Un esercizio sulle serie
Ripropongo un quesito che avevo posto tempo fa (qui) e che, per ora, non ha trovato risposta... Non perchè sia particolarmente difficile, ma perchè forse esce un tantino (in verità pochissimo) dall'ordinario.
Certo non è un esercizio per diciottisti (cit. G. Gilardi) in Analisi I, né tantomeno per bocciandi (cit. R. Caccioppoli), epperò non richiede molto sforzo e può risultare abbastanza educativo.
Per questo chiedo un po' di sforzo a chi sta preparando Analisi I: provate!
Inoltre chiedo a chi ha già sostenuto l'esame (o comunque a chi ha conoscenze più avanzate) di lasciare un po' di spazio ai giovani che hanno bisogno di esercitarsi.
Grazie a tutti.
***
Esercizio:
Sia [tex]$(a_n) \subseteq \mathbb{R}$[/tex] la successione di termine generale:
\[
a_n:=\begin{cases} n! &\text{, se $n$ è pari}\\ \frac{1}{e^n} &\text{, se $n$ è dispari}\end{cases}.
\]
Si determini il carattere della serie a segni alterni [tex]$\sum (-1)^n\ a_n$[/tex] (i.e. si dica se essa è convergente, divergente od indeterminata).
P.S.: Anche se non è importante, sappiate che considero [tex]$0\in \mathbb{N}$[/tex] e che [tex]$0! :=1$[/tex].
Certo non è un esercizio per diciottisti (cit. G. Gilardi) in Analisi I, né tantomeno per bocciandi (cit. R. Caccioppoli), epperò non richiede molto sforzo e può risultare abbastanza educativo.
Per questo chiedo un po' di sforzo a chi sta preparando Analisi I: provate!
Inoltre chiedo a chi ha già sostenuto l'esame (o comunque a chi ha conoscenze più avanzate) di lasciare un po' di spazio ai giovani che hanno bisogno di esercitarsi.
Grazie a tutti.
***
Esercizio:
Sia [tex]$(a_n) \subseteq \mathbb{R}$[/tex] la successione di termine generale:
\[
a_n:=\begin{cases} n! &\text{, se $n$ è pari}\\ \frac{1}{e^n} &\text{, se $n$ è dispari}\end{cases}.
\]
Si determini il carattere della serie a segni alterni [tex]$\sum (-1)^n\ a_n$[/tex] (i.e. si dica se essa è convergente, divergente od indeterminata).
P.S.: Anche se non è importante, sappiate che considero [tex]$0\in \mathbb{N}$[/tex] e che [tex]$0! :=1$[/tex].
Risposte
Io userei il criterio di Leibniz....
Siccome per n pari $n!$ non è infinitesima, nè decrescente...allora $sum(-1)^n a_n $ diverge
Per n dispari $ frac{1}{e^n} $ è infinitesima e decrescente quindi $sum(-1)^n a_n $ converge.
In conclusione è indeterminata.
Ho fatto bene?
Siccome per n pari $n!$ non è infinitesima, nè decrescente...allora $sum(-1)^n a_n $ diverge
Per n dispari $ frac{1}{e^n} $ è infinitesima e decrescente quindi $sum(-1)^n a_n $ converge.
In conclusione è indeterminata.
Ho fatto bene?
Scusa, qwerty90, ma come fa la stessa serie [tex]$\sum (-1)^n a_n$[/tex] ad essere prima divergente, poi convergente ed infine indeterminata?
C'è qualcosa che non va, quanto meno a livello di linguaggio, non trovi?
Ritenta.
C'è qualcosa che non va, quanto meno a livello di linguaggio, non trovi?
Ritenta.
Non troppo difficile però carino (sopratutto, evita la solita risoluzione meccanica)... semmai farò il tutore lo metterò nel mio tutorato sulle serie 
[OT]
@Gatto89: a fianco dell'esercizio pretendo un ringraziamento.
[/OT]
@Gatto89: a fianco dell'esercizio pretendo un ringraziamento.
[/OT]
Up, nella speranza che qualcuno si faccia vivo...
Eccomi!
Uno dei due animali è piccino picciò, quindi il grande mostro se lo trascina con sé in paradiso.
Uno dei due animali è piccino picciò, quindi il grande mostro se lo trascina con sé in paradiso.
"Fioravante Patrone":
Eccomi!
Uno dei due animali è piccino picciò, quindi il grande mostro se lo trascina con sé in paradiso.
beh...è una serie a termini alterni..direi che bisogna osservare che i termini negativi della serie sono quelli dispari ($(-1)^n=-1$) perciò quelli nella forma $1/(e^n)$ che è infinitesima per $n->oo$ e da qui trarre le ovvie conclusioni...
giusto??
giusto??
"pieerr":
beh...è una serie a termini alterni..direi che bisogna osservare che i termini negativi della serie sono quelli dispari ($(-1)^n=-1$) perciò quelli nella forma $1/(e^n)$ che è infinitesima per $n->oo$ e da qui trarre le ovvie conclusioni...
giusto??
Mah, dal fatto che una cosa è infinitesima, nel contesto della convergenza di una serie, io non sono in grado di trarre nessuna conclusione.
quello che volevo dire è che da un certo valore, chiamiamolo $M$, in poi $a_n$ poterebbe essere approssimato a $n!$ così la serie diventerebbe
$ sum_(2n+1 = M)^(+oo) n! $ che diverge.
$ sum_(2n+1 = M)^(+oo) n! $ che diverge.
@pierr: Se ho capito bene suggerisci che sia lecito scrivere:
[tex]$\sum_n (-1)^n a_n =\sum_k (-1)^{2k}a_{2k} +(-1)^{2k+1}a_{2k+1}$[/tex]
e trarre da ciò che $\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n a_n =+\infty$; detto altrimenti, vuoi applicare la proprietà associativa "in grande" alla somma della serie per determinare il carattere della serie stessa.
Tuttavia ciò è sbagliato, come mostra il seguente semplice esempio: considera la [tex]$\sum (-1)^n$[/tex]; tale serie è indeterminata (basta calcolare esplicitamente il termine generale della successione delle somme parziali), epperò un'applicazione della proprietà associativa "in grande" porterebbe erroneamente a concludere che la serie converge, dato che risulta [tex]$\sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^{2k}+(-1)^{2k+1} =\sum_{k=0}^{+\infty} 1-1=0$[/tex].
[tex]$\sum_n (-1)^n a_n =\sum_k (-1)^{2k}a_{2k} +(-1)^{2k+1}a_{2k+1}$[/tex]
e trarre da ciò che $\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n a_n =+\infty$; detto altrimenti, vuoi applicare la proprietà associativa "in grande" alla somma della serie per determinare il carattere della serie stessa.
Tuttavia ciò è sbagliato, come mostra il seguente semplice esempio: considera la [tex]$\sum (-1)^n$[/tex]; tale serie è indeterminata (basta calcolare esplicitamente il termine generale della successione delle somme parziali), epperò un'applicazione della proprietà associativa "in grande" porterebbe erroneamente a concludere che la serie converge, dato che risulta [tex]$\sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^{2k}+(-1)^{2k+1} =\sum_{k=0}^{+\infty} 1-1=0$[/tex].
$\sum_n (-1)^n a_n =\sum_k (-1)^{2k}a_{2k} +(-1)^{2k+1}a_{2k+1}$
ma se definisco prima il termine generale della "serie a tratti" come
$ a_n=(1/e)^(2n+1)+(2n)! $
e poi aggiungo il $(-1)^n$ (come dice il problema)
la proprietà associativa non dovrebbe creare problemi per serie a termini non negativi... perciò credo di poter scrivere:
$ sum (-1)^n*[(1/e) ^(2n+1)+(2n)!] $
ops...la serie che ho scritto non è uguale alla serie di partenza....beh..penserò a qualcos'altro!...ma comunque il fatto che le serie a termini non negativi godono della proprietà associativa penso sia corretto...
Io comincerei col dire che la serie coincide con $ sum_(n = 0)^(+oo)((2n)!-1/e^(2n+1)) $ il cui termine generale non è infinitesimo, dunque sicuramente la serie non converge...
"Fioravante Patrone":
Eccomi!
Uno dei due animali è piccino picciò, quindi il grande mostro se lo trascina con sé in paradiso.
Cosa vuol dire che è divergente?!
Se rispondiamo togliamo subito il gusto di risolvere la serie 
... io direi che identificati "i due animali", il resto viene subito da se
... io direi che identificati "i due animali", il resto viene subito da se
Secondo me come ho detto prima, ma magari dico una cavolata, la serie equivale a $ sum_(n = 0)^(+oo)((2n)!-1/e^(2n+1)) $...inoltre $(2n)!-1/e^(2n+1)>1/n$ definitivamente quindi dovrebbe divergere...
mi sembra abbastanza ovvio che non converge... $ sum (-1)^n a_n=1-1/e+2-1/e^3+4!-1/e^5+6! ... $
al massimo è indeterminata...
al massimo è indeterminata...
Ovvio che non converge (il termine generale non è infinitesimo); però quando una serie non converge, le alternative sono due come ben sapete.
@caloillo: Ho già precisato che, se non si conosce il carattere della serie [tex]$\sum_n (-1)^n a_n$[/tex], non è lecito scrivere [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n a_n =\sum_{k=0}^{+\infty}(-1)^{2k} a_{2k} +(-1)^{2k+1} a_{2k+1}$[/tex] (vedi mio post precedente).
Le strade che suggerite tu e pierr sono anche praticabili (però dovete stare attenti e formalizzare bene il discorso); ma vi assicuro che c'è un modo meno faticoso... Basta usare quelle poche cose note sulla serie geometrica.
@caloillo: Ho già precisato che, se non si conosce il carattere della serie [tex]$\sum_n (-1)^n a_n$[/tex], non è lecito scrivere [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n a_n =\sum_{k=0}^{+\infty}(-1)^{2k} a_{2k} +(-1)^{2k+1} a_{2k+1}$[/tex] (vedi mio post precedente).
Le strade che suggerite tu e pierr sono anche praticabili (però dovete stare attenti e formalizzare bene il discorso); ma vi assicuro che c'è un modo meno faticoso... Basta usare quelle poche cose note sulla serie geometrica.
E se scrivessimo $ sum_(n = 0)^(+oo)(-1)^na_n=sum_(n = 0)^(+oo)[(2n)!-e^(-2n-1)]=sum_(k = 0)^(+oo)(2k)!-sum_( h= 0)^(+oo)e^(-2h-1)=sum_(k = 0)^(+oo)(2k)!-e/(e^2-1) $ che diverge?
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