Trovare una funzione in base a caratteristiche
Per gli esercizi 1 e 3 credo che sia utile una funzione del tipo $y= a*e^(-x)+b$, che mantiene la decrescenza su tutto $RR$, e poi imporre le altre condizioni per trovare $a$ e $b$.
Ho usato la $e$ per l'esponenziale, ma andava benissimo anche un altro numero maggiore di 1 come $2$ o $3$, la funzione $y= a*2^(-x)+b$ che diventa $y= a*(1/2)^x+b$ va benissimo
Per la continuità senza derivabilità in un punto, invece, è perfetto il valore assoluto $y=|x-pi|$ è continua su tutto $RR$ e derivabile in $RR-{pi}$
Ho usato la $e$ per l'esponenziale, ma andava benissimo anche un altro numero maggiore di 1 come $2$ o $3$, la funzione $y= a*2^(-x)+b$ che diventa $y= a*(1/2)^x+b$ va benissimo
Per la continuità senza derivabilità in un punto, invece, è perfetto il valore assoluto $y=|x-pi|$ è continua su tutto $RR$ e derivabile in $RR-{pi}$
Risposte
Se devi gestire la monotonia, sempre crescenti o sempre decrescenti, ti conviene usare le esponenziali e ricorda che con una semplice esponenziale $y=a*2^x+b$ sempre crescente riesci a gestire un asintoto orizzontale a $-oo$ e un punto.
Se hai asintoti verticali ti sono utili le razionali fratte.
Ovviamente non sono le uniche funzioni che vanno bene, sono solo le più facili da gestire.
Se hai asintoti verticali ti sono utili le razionali fratte.
Ovviamente non sono le uniche funzioni che vanno bene, sono solo le più facili da gestire.
La prima non mi piace, perché il codominio non è aperto in $-1$, ti propongo $f(x)= 2-(3x^2)/(x^2+1)$
Per la seconda l'arcotangente è la sua:
$f(x)= 4/pi arctan x$, a $-oo$ ha come asintoto $y= -2$, a $+oo$ ha come asintoto $y=2$, è dispari e definita su tutto $RR$.
D'altra parte, con una funzione dispari non si può pretendere che a $+oo$ e a $-oo$ ci sia lo stesso asintoto a meno che questo non sia $y=0$.
Per la seconda l'arcotangente è la sua:
$f(x)= 4/pi arctan x$, a $-oo$ ha come asintoto $y= -2$, a $+oo$ ha come asintoto $y=2$, è dispari e definita su tutto $RR$.
D'altra parte, con una funzione dispari non si può pretendere che a $+oo$ e a $-oo$ ci sia lo stesso asintoto a meno che questo non sia $y=0$.
La tua domanda è un po' contorta, forse non l'ho capita.
Comunque, se tende a $-1$ escludendo il punto significa che almeno un limite per $x-> +-oo$ dà come valore $-1$, cioè $y= -1$ è un asintoto orizzontale.
Ho risposto alla tua domanda?
Comunque, se tende a $-1$ escludendo il punto significa che almeno un limite per $x-> +-oo$ dà come valore $-1$, cioè $y= -1$ è un asintoto orizzontale.
Ho risposto alla tua domanda?
Tu chiedi una funzione che deve essere compresa sempre tra $1$ compreso e $\pi$ escluso, dunque deve avere un minimo (o più minimi) in 1 e deve avvicinarsi a $\pi$ senza raggiungerlo. Tu proponevi una funzione con un asintoto verticale, il che è assurdo perché allora la funzione assumerebbe i valori fino ad infinito e dunque non sarebbe più limitata! A me viene in mente una funzione fatta a campana rovesciata, tipo una gaussiana al contrario con qualche aggiustamento... Te ne propongo due:
$f(x) =\pi -(\pi-1)e^(-x^2)$
$f(x)=1+2*(1-\frac{1}{\pi})|\arctan(x)|$
Ciao!
$f(x) =\pi -(\pi-1)e^(-x^2)$
$f(x)=1+2*(1-\frac{1}{\pi})|\arctan(x)|$
Ciao!