Uguaglianza tra spazi di Sobolev

[Daniele Florian]

Non capisco il passaggio che porta alla conclusione dell' assunto.
Proposizione: $H_0^(1,p)(RR)=H^(1,p)(RR)$.
Dove $H^(1,p)$ indica lo spazio di sobolev e $H_0$ quelle a supporto compatto.

Bene, per dimostrarlo dice
Sia $u \in H^(1,p)$ e $f \in C_c^(oo)$ con $f=1$,in (-1,1) e $f=0$ per $|x|>2$, osservando che
$u_r(x)=u(x)f(x/r)$
converge fortemente a u in $H^(1,p)$ se $u \in H^(1,p)$.
Capisco la correttezza delle affermazioni ma non ho proprio capito bene come si conclude logicamente il discorso, cioè se ho cpaito bene l obiettivo era dimostare che u, preso in $H^(1,p)$, è anche limite di una successione di funzioni a supporto compatto, ergo sta in $H^(1,p)$.
E' corretto? si può dire meglio?

[dissonance]

"Daniele Florian":Proposizione: $H_0^(1,p)(RR)=H^(1,p)(RR)$.
Dove $H^(1,p)$ indica lo spazio di sobolev e $H_0$ quelle a supporto compatto.

Ma no, dì bene le cose! $H_0^1$ è il sottospazio di $H^1$ ottenuto prendendo la chiusura del sottospazio \(\mathscr{D}(\mathbb{R})\), simbolo che indica le funzioni di classe \(C^\infty\) e a supporto compatto. Quindi stanno in \(H_0^1\) tutte le funzioni che si possono approssimare (rispetto alla norma di \(H^1\)) con una successione di funzioni lisce e a supporto compatto.

[Daniele Florian]

Già, già..
grazie mille, ma una cosa: perchè richiediamo che $H^1=0$ sia la chiusura di $C^(oo)_0$ e non soltanto di $C^1_0$?
Perchè per come abbiamo definito $H^1$ l abbiamo definito come il completamento di $C^1$..

[Rigel1]

Fare la chiusura di \(C^1_c\) o di \(C^{\infty}_c\) nella norma di \(H^1\) ti da lo stesso risultato.