Un Integrale Triplo molto complesso
Buongiorno a tutti,
sono sicura che c'è qualcosa che mi sfugge per la risoluzione di questo integrale, che renderebbe lo svolgimento molto più semplice, ma proprio non riesco a capire cosa. Qualcuno sa darmi qualche spunto?
Calcolare
$\int int int_S (x^2+y^2+z^2+sin(x*y^2*z)-1) dxdydz$
dove $S$ è il solido delimitato dalla sfera di raggio $sqrt(2)$, centrata nell'origine e dal paraboloide $z=x^2+y^2$.
La sfera risulta quindi $x^2+y^2+z^2=2$, e si ha $x^2+y^2<=z<=sqrt(2-(x^2+y^2))$.
Ho integrato dunque rispetto a $z$:
$\int int_D dxdy int_ (x^2+y^2)^sqrt(2-(x^2+y^2))(x^2+y^2+z^2+sin(x*y^2*z)-1)dz$=
scrivo la risoluzione dei divesi integrali:
1)$int_ (x^2+y^2)^sqrt(2-(x^2+y^2))(x^2+y^2-1) dz=(x^2+y^2-1)(sqrt(2-(x^2+y^2))-(x^2+y^2))$
2)$int_ (x^2+y^2)^sqrt(2-(x^2+y^2))z^2dz=1/3*((sqrt(2-(x^2+y^2)))^3-((x^2+y^2))^3)$
3)$int_ (x^2+y^2)^sqrt(2-(x^2+y^2))sin(x*y^2*z)dz= 1/(x*y^2) *(cos(x*y^2(sqrt(2-(x^2+y^2)))-cos(x*y^2(x^2+y^2)))$
A questo punto il mio problema è trovare D e proseguire con l'integrale.
Ho valutato le seguenti opzioni, tutte arrivano a procedimenti molto complessi.
1) passare alle coordinate polari:
$\{(x=rcost),(y=rsint):}$ con $r=sqrt(x^2+y^2)$
in questo caso il problema è l'integrale 3, perchè si ha $(cos(r^2cost*(sint)^2(sqrt(2-(r^2)))-cos(r^2cost*(sint)^2(r^2))$
che non riesco a risolvere.
2) iniziare col cambio variabili sferiche prima di integrare rispetto a z, ma la situazione è analoga al punto precedente riguardo l'argomento della funzione seno.
3) continuare per riduzione: intersecando la sfera e il paraboloide, si ha la circonferenza di centro (0,0) e raggio 1, da cui
$D={(x,y): -1<=x<=1, -sqrt(1-x^2)<=y<=sqrt(1-x^2)}$
anche in questo caso si ottiene un procedimento molto lungo e laborioso.
Sono sicura perciò che mi sfugge qualcosa per rendere il procedimento più semplice. Qualcuno per favore saprebbe aiutarmi? Grazie in anticipo!
sono sicura che c'è qualcosa che mi sfugge per la risoluzione di questo integrale, che renderebbe lo svolgimento molto più semplice, ma proprio non riesco a capire cosa. Qualcuno sa darmi qualche spunto?
Calcolare
$\int int int_S (x^2+y^2+z^2+sin(x*y^2*z)-1) dxdydz$
dove $S$ è il solido delimitato dalla sfera di raggio $sqrt(2)$, centrata nell'origine e dal paraboloide $z=x^2+y^2$.
La sfera risulta quindi $x^2+y^2+z^2=2$, e si ha $x^2+y^2<=z<=sqrt(2-(x^2+y^2))$.
Ho integrato dunque rispetto a $z$:
$\int int_D dxdy int_ (x^2+y^2)^sqrt(2-(x^2+y^2))(x^2+y^2+z^2+sin(x*y^2*z)-1)dz$=
scrivo la risoluzione dei divesi integrali:
1)$int_ (x^2+y^2)^sqrt(2-(x^2+y^2))(x^2+y^2-1) dz=(x^2+y^2-1)(sqrt(2-(x^2+y^2))-(x^2+y^2))$
2)$int_ (x^2+y^2)^sqrt(2-(x^2+y^2))z^2dz=1/3*((sqrt(2-(x^2+y^2)))^3-((x^2+y^2))^3)$
3)$int_ (x^2+y^2)^sqrt(2-(x^2+y^2))sin(x*y^2*z)dz= 1/(x*y^2) *(cos(x*y^2(sqrt(2-(x^2+y^2)))-cos(x*y^2(x^2+y^2)))$
A questo punto il mio problema è trovare D e proseguire con l'integrale.
Ho valutato le seguenti opzioni, tutte arrivano a procedimenti molto complessi.
1) passare alle coordinate polari:
$\{(x=rcost),(y=rsint):}$ con $r=sqrt(x^2+y^2)$
in questo caso il problema è l'integrale 3, perchè si ha $(cos(r^2cost*(sint)^2(sqrt(2-(r^2)))-cos(r^2cost*(sint)^2(r^2))$
che non riesco a risolvere.
2) iniziare col cambio variabili sferiche prima di integrare rispetto a z, ma la situazione è analoga al punto precedente riguardo l'argomento della funzione seno.
3) continuare per riduzione: intersecando la sfera e il paraboloide, si ha la circonferenza di centro (0,0) e raggio 1, da cui
$D={(x,y): -1<=x<=1, -sqrt(1-x^2)<=y<=sqrt(1-x^2)}$
anche in questo caso si ottiene un procedimento molto lungo e laborioso.
Sono sicura perciò che mi sfugge qualcosa per rendere il procedimento più semplice. Qualcuno per favore saprebbe aiutarmi? Grazie in anticipo!
Risposte
Ciao chi8,
La butto lì perché adesso ho poco tempo, per cui prendi con le molle ciò che sto per dirti,,,
La funzione in 3), quella che contiene la differenza di coseni, è una funzione dispari, per cui se la integri su un dominio simmetrico come $D$ l'integrale è nullo;
le altre due funzioni in 1) e 2) al contrario sono due funzioni pari, quindi si ha:
$ \int int_D f(x, y) dydx = 2 int_{0}^{1}\int_{0}^{sqrt{1 - x^2}} f(x,y)dydx $
La butto lì perché adesso ho poco tempo, per cui prendi con le molle ciò che sto per dirti,,,
La funzione in 3), quella che contiene la differenza di coseni, è una funzione dispari, per cui se la integri su un dominio simmetrico come $D$ l'integrale è nullo;
le altre due funzioni in 1) e 2) al contrario sono due funzioni pari, quindi si ha:
$ \int int_D f(x, y) dydx = 2 int_{0}^{1}\int_{0}^{sqrt{1 - x^2}} f(x,y)dydx $
"pilloeffe":
Ciao chi8,
La butto lì perché adesso ho poco tempo, per cui prendi con le molle ciò che sto per dirti,,,
La funzione in 3), quella che contiene la differenza di coseni, è una funzione dispari, per cui se la integri su un dominio simmetrico come $D$ l'integrale è nullo;
le altre due funzioni in 1) e 2) al contrario sono due funzioni pari, quindi si ha:
$ \int int_D f(x, y) dydx = 2 int_{0}^{1}\int_{0}^{sqrt{1 - x^2}} f(x,y)dydx $
Ti ringrazio di nuovo tantissimo, ci ho messo un po'di tempo ma grazie al tuo aiuto, sono riuscita a risolvere l'integrale!
Grazie ancora!
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