Trovare una funzione in base a caratteristiche

@melia
Per gli esercizi 1 e 3 credo che sia utile una funzione del tipo $y= a*e^(-x)+b$, che mantiene la decrescenza su tutto $RR$, e poi imporre le altre condizioni per trovare $a$ e $b$.
Ho usato la $e$ per l'esponenziale, ma andava benissimo anche un altro numero maggiore di 1 come $2$ o $3$, la funzione $y= a*2^(-x)+b$ che diventa $y= a*(1/2)^x+b$ va benissimo

Per la continuità senza derivabilità in un punto, invece, è perfetto il valore assoluto $y=|x-pi|$ è continua su tutto $RR$ e derivabile in $RR-{pi}$

Risposte
@melia
Se devi gestire la monotonia, sempre crescenti o sempre decrescenti, ti conviene usare le esponenziali e ricorda che con una semplice esponenziale $y=a*2^x+b$ sempre crescente riesci a gestire un asintoto orizzontale a $-oo$ e un punto.
Se hai asintoti verticali ti sono utili le razionali fratte.
Ovviamente non sono le uniche funzioni che vanno bene, sono solo le più facili da gestire.

@melia
La prima non mi piace, perché il codominio non è aperto in $-1$, ti propongo $f(x)= 2-(3x^2)/(x^2+1)$

Per la seconda l'arcotangente è la sua:
$f(x)= 4/pi arctan x$, a $-oo$ ha come asintoto $y= -2$, a $+oo$ ha come asintoto $y=2$, è dispari e definita su tutto $RR$.
D'altra parte, con una funzione dispari non si può pretendere che a $+oo$ e a $-oo$ ci sia lo stesso asintoto a meno che questo non sia $y=0$.

@melia
La tua domanda è un po' contorta, forse non l'ho capita.
Comunque, se tende a $-1$ escludendo il punto significa che almeno un limite per $x-> +-oo$ dà come valore $-1$, cioè $y= -1$ è un asintoto orizzontale.
Ho risposto alla tua domanda?

Bremen000
Tu chiedi una funzione che deve essere compresa sempre tra $1$ compreso e $\pi$ escluso, dunque deve avere un minimo (o più minimi) in 1 e deve avvicinarsi a $\pi$ senza raggiungerlo. Tu proponevi una funzione con un asintoto verticale, il che è assurdo perché allora la funzione assumerebbe i valori fino ad infinito e dunque non sarebbe più limitata! A me viene in mente una funzione fatta a campana rovesciata, tipo una gaussiana al contrario con qualche aggiustamento... Te ne propongo due:

$f(x) =\pi -(\pi-1)e^(-x^2)$

$f(x)=1+2*(1-\frac{1}{\pi})|\arctan(x)|$


Ciao!

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