Tutti i simboli di uguaglianza
Qual è la differenza tra l'uguale (=) e:
- Uguale con tre sbarrette (congruenza?)
- Uguale con due sbarrette + tilde (congruenza geometrica?)
- Uguale con una sbarretta + tilde.
- Uguale fatto da due tilde sovrapposti?
- Uguale con un triangolo sopra (definito come?)
- Vari altri simboli.
- Uguale con tre sbarrette (congruenza?)
- Uguale con due sbarrette + tilde (congruenza geometrica?)
- Uguale con una sbarretta + tilde.
- Uguale fatto da due tilde sovrapposti?
- Uguale con un triangolo sopra (definito come?)
- Vari altri simboli.
Risposte
I simboli che elenchi hanno tutti significati diversi dal simbolo $=$!
Facciamo, ad esempio, la differenza tra l'uguaglianza e la congruenza geometrica tra figure piane: dire che due figure $A,B$ sono uguali vuol dire che esse hanno esattamente gli stessi punti (insomma stai usando nomi diversi per denotare lo stesso oggetto); invece dire che $A,B$ sono congruenti significa che esiste un movimento rigido che porta $B$ a coincidere con $A$.
Analoghe differenze ci sono tra lo $=$ ed ognuno dei rimanenti simboli da te citati, ma invece che spiegarteli ad uno ad uno, voglio fare un discorso più generale a cui si possono ricondurre i significati dei primi quattro simboli.
Chiama $S$ un insieme non vuoto. Una relazione $\ccR$ in $S$ è un sottoinsieme di coppie ordinate $(x,y)$ di elementi di $S$; invece di scrivere $(x,y) \in \ccR$ i matematici preferiscono usare l'espressione $x\ccR y$ e dire che "$x$ sta nella relazione $\ccR$ con $y$".
Se la relazione $\ccR$ è riflessiva (ossia se $x\ccR x$ per ogni $x\in S$), simmetrica ($x\ccR y => y\ccR x$ per ogni $x,y \in S$) e transitiva ($x\ccR y " ed " y\ccR z => x\ccR z$ per ogni $x,y,z\in S$), allora diciamo che $\ccR$ è un'equivalenza in $S$.
Le relazioni di congruenza, di congruenza geometrica, di "uguale circa" e di approssimazione sono tutte relazioni d'equivalenza su appropriati insiemi.
La relazione d'uguaglianza è una particolarissima relazione d'equivalenza: infatti essa è la relazione individuata dall'insieme di coppie ordinate $\ccE :=\{ (x,x)\}_(x\in S)$.
Se $\ccR$ è d'equivalenza in $S$, la proprietà riflessiva di $\ccR$ ti assicura che se $x=y$ allora si ha anche $x\ccR y$: pertanto la relazione d'uguaglianza è "più forte" di ogni relazione d'equivalenza.
Facciamo, ad esempio, la differenza tra l'uguaglianza e la congruenza geometrica tra figure piane: dire che due figure $A,B$ sono uguali vuol dire che esse hanno esattamente gli stessi punti (insomma stai usando nomi diversi per denotare lo stesso oggetto); invece dire che $A,B$ sono congruenti significa che esiste un movimento rigido che porta $B$ a coincidere con $A$.
Analoghe differenze ci sono tra lo $=$ ed ognuno dei rimanenti simboli da te citati, ma invece che spiegarteli ad uno ad uno, voglio fare un discorso più generale a cui si possono ricondurre i significati dei primi quattro simboli.
Chiama $S$ un insieme non vuoto. Una relazione $\ccR$ in $S$ è un sottoinsieme di coppie ordinate $(x,y)$ di elementi di $S$; invece di scrivere $(x,y) \in \ccR$ i matematici preferiscono usare l'espressione $x\ccR y$ e dire che "$x$ sta nella relazione $\ccR$ con $y$".
Se la relazione $\ccR$ è riflessiva (ossia se $x\ccR x$ per ogni $x\in S$), simmetrica ($x\ccR y => y\ccR x$ per ogni $x,y \in S$) e transitiva ($x\ccR y " ed " y\ccR z => x\ccR z$ per ogni $x,y,z\in S$), allora diciamo che $\ccR$ è un'equivalenza in $S$.
Le relazioni di congruenza, di congruenza geometrica, di "uguale circa" e di approssimazione sono tutte relazioni d'equivalenza su appropriati insiemi.
La relazione d'uguaglianza è una particolarissima relazione d'equivalenza: infatti essa è la relazione individuata dall'insieme di coppie ordinate $\ccE :=\{ (x,x)\}_(x\in S)$.
Se $\ccR$ è d'equivalenza in $S$, la proprietà riflessiva di $\ccR$ ti assicura che se $x=y$ allora si ha anche $x\ccR y$: pertanto la relazione d'uguaglianza è "più forte" di ogni relazione d'equivalenza.
Ora ho compreso appieno cosa significa equivalenza.
Ma ancora non so a quali tipi di equivalenza si riferiscono i simboli da me citati.
Seriamente, su internet si trovano versioni contrastanti. I miei professori li usano assolutamente a caso.
Io vorrei usarli propriamente.
"Circa uguale", "congruente", "approssimato con", non significano la stessa e non lo sono. Sono convinto che ci sia per ciascuna un simbolo adatto.
Capisco però che i simboli cambino di significato a seconda del contesto in cui si usano (facciamo in algebra generale?), ma cercate di venirmi un po' incontro suvvia...
Ma ancora non so a quali tipi di equivalenza si riferiscono i simboli da me citati.
Seriamente, su internet si trovano versioni contrastanti. I miei professori li usano assolutamente a caso.
Io vorrei usarli propriamente.
"Circa uguale", "congruente", "approssimato con", non significano la stessa e non lo sono. Sono convinto che ci sia per ciascuna un simbolo adatto.
Capisco però che i simboli cambino di significato a seconda del contesto in cui si usano (facciamo in algebra generale?), ma cercate di venirmi un po' incontro suvvia...
ovviamente grazie Gugo, ma non era quello che chiedevo. Spero di essermi spiegato meglio.
Per quel che ne so:
1. $\equiv$ si usa in genere per le congruenze algebriche (ad esempio per la congruenza modulo $m$ in $ZZ$) oppure per dire che due applicazioni sono identicamente uguali ($f\equiv g$ nel senso che $f,g$ hanno stesso insieme di definizione, stessa immagine e stessa legge di assegnazione);
2. $~=$ si usa in genere per la congruenza geometrica (ad esempio, per la congruenza tra figure piane);
3. $~~$ si usa come simbolo di approssimazione asintotica (ad esempio, $x/(x^2+1) ~~ 1/x$ nel senso che $x/(x^2+1)$ è un'infinitesimo in $+oo$ dello stesso ordine di $1/x$);
4. $:=$ si usa per le definizioni (ad esempio, $L(f;t) :=\{ x \in RR :\quad f(x)>=t\}$ serve per definire il significato del simbolo $L(f;t)$);
5. lo "uguale con triangolo" mai usato;
6. il "tilde + 1 trattino" non so...
1. $\equiv$ si usa in genere per le congruenze algebriche (ad esempio per la congruenza modulo $m$ in $ZZ$) oppure per dire che due applicazioni sono identicamente uguali ($f\equiv g$ nel senso che $f,g$ hanno stesso insieme di definizione, stessa immagine e stessa legge di assegnazione);
2. $~=$ si usa in genere per la congruenza geometrica (ad esempio, per la congruenza tra figure piane);
3. $~~$ si usa come simbolo di approssimazione asintotica (ad esempio, $x/(x^2+1) ~~ 1/x$ nel senso che $x/(x^2+1)$ è un'infinitesimo in $+oo$ dello stesso ordine di $1/x$);
4. $:=$ si usa per le definizioni (ad esempio, $L(f;t) :=\{ x \in RR :\quad f(x)>=t\}$ serve per definire il significato del simbolo $L(f;t)$);
5. lo "uguale con triangolo" mai usato;
6. il "tilde + 1 trattino" non so...
Dal fronte algebrico, aggiungo che $cong$ si usa per gli isomorfismi. Per esempio per dire che due oggetti $A$ e $B$ (ad es. spazi vettoriali o gruppi o anelli o moduli su anelli) sono isomorfi si scrive $A cong B$.
"Gorgia":Bravo!
I miei professori li usano assolutamente a caso.
Io vorrei usarli propriamente.
Visto che presumo tu ti riferisca a prof di mate dell'università, prova a chiedere loro se, così stando le cose, non ritengono che sarebbe più dignitoso dare le dimissioni (licenziarsi, intendo).
"Gorgia":Certo, è Dio che li ha creati, tutti assieme, alle ore 18 e 34 del sesto giorno.
"Circa uguale", "congruente", "approssimato con", non significano la stessa e non lo sono. Sono convinto che ci sia per ciascuna un simbolo adatto.
"Gorgia":? "Noi" (?) possiamo venirti incontro. Possiamo anche sbatterti dentro. Ma resta il fatto che quei picchiatelli dei tuoi prof continueranno ad usarli a caso...
Capisco però che i simboli cambino di significato a seconda del contesto in cui si usano (facciamo in algebra generale?), ma cercate di venirmi un po' incontro suvvia...
Provando a tornare serio, ti suggerisco di abituarti alla varietà di notazioni che c'è fra persone, libri, settori, epoche, luoghi diversi
C'è un teorema che così recita:
Per ogni coppia di matematici nel mondo esiste almeno un simbolo che essi interpretano diversamente
Per ogni coppia di matematici nel mondo esiste almeno un simbolo che essi interpretano diversamente
Bisogna stare attenti con quei simboli, in molti casi il significato dipende dal contesto. Per esempio $\cong$ in algebra è usato per indicare che due cose sono isomorfe. In alcuni casi esistono più notazioni per indicare la stessa cosa ma certo non insieme.
Il trattino con un tilde significa "circa". Si usa per indicare quando si approssima un numero. Abbastanza simile quindi al doppio tilde come significato.
Per quanto riguarda il triangolo dalla tavola unicode sembra che sia simile all'uguale con il def... cioé uguale per definizione. Comunque preferisco l'altro simbolo...
Il trattino con un tilde significa "circa". Si usa per indicare quando si approssima un numero. Abbastanza simile quindi al doppio tilde come significato.
Per quanto riguarda il triangolo dalla tavola unicode sembra che sia simile all'uguale con il def... cioé uguale per definizione. Comunque preferisco l'altro simbolo...
C'è differenza tra un tilde e un doppio tilde?
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