Un integrale...tosto

[Piera4]

Utilizzando il teorema dei residui, calcolare
$int_0^1dx/root[3](x^2-x^3)$

Vista la notevole complessità dell'integrale dò un suggerimento:
guardare in fondo a http://www.dmi.units.it/~tironi/
pag. 74 del capitolo 1 sulle funzioni di variabile complessa.

[Sk_Anonymous]

Le condizioni di convergenza sono soddisfatte e possiamo
anche fare a meno dell'analisi complessa .Infatti l'integrale
L si puo' scrivere anche cosi':
$L=int_0^1x^(-1)(-1+x^(-1))^(-1/3)dx$
Sotto questa forma L e' un integrale cosiddetto binomio e si risolve con
la sostituzione:
$-1+x^(-1)=t^3$ da cui :
$x=1/(1+t^3) ,dx=(-3t^2)/((1+t^3)^2)dt$
Sostituendo si ha:
$L=int_(oo)^0(1+t^3)*(t^(-1))*(-3t^2)/(1+t^3)^2dt=int_0^(oo)(3t)/(1+t^3)dt$
Sviluppando in fratti semplici ed integrando (vi risparmio i passaggi !) si ottiene:
$L=[1/2*ln((t^2-t+1)/((t+1)^2))+sqrt3*atan ((2t-1)/(sqrt3))]_0^oo$
Ovvero (salvo errori sempre ... in agguato):
$L=(2pi)/(sqrt3)$
karl

[Piera4]

Non mi ero accorto che fosse un integrale differenziale binomio... anche perchè l'ho preso da un testo di analisi complessa.
Comunque sia, ottima soluzione karl!

Visto che sono in vena... trovare una primitiva delle seguenti funzioni:
1) $f(x)=(x^2*e^x)/(x+2)^2$
2) $f(x)=1/(1+x*e^x)+1/(x+x^2*e^x)$

[Kroldar]

il primo è alquanto banale... divisione tra polinomi, risulta $f(x)=e^x(1-(4(x+1))/((x+2)^2))$ ovvero
$f(x)=e^x-(4e^x(x+1))/((x+2)^2)$ e si vede a occhio che $e^x(x+1)/((x+2)^2$ è la derivata di $(e^x)/(x+2)$ da cui
la primitiva risulta $e^x(1-4/(x+2))$

[Sk_Anonymous]

Anche il secondo e' relativamente accessibile.Sommando le due frazioni
ci si riduce a calcolare l'integrale :
$L=int(x+1)/(x(1+xe^x))dx$ che puo' essere risolto
con la posizione $1+xe^x=t$ , da cui $xe^x=t-1,dx=(dt)/(e^x(x+1))$
Sostituendo risulta:
$L=int(x+1)/(xt)*(dt)/(e^x(x+1))=int1/(xe^x)*(dt)/t=int1/(t(t-1))dt=int[1/(t-1)-1/t]dt$
Integrando si ha:
$L=ln|(t-1)/t|+C=ln|(xe^x)/(1+xe^x)|+C=x+ln|x/(1+xe^x)|+C$
Particolarizzando la C si possono ottenere tutte le primitive richieste.
karl