Trovare funzione di una curva.
Salve ragazzi, chiedevo aiuto se potete spiegarmi come risolvere questo esercizio.
"Trovare una funzione da $ R $ a $ R^3 $ che descriva la curva ottenuta intersecando $ y=e^x $ e $ z=xy $ e poi determinare un versore tangente alla curva stessa. "
Vi ringrazio
"Trovare una funzione da $ R $ a $ R^3 $ che descriva la curva ottenuta intersecando $ y=e^x $ e $ z=xy $ e poi determinare un versore tangente alla curva stessa. "
Vi ringrazio
Risposte
Idee tue?
Purtroppo non so proprio in che direzione muovermi.
Innanzitutto, cosa sono gli oggetti che intersechi?
allora, ho la superficie z=xy e la linea Y=e^x. Avevo pensato di procedere ad una loro parametrizzazione in t ...
$ r(t)=e^ti + tj + e^t*tk $
e da qui calcolo poi il versore tangente: $ t(t)=(r'(t))/|(r'(t))| $ ???
e da qui calcolo poi il versore tangente: $ t(t)=(r'(t))/|(r'(t))| $ ???
Ma guarda che \(y=e^x\) non credo sia una linea... Non è che, perché in un'equazione manca una variabile, tale variabile proprio non esiste. 
mmm non ti seguo scusami. E' una funzione in R y=e^x ...
Ma non direi proprio...
\(z=xy\) cos'è?
E quindi che cos'è anche \(y=e^x\)?
\(z=xy\) cos'è?
E quindi che cos'è anche \(y=e^x\)?
z=xy una superficie.
y=e^x un'altra superficie ?
y=e^x un'altra superficie ?
riprovo con quest'altro ragionamento:
entrambe le equazioni date rappresentano superfici.
Calcolo i vettori normali delle due superfici, e facendo il loro prodotto vettoriale trovo il vettore tangente, visto che è perpendicolare alle normali...
entrambe le equazioni date rappresentano superfici.
Calcolo i vettori normali delle due superfici, e facendo il loro prodotto vettoriale trovo il vettore tangente, visto che è perpendicolare alle normali...
"AlSr":
z=xy una superficie.
y=e^x un'altra superficie ?
Dillo bene... Le relazioni \(z=xy\) ed \(y=e^x\) sono le equazioni cartesiane di due superfici, chiamiamole \(S_1\) ed \(S_2\).
In particolare, \(S_1\) ed \(S_2\) sono due superfici-grafico, la prima della funzione \((x,y)\mapsto xy\) e la seconda della funzione \((x,z)\mapsto e^x\) (entrambe definite in \(\mathbb{R}^2\)), cioé:
\[
\begin{split}
S_1 &:= \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3:\ (x,y)\in \mathbb{R}^2 \text{ e } z=xy\}\\
S_2 &:= \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3:\ (x,z)\in \mathbb{R}^2 \text{ e } y=e^x\}\; .
\end{split}
\]
Per essere ancora più precisi, la \(S_1\) è una superficie quadrica, specificamente un paraboloide iperbolico (a sella!); mentre \(S_2\) è una superficie rigata, specificamente la superficie cilindrica generata da rette parallele all'asse \((z)\) passanti per il grafico della funzione esponenziale \(x\mapsto e^x\) tracciato sul piano \(Oxy\).
Ora, è intuitivamente più chiaro che l'intersezione di tali superfici può essere una curva, no?
Benissimo.
Per trovare una funzione che descriva tale curva, devi "risolvere" il sistema (di due equazioni in tre incognite):
\[
\begin{cases}
z=xy\\
y=e^x\; ,
\end{cases}
\]
il quale si ottiene imponendo al generico punto \((x,y,z)\) di \(\mathbb{R}^3\) le condizioni di appartenenza ad \(S_1\) ed \(S_2\) contemporaneamente.
Chiaramente, in tale sistema c'è "un'incognita di troppo", che non puoi sperare di ricavare, perché ci sono troppe incognite rispetto al numero di equazioni... Quindi devi scegliere di chiamare "parametro" una delle tre incognite (quale delle tre sta a te deciderlo) e devi risolvere il sistema, esplicitando le restanti due incognite rispetto al "parametro".
Fatto ciò troverai la funzione che descrive la curva-intersezione di \(S_1\) ed \(S_2\).
grazie 1000 per la spiegazione.
Quindi, seguimi se sbaglio, mi trovo:
$ { ( x=t ),( y=e^t ),( z=t*e^t ):} $
ed ottengo la funzione:
$ r(t)=ti + e^tj + t*e^tk $
Quindi, seguimi se sbaglio, mi trovo:
$ { ( x=t ),( y=e^t ),( z=t*e^t ):} $
ed ottengo la funzione:
$ r(t)=ti + e^tj + t*e^tk $
r(t) = t i + e^t j + te^t z
il versore tangente lo trovi derivando rispetto a t e dividendo per il modulo
r'(t) = (i + e^t j + (t+1)z) / sqrt(1+(2+2t+t^2)e^2t)
il versore tangente lo trovi derivando rispetto a t e dividendo per il modulo
r'(t) = (i + e^t j + (t+1)z) / sqrt(1+(2+2t+t^2)e^2t)
"AlSr":
grazie 1000 per la spiegazione.
Quindi, seguimi se sbaglio, mi trovo:
$ { ( x=t ),( y=e^t ),( z=t*e^t ):} $
ed ottengo la funzione:
$ r(t)=ti + e^tj + t*e^tk $
Yes.
L'unica cosa che rimane da specificare è il dominio base della funzione, il quale è evidentemente tutto \(\mathbb{R}\).
Per la faccenda del vettore tangente, puoi procedere in due modi: o come hai detto tu prima (facendo il prodotto vettoriale dei vettori normali alle superfici, calcolati lungo i punti della curva), oppure come ha detto wushu (ossia usando la definizione di vettore tangente come derivata della parametrizzazione).
perfetto!! vi ringrazio e scusatemi per l'ignoranza 
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