Trasformazioni invertibili

[Lali1]

Data la trasformazione

$ T:{ ( x=u^3+2v ),( y=2u+v^3 ):} $
chiede
a)di analizzare la sua invertibilità
b)trovare la jacobiana dell'inversa
b)calcolare il valore dell'inversa nel punto (0,0)

Svolgimento:
$ T in C^1 di RR $
La jacobiana diventa: $ {: ( 3u^2 , 2 ),( 2 , 3v^2 ) :} $
Il cui determinante si annulla per

uv=+-(2/3) allora la trasformazione è invertibile in tutto R tranne quelle iperboli.

La jacobiana dell'inversa non è che l'inversa della jacobiana

ma per calcolare l'inversa in (0,0) non so come fare...
(ho abbreviato alcuni passaggi di puri e semplici calcoli perchè non erano quelli a suscitarmi dubbi...)

[dissonance]

"Lali":uv=+-(2/3) allora la trasformazione è invertibile in tutto R tranne quelle iperboli.

Eh no, non te la cavi così. Qui non sei in $RR$, in cui una funzione con la derivata non nulla in tutto un intervallo è invertibile. Esistono funzioni di più variabili a valori vettoriali che non sono globalmente invertibili pur avendo matrice Jacobiana non singolare in ogni punto: l'esempio classico è l'esponenziale complessa (hai studiato un po' di Analisi Complessa? Se no, cerca sul tuo libro di analisi la versione reale di questo esempio). Però dal teorema della funzione inversa puoi dire che una funzione con matrice Jacobiana non singolare in un punto è localmente invertibile.

Per il punto b), invece, hai fatto bene, devi invertire la matrice Jacobiana (attenzione: a meno che tu non riesca a dimostrare che $T$ è globalmente invertibile, l'inversa della matrice Jacobiana è la mat. Jacobiana di una inversa locale).

Per il punto c) io imporrei $(x, y)=(0, 0)$ e risolverei in $(u, v)$.

[Lali1]

Si, la discussione dell'invertibilità locale l'ho già fatta
richiamo il teorema del Dini e rivedo la trasformazione come grafico ecc ecc...
mi sono spiegata male, volevo dire che è localmente invertibile in tutto R tranne le iperboli
quindi
$ { ( u^3+2v=0 ),( 2u+v^3=0 ):} $
ma così ottengo i valori di T in (0,0)
mentre il problema chiede il valore dell'inversa in (0,0)

[dissonance]

No, se risolvi in $(u, v)$ ottieni il valore dell'inversa locale. Guarda:

$(x, y)=T(u, v)$, ovvero $T^(-1)(x, y)=(u, v)$.

In particolare

$(0, 0)=T(u_0, v_0)$ ovvero $T^(-1)(0, 0)=(u_0, v_0)$.

Si tratta di trovare $(u_0, v_0)$, ovvero di risolvere l'equazione $(0, 0)=T(u_0, v_0)$.

[Lali1]

L'ho fatto ma trovo due valori di (u,v): (0,0) e ($ sqrt(2) ;-sqrt(2) $ )
ha senso come soluzione?o devo discutere ulteriormente quello che trovo?

[dissonance]

Questo dimostra che la funzione non è globalmente invertibile, e ci sono due inverse locali che assumono il valore $(0, 0)$.

[Lali1]

Perfetto,
quindi dopo aver trovato gli eventuali valori posso concludere che esistono due inverse in "prossimità" del punto (0,0)
E per tanto esistono due inverse locali ma proprio per questo non ne esiste una globale.
è corretta come conclusione?

[dissonance]

Ok. Evita di dire "esistono due inverse", però. Meglio: "esistono due inverse locali".