna parte) se esiste è reale e l'approssimazione [tex]\frac{1}{r} \gg \frac{\omega}{c} \implies \frac{\omega r}{c} \ll 1[/tex] viene usata dopo che è avvenuto il passaggio al limite, sul suo risultato $ P \in \CC $. Infatti è su tale risultato che viene usata l'approssimazione [tex]\frac{1}{r} \gg \frac{\omega}{c} \implies \frac{\omega r}{c} \ll 1[/tex] sicché poi si ottiene $ P ~~ k (i omega p_0)/c^2 e^(-i\omega t)/r^2 \in \CC $
Ciao si hai ragiono sono stato un po' confuso ma perché ero di mio confuso.
Il punto è che il prof giungeva a questo risultato:
$P=k (i omega p_0)/c^2 (1/(r')-(i omega)/c)e^(-iomega(t-(r')/c))/(r')$
e poi a parole ha semplicemente detto "nel limite in cui la relazione tende a r...", quindi io l'ho inteso come lim r'->r, cioè facciamo tendere r' a un determinato r per cui valga $1/r≫ω/c$. Per questo parlavo di limite.
Mi è ora chiaro dopo la tua spiegazione che prima fa il limite, mi porto in r e poi applico le considerazioni che hai fatto.
Mentre erroneamente all'inizio intendevo una cosa del genere:
Insomma avevo mischiato il concetto di limite nel caso in essere.
Però risolto questo che ho capito non riesco ancora bene a capire perché sia un limite reale. Nel senso: io ho n P che ripende da $i(omegar')/c$, diciamo un $P(i(omegar')/c)$, quindi io faccio $lim_(r'->r)P(i(omegar')/c)$ non opero un limite su una parte con "i". E' questo che mi confonde. Mi sfugge perché non sia funzione di $(i(omegar')/c)$
Il punto è che il prof giungeva a questo risultato:
$P=k (i omega p_0)/c^2 (1/(r')-(i omega)/c)e^(-iomega(t-(r')/c))/(r')$
e poi a parole ha semplicemente detto "nel limite in cui la relazione tende a r...", quindi io l'ho inteso come lim r'->r, cioè facciamo tendere r' a un determinato r per cui valga $1/r≫ω/c$. Per questo parlavo di limite.
Mi è ora chiaro dopo la tua spiegazione che prima fa il limite, mi porto in r e poi applico le considerazioni che hai fatto.
Mentre erroneamente all'inizio intendevo una cosa del genere:
E quindi mi sembrava di usare un confronto di infinitesimi $[(1/r'-(i omega)/c)]_(r'->r)=[1/(r')(1-((i omega)/c)/(1/r'))]_(r'->r)=[1/(r')]_(r'->r)=1/r$
Insomma avevo mischiato il concetto di limite nel caso in essere.
Però risolto questo che ho capito non riesco ancora bene a capire perché sia un limite reale. Nel senso: io ho n P che ripende da $i(omegar')/c$, diciamo un $P(i(omegar')/c)$, quindi io faccio $lim_(r'->r)P(i(omegar')/c)$ non opero un limite su una parte con "i". E' questo che mi confonde. Mi sfugge perché non sia funzione di $(i(omegar')/c)$
Rileggi con maggiore attenzione il mio post precedente. $P' = k (i \omega p_0)/c^2 (1/(r')-(i omega)/c)e^(-iomega(t-(r')/c))/(r') = k (i \omega p_0)/c^2 e^(-i(\omegat- (\omega r')/c))/((r')^2)(1 - i (\omega r')/c) $ è una funzione delle cinque variabili reali $\omega$, $p_0$, $r'$, $c$ e $t$ a valori complessi: $P' : \RR_{\ge 0}^5 \rightarrow \CC $
$i$ non è una variabile, ma una costante. Se anche fai il $\lim_{r' \to r} P' = P $, l'espressione del risultato $P$ è la stessa di $P'$, a meno della sostituzione di $r'$ con $r$.
$i$ non è una variabile, ma una costante. Se anche fai il $\lim_{r' \to r} P' = P $, l'espressione del risultato $P$ è la stessa di $P'$, a meno della sostituzione di $r'$ con $r$.
No,no ma il tuo post mi è chiaro, nel senso che ho capito che dicevi che era P'(ω,p0,r',c,t) cioè non funzione di i.
In realtà il mio post voleva dire, perché non è invece $P:CC->CC$, voglio dire io so che $P=a+ib$[nota]quindi ad esempio se $x in RR$ ho $P(x)=a+ib$[/nota] (cioè posso scrivere il "risultato" della funzione P come un complesso a+ib), però chi mi dice che l'argomento di P non sia un $P(x+iy)=a+ib$. Non so se ho spiegato meglio la mia (sciocca) domanda.
In realtà il mio post voleva dire, perché non è invece $P:CC->CC$, voglio dire io so che $P=a+ib$[nota]quindi ad esempio se $x in RR$ ho $P(x)=a+ib$[/nota] (cioè posso scrivere il "risultato" della funzione P come un complesso a+ib), però chi mi dice che l'argomento di P non sia un $P(x+iy)=a+ib$. Non so se ho spiegato meglio la mia (sciocca) domanda.
"il_formalizzatore":
[...] chi mi dice che l'argomento di $P$ non sia un $P(x+iy)=a+ib$. Non so se ho spiegato meglio la mia (sciocca) domanda.
No, non l'hai spiegata proprio...
La funzione $P$ ce l'hai scritta e ben definita, non è che devi tirare ad indovinarla: è una funzione di 5 variabili reali e positive a valori in $\CC $. Se poi hai un'altra funzione $Q$: $\CC \rightarrow \CC$ ed un altro limite per $z \to z_0 $ ovviamente le cose possono essere diverse...
Non ho ancora studiato analisi complessa quindi probabilmente il dubbio scemo nasce da lì.
Però non riesco a capire perché posso affermare con certezza che la funzione va da R a C. CIoè il mio dubbio è il seguente: io ho una "f(di qualcosa)=a+ib" fin qui ci sono.
Ora io mi dico perché non potrebbe essere $a(x,y)+ib(x,y)$? Mi sfugge in pratica perché $f$ non possa essere $f(x+iy)$ nel nostro caso.
Perché io so solo che l'immagine di f è $a+ib$ di fatto e non capisco cosa ci dica che a e b non possano essere funzioni di parte reale e immaginaria di un numero complesso, ossia in generale perché non sia una funzione da C in C.
Però non riesco a capire perché posso affermare con certezza che la funzione va da R a C. CIoè il mio dubbio è il seguente: io ho una "f(di qualcosa)=a+ib" fin qui ci sono.
Ora io mi dico perché non potrebbe essere $a(x,y)+ib(x,y)$? Mi sfugge in pratica perché $f$ non possa essere $f(x+iy)$ nel nostro caso.
Perché io so solo che l'immagine di f è $a+ib$ di fatto e non capisco cosa ci dica che a e b non possano essere funzioni di parte reale e immaginaria di un numero complesso, ossia in generale perché non sia una funzione da C in C.
Ad esempio se ho : $f=3x+i7yx:=a+ib$
- posso vederla come f(x,y)
- oppure come f(x+iy)
Questo era il mio dubbio.
Quindi con la sola definizione esplicita della funzione come capisco se $f=3x+i7yx$ è R->C o C->C in questo mio esempietto nel quote?
"il_formalizzatore":
Però non riesco a capire perché posso affermare con certezza che la funzione va da R a C.
Perché è così, basta che guardi come è definita la funzione $P$:
$P = k (i \omega p_0)/c^2 (1/r -(i \omega)/c)e^(-i\omega(t- r/c))/(r') = k (i \omega p_0)/c^2 e^(-i(\omega t- (\omega r)/c))/(r^2)(1 - i (\omega r)/c) = $
$ = k (i \omega p_0)/c^2 e^(-i(\omega t - (\omega r)/c))/(r^2) + k (\omega^2 p_0)/c^3 e^(-i(\omega t- (\omega r)/c))/r = $
$ = k (i \omega p_0)/(r^2 c^2) [cos(\omega t - (\omega r)/c) - i sin(\omega t - (\omega r)/c)] + k (\omega^2 p_0)/(rc^3) [cos(\omega t - (\omega r)/c) - i sin(\omega t - (\omega r)/c)] = $
$ = k (\omega p_0)/(r^2 c^2) sin(\omega t - (\omega r)/c) + i k(\omega p_0)/(r^2 c^2) cos(\omega t - (\omega r)/c) + k (\omega^2 p_0)/(rc^3) cos(\omega t - (\omega r)/c) - i k (\omega^2 p_0)/(rc^3) sin(\omega t - (\omega r)/c) = $
$ = k (\omega p_0)/(r^2 c^2) sin(\omega t - (\omega r)/c) + k (\omega^2 p_0)/(rc^3) cos(\omega t - (\omega r)/c) + i[k(\omega p_0)/(r^2 c^2) cos(\omega t - (\omega r)/c) - k (\omega^2 p_0)/(rc^3) sin(\omega t - (\omega r)/c)] $
Quindi si ha:
$a = a(\omega, p_0, r, c, t) = k (\omega p_0)/(r^2 c^2) sin(\omega t - (\omega r)/c) + k (\omega^2 p_0)/(rc^3) cos(\omega t - (\omega r)/c) $
$b = b(\omega, p_0, r, c, t) = k(\omega p_0)/(r^2 c^2) cos(\omega t - (\omega r)/c) - k (\omega^2 p_0)/(rc^3) sin(\omega t - (\omega r)/c) $
"il_formalizzatore":
Ora io mi dico perché non potrebbe essere $a(x,y)+ib(x,y)$
Questa non l'ho capita: infatti è così, solo che tu invece di $x$ e $y$ hai le 5 variabili reali che ti ho scritto poc'anzi...
"il_formalizzatore":
Mi sfugge in pratica perché $f$ non possa essere $f(x+iy)$ nel nostro caso.
Perché io so solo che l'immagine di f è $a+ib$ di fatto e non capisco cosa ci dica che a e b non possano essere funzioni di parte reale e immaginaria di un numero complesso, ossia in generale perché non sia una funzione da C in C.
$f(x + iy) $ vorrebbe dire $f(z) $: chi sarebbe $z$ nella funzione $P$ in modo da poter scrivere $P = P(z)$?
"il_formalizzatore":
Ad esempio se ho : $f=3x+i7yx:=a+ib $
- posso vederla come f(x,y)
- oppure come f(x+iy)
Puoi vederla come $f(x, y): \RR^2 \rightarrow \CC $ senz'altro, infatti $a = a(x, y) = 3x $ e $b = b(x, y) = 7xy $;
Come $f(x + iy) = f(z) $ mi fai vedere in che modo? Si potrebbe fare se avessi una funzione tipo $g(x + iy) = 7x + 7iy $: in questo caso si potrebbe scrivere $g(z) = 7z $
Lasciamo un attimo da parte P e concentriamoci solo sulle funzioni complesse.
Da quello che ho capito una funzione complessa è:
Bene, quello che volevo dire io quindi è questo: se io ho una ipotetica $f=3x+i7yx:=x+iy$ dato che la funzione complessa stando alla definizione è una funzione che prende z=x+iy e la manda in $u(x,y)$ per la parte reale e $v(x,y)$ per quella immaginaria allora quando scrivo $f=3x+i7yx$ chi mi dice essere una funzione da R->C del tipo: $f(x,y)=3x+i7yx$? Stando alla definizione potrebbe essere benissimo f(z) intesa appunto come $u(x,y)=3x$ e $v(x,y)=7yx$ cioè C->C: $f(x+iy)=3x+i7yx$
Mi sembra invece che tu dica che $f=3x+i7yx$ sia una funzione da R a C per forza di cose in quanto è vista come $f=u(x,y)+iv(x,y)$ e quindi dicie che è una f(x,y). Ma a me pare che quella sia proprio la definizione di una f:C->C non tanto una f:R->C.
Da quello che ho capito una funzione complessa è:
Una funzione di variabile complessa f ( z ) f(z) corrisponde a una legge che associa in modo univoco a un punto z z di un sottoinsieme del piano complesso, il dominio della funzione, un punto che può considerarsi appartenere a un sottoinsieme di un secondo piano complesso che costituisce il codominio della funzione. Esplicitando la variabile $z = x + i y $ dentro l'espressione della funzione complessa f(z) è possibile scrivere l'espressione della funzione complessa nella forma $f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y )$
Bene, quello che volevo dire io quindi è questo: se io ho una ipotetica $f=3x+i7yx:=x+iy$ dato che la funzione complessa stando alla definizione è una funzione che prende z=x+iy e la manda in $u(x,y)$ per la parte reale e $v(x,y)$ per quella immaginaria allora quando scrivo $f=3x+i7yx$ chi mi dice essere una funzione da R->C del tipo: $f(x,y)=3x+i7yx$? Stando alla definizione potrebbe essere benissimo f(z) intesa appunto come $u(x,y)=3x$ e $v(x,y)=7yx$ cioè C->C: $f(x+iy)=3x+i7yx$
Mi sembra invece che tu dica che $f=3x+i7yx$ sia una funzione da R a C per forza di cose in quanto è vista come $f=u(x,y)+iv(x,y)$ e quindi dicie che è una f(x,y). Ma a me pare che quella sia proprio la definizione di una f:C->C non tanto una f:R->C.
"il_formalizzatore":
[...]se io ho una ipotetica $f=3x+i7yx:=x+iy $ [...]
Questa cosa che hai scritto è priva di significato. Cosa vuol dire?
Poi certo che una funzione $w = f(z) $ essendo $w \in \CC $ si potrà scrivere $w = f(z) = u(x, y) + i v(x, y) $, ma non è certamente questo il tuo caso. Rileggi con maggiore attenzione quanto
"pilloeffe":
Come $f(x+iy)=f(z)$ mi fai vedere in che modo? Si potrebbe fare se avessi una funzione tipo $g(x+iy)=7x+7iy$: in questo caso si potrebbe scrivere $g(z)=7z$
In altre parole, non si riesce a scrivere la funzione $P$ in termini di più variabili complesse, così come non si riesce a scrivere $f$ in termini della variabile complessa $z$, mentre invece ci si riesce con la funzione $g$. In ogni caso si dovrebbe capire dal contesto, che nel tuo caso è molto chiaro: le 5 variabili che compaiono sono reali positive o nulle, non credo che il tuo professore ti abbia chiesto di riscrivere $P$ in termini di 3 variabili complesse (6 variabili reali) $z_1$, $z_2 $ e $z_3$...
no, certo! sul caso P avevo detto di lasciarlo da parte ora proprio perché dopo la tua spiegazione mi era chiaro.
Tuttavia il dubbio era poi "evoluto" e mi ero chiesto: "ma se io ho una funzione a valori in C del tipo: $f=3x+i7yx$ come faccio a capire di base se ha dominio C o R?
Per via del fatto che f:C->C è una funzione $f=3x+i7yx$ può benissimo essere del tipo: $f(z)=f(x+iy)=v(x,y)+iu(x,y)$ e mi dicevo: cavolo ma è del tutto identica (scritta per caratteristica: "$3x+i7yx$") a una funzione f:R->R: $f(x,y)=v(x,y)+iu(x,y)$.
Quindi data $f=3x+i7yx$ per capire se è C->C o R->C devo capirlo dal contesto, questo volevo capire. E mi pare di si
Tuttavia il dubbio era poi "evoluto" e mi ero chiesto: "ma se io ho una funzione a valori in C del tipo: $f=3x+i7yx$ come faccio a capire di base se ha dominio C o R?
Per via del fatto che f:C->C è una funzione $f=3x+i7yx$ può benissimo essere del tipo: $f(z)=f(x+iy)=v(x,y)+iu(x,y)$ e mi dicevo: cavolo ma è del tutto identica (scritta per caratteristica: "$3x+i7yx$") a una funzione f:R->R: $f(x,y)=v(x,y)+iu(x,y)$.
Quindi data $f=3x+i7yx$ per capire se è C->C o R->C devo capirlo dal contesto, questo volevo capire. E mi pare di si
"il_formalizzatore":
Quindi data $f=3x+i7yx$ per capire se è C->C o R->C devo capirlo dal contesto, questo volevo capire.
Beh certo, ma non solo dal contesto (che peraltro qui è chiarissimo): ripeto, prova a scrivere $f =3x+i7yx$ come $f(z) $ ove $z = x + iy$ se ci riesci, è possibile: potrebbe essere qualcosa del tipo $f(z) = \text{Re}(z)[3 +7i\text{Im}(z)] $, come vedi molto diversa da quella che hai tu...
C'è però una cosa che non mi è ancora chiara, tu parli sempre di funzione f: C->C come una funzione che lavora su $z=x+iy$ nel suo insieme, ad esempio ha preso: $f(z)=7(x+iy)=7z$ oppure $f(z)=Re(z)[3+7iIm(z)]$ insomma prendi sempre z "In toto".
Però non riesco a capire perché, difatti la funzione f(z): C->C stando alla definizione non mi pare così (vedi quote del mio post sotto). In generale a me pare una funzione: $f(x+iy)=u(x,y)+v(x,y)$, quindi può benissimo essere $f=3x+i7yx$ una f:C->C. Credo che non riesco a capire perché invece tu usi come funzione una che opera su z nel suo complesso.
La definizione richiede solo che f: C->C prenda parte reale e immaginaria dell'argomento z e che venga mandata in due relative funzioni u e v.
Credo proprio sia qui l'incomprensione e la cosa che non capisco di quello che mi stai dicendo
Però non riesco a capire perché, difatti la funzione f(z): C->C stando alla definizione non mi pare così (vedi quote del mio post sotto). In generale a me pare una funzione: $f(x+iy)=u(x,y)+v(x,y)$, quindi può benissimo essere $f=3x+i7yx$ una f:C->C. Credo che non riesco a capire perché invece tu usi come funzione una che opera su z nel suo complesso.
La definizione richiede solo che f: C->C prenda parte reale e immaginaria dell'argomento z e che venga mandata in due relative funzioni u e v.
Una funzione di variabile complessa f ( z ) f(z) corrisponde a una legge che associa in modo univoco a un punto z z di un sottoinsieme del piano complesso, il dominio della funzione, un punto che può considerarsi appartenere a un sottoinsieme di un secondo piano complesso che costituisce il codominio della funzione. Esplicitando la variabile $z = x + i y $ dentro l'espressione della funzione complessa f(z) è possibile scrivere l'espressione della funzione complessa nella forma $f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y )$
Credo proprio sia qui l'incomprensione e la cosa che non capisco di quello che mi stai dicendo
"il_formalizzatore":
Credo che non riesco a capire perché invece tu usi come funzione una che opera su z nel suo complesso.
Perché è proprio così: una funzione complessa $f : \CC \rightarrow \CC $ è una funzione che ad un numero complesso $z \in \CC $ (di solito poi appartenente ad un dominio $A \subseteq \CC $) associa un altro numero complesso $w = f(z) \in B \subseteq\CC $, ove certamente si può scrivere $w = u + iv $. In altre parole, stai confondendo dominio $A$ e codominio $B$...
"il_formalizzatore":
La definizione richiede solo che f: C->C prenda parte reale e immaginaria dell'argomento z e che venga mandata in due relative funzioni u e v.
No. La definizione corretta (a parte qualche ripetizione) l'hai scritta tu stesso poco dopo, te la riporto per bene:
Una funzione $f$ della variabile complessa $z$, che indicheremo con $f(z)$, corrisponde ad una legge $f: A \rightarrow B $ che associa in modo univoco ad un punto $z$ di un sottoinsieme $A$ del piano complesso $\CC$ (il dominio della funzione, cioè $A \subseteq \CC$), un punto $w$ che può considerarsi appartenere ad un sottoinsieme $B$ di un secondo piano complesso $\CC$ che costituisce il codominio della funzione. Esplicitando la variabile $z=x+iy$ dentro l'espressione della funzione complessa $f(z)$ è possibile scrivere l'espressione della funzione complessa nella forma $f(z)= w = u(x,y)+iv(x,y) $
Però scritta così $f(z)=w=u(x,y)+iv(x,y)$ vuol dire che $f(x+iy)$ può benissimo essere una funzione siffatta: $f=3x+i7yx$ perché scusa: $3x:=u(x,y)$ e $7xy:=v(x,y)$. Invece mi pare che mi dici che non va bene perché può essere qualcosa del tipo: $f(z)=k(x+iy)$ o che so $f(z)=z^2=(x+iy)^2$ cioè (stando a quanto ho capito da quello che dici) devo sempre operare su "z" come dicevo "interamente", la definizione invece a me pare permettere di spezzare proprio l'argomento di f (cioè z) in x e y e operarvi separatamente.
Secondo quello che dici f dovrebbe per forza essere qualcosa del tipo $f(z)=u(z)+v(z)$, ad esempio.
Ma dalla definizione a me sembra che posso benissimo ideare una f: C->C in cui l'immagine è data da una parte reale che è una funzione di (x e y separatamente) e una parte immaginaria di nuovo funzione di x e y separatamente.
Non capisco quindi perché dici che non possa essere $f=3x+i7yx$ a me stante la definizione con le condizioni $3x:=u(x,y)$ e $7xy:=v(x,y)$ pare proprio rispettare la definizione :\
Secondo quello che dici f dovrebbe per forza essere qualcosa del tipo $f(z)=u(z)+v(z)$, ad esempio.
Ma dalla definizione a me sembra che posso benissimo ideare una f: C->C in cui l'immagine è data da una parte reale che è una funzione di (x e y separatamente) e una parte immaginaria di nuovo funzione di x e y separatamente.
Non capisco quindi perché dici che non possa essere $f=3x+i7yx$ a me stante la definizione con le condizioni $3x:=u(x,y)$ e $7xy:=v(x,y)$ pare proprio rispettare la definizione :\
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