Un integrale con la radice quadra, come lo risolvo?

[hastings1]

Salve,
qualcuno può aiutarmi a risolvere il seguente integrale?

[tex]\int_0^1 \frac{t^3}{2} \sqrt{1+t^2}\, dt[/tex]

Posso in qualche maniera utilizzare il seguente risultato?
[tex]D\bigg( (1+t^2)^{\frac{3}{2}} \bigg)=3t(1+t^2)^{\frac{1}{2}}[/tex]
naturalmente a meno di una costante moltiplicativa.

Oppure per parti? Qualcuno può darmi un suggerimento?
Grazie.

[cirasa]

Sei sulla strada giusta.
Se non ho sbagliato i conti, integrando per parti dovrebbe sistemarsi tutto.
Basta osservare che
[tex]\displaystyle \int\frac{t^3}{2}\sqrt{1+t^2}\textrm{d}t=\int f(t)g'(t)\textrm{d}t[/tex]
dove
[tex]\displaystyle g(t)=\frac{1}{3}(1+t^2)^{3/2}[/tex],
[tex]\displaystyle f(t)=\frac{t^2}{2}[/tex].
Ora devi solo integrare per parti.

[hastings1]

L'integrazione per parti è così? Gli estremi d'integrazione sono ben riportati?

[tex]\displaystyle \int_0^1 f(t) \, g'(t) \,dt= \bigg[f(t) \, g(t)\bigg]_0^1 - \int_0^1 f'(t) \, g(t)\,dt[/tex]

Se è così dovrebbe risultare
[tex]\displaystyle \bigg[ \frac{t^2}{6}(1+t^2)^{ \frac{3}{2} } \bigg]_0^1 - \int_0^1 \frac{t}{3} (1+t^2)^{\frac{3}{2}}\,dt = \frac{1}{6}2\sqrt{2} - \frac{1}{15}(1+t^2)^{\frac{5}{2}}\bigg|_0^1=[/tex]

Salvo errori, continua così:
[tex]=\frac{\sqrt{2} }{3} -\frac{1}{15}\bigg( 4\sqrt{2} -1\bigg)= \frac{5\sqrt{2} - 4\sqrt{2} +1 }{15}= \frac{\sqrt{2}+1}{15}[/tex]

Mi puoi confermare?

[cirasa]

Sì, è giusto!
Alla prossima e buono studio!

[hastings1]

Grazie!