Un dubbio sul Teorema del Dini..

[21zuclo]

Ciao a tutti, oggi mi sono guardato la teoria del Teorema del Dini, e mi è venuto un dubbio. Aiutatemi per favore. Grazie in anticipo.

Richiamo il teorema del Dini

Sia $ F(x,y) $ una funzione continua con $ (\partial )/(\partialy)F $ in un aperto $ A\sub RR^2 $
Se $ P=((x_0),(y_0))\in A $ nel quale risulta $ F(P)=0 \vee (\partial)/(\partialy)F(P)\ne 0 $
Allora esistono 2 numeri $ zeta , xi >0 $
tali che $F(x,y)=0$ definisce implicitamente un'unica funzione $ f:(x_0-\zeta,x_0+\zeta)\to (y_0-\xi,y_0+\xi) $
cioè una funzione tale che $ F(x,f(x))=0\,\forall x\in (x_0-\zeta,x_0+\zeta) $
Inoltre $f$ è continua e $f(x_0)=y_0$

ora ho una domanda.. se negli esercizi mi capita una cosa di questo tipo che $ P=(x_0,y_0)^T $

e ok $ F(P)=0 $

però $ (\partial)/(\partialy)F(P)=0 $

Allora posso concludere che NON esiste una funzione definita implicitamente oppure esiste però nella variabile $x$ ?

[dissonance]

E' chiaro che la funzione potrebbe esistere ed essere della forma $x=x(y)$. Devi ragionare su qualche esempio giocattolo: l'equazione $xy=0$, l'equazione $x^2+y^2=1$... Se ti vengono di questi dubbi vuol dire che non hai le idee molto chiare.

[21zuclo]

"dissonance":E' chiaro che la funzione potrebbe esistere ed essere della forma $x=x(y)$. Devi ragionare su qualche esempio giocattolo: l'equazione $xy=0$, l'equazione $x^2+y^2=1$... Se ti vengono di questi dubbi vuol dire che non hai le idee molto chiare.

allora.per $ F(x,y)=x^2+y^2-1 $

prendo $ P=(x_0,y_0)^T $ che appartiene alla circonferenza e se $ x_0\in (-1,1) $ con $ y_0\ne 0 $

quindi $ \partial_y F(P)=2y_0\ne 0 $ OK e per il teorema che ho scritto sopra..esiste ecc..

se invece $ x_0=1, y_0=0 $
si ha $ \partial_y F(1,0)=0 $ e in questo caso il teorema NON è applicabile

però si ha $ \partial_xF(1,0)=2\ne 0 $ e quindi il teorema si può applicare..

Ma ora mi viene in mente questo se ho $ F(x,y)=x^2-y^2 $ e $ P=((0),(0)) $

qui ho $ \partial_x F(0,0)=\partial_y F(0,0)=0 $

qui concludo che proprio non esiste alcun intorno nell'origine in cui l'equazione definisce implicitamente un'unica funzione in x o in y.
Esatto?

[dissonance]

Non ti rispondo io se è giusto o no. Fai un disegno del luogo dei punti $x^2-y^2=0$ e rispondi tu.

[21zuclo]

"dissonance":Non ti rispondo io se è giusto o no. Fai un disegno del luogo dei punti $x^2-y^2=0$ e rispondi tu.

Non è applicabile dini per questa funzione nel punto $P=((0),(0))$ la funzione implicitamente definita dall’equazione non è unica..

sono ben 4 le funzioni.. $ y=\pm x, y=|x|, y=-|x| $