Un esercizio sulle serie

[gugo82]

Ripropongo un quesito che avevo posto tempo fa (qui) e che, per ora, non ha trovato risposta... Non perchè sia particolarmente difficile, ma perchè forse esce un tantino (in verità pochissimo) dall'ordinario.

Certo non è un esercizio per diciottisti (cit. G. Gilardi) in Analisi I, né tantomeno per bocciandi (cit. R. Caccioppoli), epperò non richiede molto sforzo e può risultare abbastanza educativo.
Per questo chiedo un po' di sforzo a chi sta preparando Analisi I: provate!

Inoltre chiedo a chi ha già sostenuto l'esame (o comunque a chi ha conoscenze più avanzate) di lasciare un po' di spazio ai giovani che hanno bisogno di esercitarsi.
Grazie a tutti.

***

Esercizio:

Sia [tex]$(a_n) \subseteq \mathbb{R}$[/tex] la successione di termine generale:

\[
a_n:=\begin{cases} n! &\text{, se $n$ è pari}\\ \frac{1}{e^n} &\text{, se $n$ è dispari}\end{cases}.
\]

Si determini il carattere della serie a segni alterni [tex]$\sum (-1)^n\ a_n$[/tex] (i.e. si dica se essa è convergente, divergente od indeterminata).


P.S.: Anche se non è importante, sappiate che considero [tex]$0\in \mathbb{N}$[/tex] e che [tex]$0! :=1$[/tex].

[gugo82]

Siamo sempre lì, per la terza volta...
Nel metodo proposto c'è un errore di fondo: se non sai cosa fa la serie, non puoi applicare la proprietà associativa in grande.

Per far capire (meglio) la portata dell'errore: se applicassimo indiscriminatamente la proprietà alla serie [tex]$\sum_n (-1)^n$[/tex] otterremmo:

[tex]$0=\sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^{2k} +(-1)^{2k+1} =\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n =1+\sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^{2k+1}+(-1)^{2k+2} =1$[/tex]

il che è un tantino assurdo, non vi pare?

Tuttavia l'idea di sfruttare in qualche modo la somma della seria geometrica è promettente... Si tratta solo di usarla bene questa idea!

[pizzi]

inizio ad arrabbiarmi!! ...maledetta proprietà associativa...

$ sum_(n = 0)^(+oo)(-1)^(2n)(2n)!+(-1)^(2n+1)*(1/e^(2n+1)) $
schiaffiamo un bel modulo a questa serie e studiamo la convergenza assoluta... col modulo non ci sono problemi con l'associativa o sì???

(spero... )

[gugo82]

Evvabbé... Si vede che la serie dei moduli diverge (infatti è a termini positivi e non può convergere, ergo diverge).

Però dal fatto che la serie dei moduli diverge non puoi ricavare nulla (esempio: la serie armonica alternata [tex]$\sum \frac{(-1)^n}{n}$[/tex] diverge in modulo epperò converge).

Ma ci vuole proprio tanto a trovare una minorante buona?

[pizzi]

una a caso o una buona?? io una a caso ce l'ho...$n!$ ...se vogliamo proprio esagerare $e^n$ oppure $1/n$ ...il fatto è che non saprei come dimostrare che è minorante visto che non riesco a scrivere in una forma decente il termine generale della serie...

[gugo82]

Mai passato per la mente che potrebbe bastare minorare in qualche modo solo gli addendi negativi?

[pizzi]

minorare una serie convergente?? cioè diventerebbe una cosa del genere?
$ sum a_n = sum (2n)! -1/e $
.....confused...

[Fioravante Patrone1]

Mi sa che mr. gugo82 chieda di minorare una serie divergente

[pizzi]

eh infatti...ma gli addendi negativi sono quelli nella forma $1/e^n$ che converge...

[gugo82]

Appunto...

[pizzi]

ma perché minorare una serie convergente??
$ sum a_n = sum (2n)! -1/e $
a meno che non sia diventato completamente pazzo..
ma riperto...very confused...

[calolillo]

In questo caso, pieerr, credo che minorare una serie a termini negativi sarebbe come maggiorare una serie a termini positivi

[gugo82]

Scrivetevi per esteso le prime 6-8 somme parziali applicando la proprietà commutativa (per separare i termini positivi da quelli negativi).
Ricordate che la successione delle somme parziali di una serie a termini positivi è crescente... E minorate le 6-8 righe scritte sopra.
Poi generalizzate.

Ora dovreste avere a disposizione tutti gli ingredienti; bisogna solo assemblare i pezzi.

[gugo82]

Qui sembra essersi arenato tutto, quindi i pezzi li assemblo io... Ma spoilerizzo nel caso qualcuno volesse ancora tentare da solo.

"gugo82":Esercizio:

Sia [tex]$(a_n) \subseteq \mathbb{R}$[/tex] la successione di termine generale:

[tex]$a_n:=\begin{cases} n! &\text{, se $n$ è pari}\\ \frac{1}{e^n} &\text{, se $n$ è dispari}\end{cases}$[/tex].

Si determini il carattere della serie a segni alterni [tex]$\sum_n (-1)^n\ a_n$[/tex] (i.e. si dica se essa è convergente, divergente od indeterminata).

Innanzitutto noto che [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{e^n} =\frac{e}{e-1}$[/tex] e che il numero [tex]$\frac{e}{e-1}$[/tex] è l'estremo superiore della successione delle somme parziali della serie [tex]$\sum_n \frac{1}{e^n}$[/tex] (giacché essa è a termini positivi).

Da ciò segue che la serie positiva [tex]$\sum_{n\in \mathbb{N} \text{ dispari}} \frac{1}{e^n} =\sum_k \frac{1}{e^{2k+1}}$[/tex] converge (perchè evidentemente maggiorata da [tex]$\sum_n \frac{1}{e^n}$[/tex]) e che la sua somma [tex]$\sigma$[/tex]* è [tex]$\leq \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{e^n} =\frac{e}{e-1}$[/tex]; inoltre, il numero [tex]$\sigma$[/tex] è l'estremo superiore della successione delle somme parziali di tale serie e perciò risulta:

(*) [tex]$\forall K\in \mathbb{N} ,\ \sum_{k=0}^{K} \frac{-1}{e^{2k+1}} > -\sigma$[/tex].

Ora, scrivendo le prime somme parziali di [tex]$\sum_n (-1)^n a_n$[/tex], usando la proprietà commutativa e ricordando la minorazione (*), ottengo:

[tex]$\sum_{n=0}^{0} (-1)^n a_n=0!>0!-\sigma =\sum_{k=0}^{0} (2k)! -\sigma$[/tex]
[tex]$\sum_{n=0}^{1} (-1)^n a_n=0!-\frac{1}{e} >0!-\sigma=\sum_{k=0}^{0} (2k)! -\sigma$[/tex]
[tex]$\sum_{n=0}^{2} (-1)^n a_n=0!-\frac{1}{e}+2! >0!+2!-\sigma=\sum_{k=0}^{1} (2k)! -\sigma$[/tex]
[tex]$\sum_{n=0}^{3} (-1)^n a_n=0!-\frac{1}{e}+2!-\frac{1}{e^3} > 0!+2!-\sigma=\sum_{k=0}^{1} (2k)! -\sigma$[/tex]
[tex]$\sum_{n=0}^{4} (-1)^n a_n=0!-\frac{1}{e}+2!-\frac{1}{e^3} +4!> 0!+2!+4!-\sigma=\sum_{k=0}^{2} (2k)! -\sigma$[/tex]
[tex]$\sum_{n=0}^{5} (-1)^n a_n=0!-\frac{1}{e}+2!-\frac{1}{e^3} +4!-\frac{1}{e^5}> 0!+2!+4!-\sigma=\sum_{k=0}^{2} (2k)! -\sigma$[/tex]...

e mi accorgo che, più in generale, risulta:

[tex]$\sum_{n=0}^{2K} (-1)^n a_n > \sum_{k=0}^{K} (2k)! -\sigma$[/tex]
[tex]$\sum_{n=0}^{2K+1} (-1)^n a_n> \sum_{k=0}^{K} (2k)! -\sigma$[/tex]

per ogni [tex]$K\in \mathbb{N}$[/tex].

Ne viene che le estratte d'indici pari e d'indici dispari dalla successione delle somme parziali di [tex]$\sum_n (-1)^n a_n$[/tex] divergono positivamente, poiché entrambe minorate (a meno di una inutile costante additiva) dalle somme parziali di una serie divergente, cioè [tex]$\sum_k (2k)!$[/tex].
Per un noto risultato sulle successioni estratte, ciò implica che [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n a_n =+\infty$[/tex] e perciò la serie assegnata diverge positivamente.


__________
* L'esatto valore di [tex]$\sigma$[/tex] si determina facilmente a mano: infatti è:

[tex]$\sigma :=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{e^{2k+1}} =\frac{1}{e} \ \sum_{k=0}^{+\infty} \left( \frac{1}{e^2}\right)^k =\frac{1}{e} \ \frac{e^2}{e^2-1} =\frac{e}{e^2-1}$[/tex].