Trasformata di Laplace di due funzioni
Salve a tutti,
avrei bisogno di aiuto per la risoluzione di un paio di trasformate di laplace: il testo (degli ex) sono due grafici (entrambi che vanno da 0 a $+\infty$). Innanzitutto devo capire che funzione sono quei grafici e quindi farne la trasformata di laplace ma non passando per la definizione (e quindi l'integrale) ma solo attraverso le trasformate notevoli.
Il primo è quello relativo ad una raddrizzata a doppia semionda quindi ho pensato che posso verderla come $|sin(t)|$. Ora però non so farne la trasformata. (se fosse stato un $sin(t)$ semplice con le formule avrei detto subito $ 1/(s^2+1) $ ma del modulo non mi viene in mente nulla in modo da renderlo trasformabile)
Il secondo è ralativo ad una raddrizzata a singola semionda e per questo non saprei neanche con che funzione esprimere il grafico, di cui poi andare a fare la trasformata
Grazie
avrei bisogno di aiuto per la risoluzione di un paio di trasformate di laplace: il testo (degli ex) sono due grafici (entrambi che vanno da 0 a $+\infty$). Innanzitutto devo capire che funzione sono quei grafici e quindi farne la trasformata di laplace ma non passando per la definizione (e quindi l'integrale) ma solo attraverso le trasformate notevoli.
Il primo è quello relativo ad una raddrizzata a doppia semionda quindi ho pensato che posso verderla come $|sin(t)|$. Ora però non so farne la trasformata. (se fosse stato un $sin(t)$ semplice con le formule avrei detto subito $ 1/(s^2+1) $ ma del modulo non mi viene in mente nulla in modo da renderlo trasformabile)
Il secondo è ralativo ad una raddrizzata a singola semionda e per questo non saprei neanche con che funzione esprimere il grafico, di cui poi andare a fare la trasformata
Grazie
Risposte
Beh non è affatto semplice, l'unica idea che mi viene è quella di applicare la definizione di valore assoluto.
Per il secondo problema è sufficiente moltiplicare la funzione seno per il gradino unitario che si annulla in corrispondenza di $pi$
Per il secondo problema è sufficiente moltiplicare la funzione seno per il gradino unitario che si annulla in corrispondenza di $pi$
Beh non è affatto semplice, l'unica idea che mi viene è quella di applicare la definizione di valore assoluto.
Cioè dire che la funzione è sin(t) quando sin(t)>0 e -sin(t) quando sin(t)<0? Se si, non so comunque come andare avanti.
Per il secondo problema è sufficiente moltiplicare la funzione seno per il gradino unitario che si annulla in corrispondenza di π
Non capisco a parole
in formula sarebbe ciò che hai detto?
Come non sai andare avanti?!? La funzione seno la sai trasformare quindi che problema hai?
Per quanto riguarda il secondo, sforzati tu di capire le parole: applica alla funzione seno la funzione di Heaviside in modo che ti risulti un seno da $0$ a $pi$ e zero altrove.
Ti consiglio, se posso, di partire prima dal secondo problema in quanto è più facile da risolvere e ti aiuta a capire come applicare la funzione a gradino
Per quanto riguarda il secondo, sforzati tu di capire le parole: applica alla funzione seno la funzione di Heaviside in modo che ti risulti un seno da $0$ a $pi$ e zero altrove.
Ti consiglio, se posso, di partire prima dal secondo problema in quanto è più facile da risolvere e ti aiuta a capire come applicare la funzione a gradino
Quindi banalmente $ 1/(s^2+1) $ per la prima e $ -1/(s^2+1) $ per la seconda? Però se per sint avrei detto vale da $0$ a $\pi$, da $2\pi$ a $3\pi$ e così via, (mentre per -sint avrei detto da $\pi$ a $2\pi$, da $3\pi$ a $4\pi$,ecc) come esprimo il fatto che la prima trasformata corrisponde a quegli intervalli e la seconda a quegli altri? Cioè la prima vale per s appartenente a? 
Per il secondo non devo semplicemente trovare la funzione da da $0$ a $\pi$ ma è un seno da $0$ a $\pi$, da $2\pi$ a $3\pi$, da $4\pi$ a $5\pi$, fino all'infitito (con gli intervalli di mezzo nulli). Come faccio con la funzione gradino?
Per il secondo non devo semplicemente trovare la funzione da da $0$ a $\pi$ ma è un seno da $0$ a $\pi$, da $2\pi$ a $3\pi$, da $4\pi$ a $5\pi$, fino all'infitito (con gli intervalli di mezzo nulli). Come faccio con la funzione gradino?
Ragioniamo prima sul secondo che è più facile. Devi scrivere in funzione del tempo ( e poi trasformare secondo Laplace ) la funzione della tensione in uscita da un raddrizzatore a semplice semionda. Ora la semionda $v(t)$ in questione è così definita ( relativamente ad un periodo ):
$ v(t)={ ( sen(t), 0<=t<=pi ),( 0, pi
La funzione $v(t)$ in termini analitici può essere scritta in questo modo:
$ v(t)=sen(t)eta (pi-t) $
Infatti, così facendo, si vede che:
$ v(t)=sen(t)eta (pi-t)={ ( sen(t)*1, 0<=t<=pi ),( 0, pi
Trasformare secondo Laplace la $v(t)$ così ottenuta è semplice e si può fare secondo $3$ strade:
$1$ Calcolando per intero l'integrale di Laplace ( cosa assai facile trovandosi in presenza della funzione di Heaviside );
$2$ Applicando il teorema dello shifting o traslazione nel dominio del tempo;
$3$ Applicando la regola della convoluzione ( cosa ancora una volta banale data la presenza della funzione di Heaviside ).
Scegli tu quale strada percorrere, ma il risultato sarà sempre uguale.
$ v(t)={ ( sen(t), 0<=t<=pi ),( 0, pi
La funzione $v(t)$ in termini analitici può essere scritta in questo modo:
$ v(t)=sen(t)eta (pi-t) $
Infatti, così facendo, si vede che:
$ v(t)=sen(t)eta (pi-t)={ ( sen(t)*1, 0<=t<=pi ),( 0, pi
Trasformare secondo Laplace la $v(t)$ così ottenuta è semplice e si può fare secondo $3$ strade:
$1$ Calcolando per intero l'integrale di Laplace ( cosa assai facile trovandosi in presenza della funzione di Heaviside );
$2$ Applicando il teorema dello shifting o traslazione nel dominio del tempo;
$3$ Applicando la regola della convoluzione ( cosa ancora una volta banale data la presenza della funzione di Heaviside ).
Scegli tu quale strada percorrere, ma il risultato sarà sempre uguale.
Ecco perchè non capivo. Io pensavo alla funzione gradino classica $\eta(t-pi)$, quindi non riuscivo a visualizzarmelo il grafico.
Però ho ancora il dubbio del fatto di considerare solo un periodo. Non viene diversa poi la trasformata?
Comunque tornando alla risoluzione della trasformata delle tre strade io devo saper fare la seconda, però in questo caso col gradino "rovesciato" come si applica quel teorema? (fosse stata da trasformare la funzione $\sin(t)*eta(t-pi)$, avrei sottratto e aggiunto dentro il seno $\pi$ quindi usato la formula di addizione del seno per arrivare a $\-sin(t-pi)*eta(t-pi)$ che avrei trasformato agevolmente in $\-e^(-pi*s)/(s^2+1)$)
Però ho ancora il dubbio del fatto di considerare solo un periodo. Non viene diversa poi la trasformata?
Comunque tornando alla risoluzione della trasformata delle tre strade io devo saper fare la seconda, però in questo caso col gradino "rovesciato" come si applica quel teorema? (fosse stata da trasformare la funzione $\sin(t)*eta(t-pi)$, avrei sottratto e aggiunto dentro il seno $\pi$ quindi usato la formula di addizione del seno per arrivare a $\-sin(t-pi)*eta(t-pi)$ che avrei trasformato agevolmente in $\-e^(-pi*s)/(s^2+1)$)
Per la funzione di Heaviside vale la seguente proprietà:
$ eta (t-a)+eta(a-t)=1 $
Per cui, nel tuo caso puoi scrivere:
$ eta(pi-t)=1-eta(t-pi) $
ed ottieni la funzione di Heaviside nella forma che conosci.
Per quanto riguarda la trasformata di Laplace, si ha:
$ L[sen(t)eta(pi-t)]=L[sen(t)(1-eta(t-pi))]=L[sen(t)]-L[sen(t)eta(t-pi)] $
ed ora non dovresti avere più problemi in quanto il primo addendo è la trasformata di un seno ed il secondo è la proprietà di shifting
$ eta (t-a)+eta(a-t)=1 $
Per cui, nel tuo caso puoi scrivere:
$ eta(pi-t)=1-eta(t-pi) $
ed ottieni la funzione di Heaviside nella forma che conosci.
Per quanto riguarda la trasformata di Laplace, si ha:
$ L[sen(t)eta(pi-t)]=L[sen(t)(1-eta(t-pi))]=L[sen(t)]-L[sen(t)eta(t-pi)] $
ed ora non dovresti avere più problemi in quanto il primo addendo è la trasformata di un seno ed il secondo è la proprietà di shifting
Ottimo
Torno però al mio dubbio: dico ciò perchè il prof ci ha fatto partire prima dalla funzione seno valevole solo da $ 0 $ a $ pi $ (quindi un lobo solo). Poi ha detto provate a fare quella con infiti lobi. Quindi se io ogni volta mi pongo solo nel primo periodo è come se facessi quella limitata di partenza quindi non vedo il nesso della domanda, capisci cosa intendo?
Torno però al mio dubbio: dico ciò perchè il prof ci ha fatto partire prima dalla funzione seno valevole solo da $ 0 $ a $ pi $ (quindi un lobo solo). Poi ha detto provate a fare quella con infiti lobi. Quindi se io ogni volta mi pongo solo nel primo periodo è come se facessi quella limitata di partenza quindi non vedo il nesso della domanda, capisci cosa intendo?
Capito come fare un lobo, se vuoi, ad esempio, due lobi ti è sufficiente traslare di mezzo periodo il primo lobo e sommarlo, ti pare?
Quindi ogni volta è una taslazione temporale. Il difficile era trovare il primo lobo
Quindi ogni volta è una taslazione temporale. Il difficile era trovare il primo lobo
Si giusto, infatti non avrei problemi se i lobi fossero finiti. Ma appunto sono infiti come faccio? Dovrei fare una serie ma probabilmente non la saprei risolvere poi. O il prof effettivamente ha dato un ex troppo difficile o non ne ho idea
Si alla fine diviene una sommatoria, ma essendo la trasformata di Laplace una sommatoria, vale il teorema di finita additività, per cui l'integrale di una somma è la somma degli integrali e quindi nessuna paura.
Prova, per esempio, ad ottenere solo due lobi ( di cui il primo te l'ho già trovato io ) e poi generalizza il tutto per infiniti lobi
Prova, per esempio, ad ottenere solo due lobi ( di cui il primo te l'ho già trovato io ) e poi generalizza il tutto per infiniti lobi
Sono buono oggi, trova la relazione per il secondo lobo ed io dopo ti posto la sommatoria per gli infiniti lobi 
Allora per un lobo soltanto farei in questo modo: $ sin(t)*[eta(t)-eta(t-pi)] $ ; il secondo similarmente: $ sin(t)*[eta(t-pi)-eta(t-2pi)] $, ovviamente in questo modo il secondo lobo è giustamente negativo quindi in definitiva per ottenere i due lobi affiancati: $ {sin(t)*[eta(t)-eta(t-pi)]} - { sin(t)*[eta(t-pi)-eta(t-2pi)]} $.
Poi se volessi una funzione a 4 lobi: $ {sin(t)*[eta(t)-eta(t-pi)]} - { sin(t)*[eta(t-pi)-eta(t-2pi)]} +{ sin(t)*[eta(t-2pi)-eta(t-3pi)]} - { sin(t)*[eta(t-3pi)-eta(t-4pi)]}$
Tornando a quella a due lobi, facendo i vari conti (opero con quel trucco che avevo scritto prima, usando la formula di addizione del seno) arrivo al risultato: $ 1/(s^2+1) + 2*e^(-pi*s)/(s^2+1) + e^(-2*pi*s)/(s^2+1) $
Ecco io più di questo non so fare
ossia con lobi infiniti 
Poi se volessi una funzione a 4 lobi: $ {sin(t)*[eta(t)-eta(t-pi)]} - { sin(t)*[eta(t-pi)-eta(t-2pi)]} +{ sin(t)*[eta(t-2pi)-eta(t-3pi)]} - { sin(t)*[eta(t-3pi)-eta(t-4pi)]}$
Tornando a quella a due lobi, facendo i vari conti (opero con quel trucco che avevo scritto prima, usando la formula di addizione del seno) arrivo al risultato: $ 1/(s^2+1) + 2*e^(-pi*s)/(s^2+1) + e^(-2*pi*s)/(s^2+1) $
Ecco io più di questo non so fare
ossia con lobi infiniti
Hai sbagliato la traslazione, per traslare una funzione $f(t)$ di una quantità $a$, devi fare $f(t-a)eta(t-a)$
Si ma non sto traslando. Sto prendendo il seno e lo moltiplico per un impulso unitario di intervallo $ pi $. Rispettivamente il primo è l'impulso tra $ 0 $ e $ pi $ e il secondo è quello tra $ pi $ a $ 2*pi $.
L'ho fatta disegnare ad un programma al pc e dovrebbe essere giusta.
L'ho fatta disegnare ad un programma al pc e dovrebbe essere giusta.
Scusa, tu cosa vuoi farne del primo lobo? Mi sono perso forse io, spiegamelo
Voglio replicarlo infinite volte.
Ma per ora avevamo detto ne facciamo due. E quello che ho fatto io è esattamente quello, forse un po contorto. In effetti potevo più semplicemnte dire che un lobo è: $ sin(t)*eta(t) + sin(t-pi)*eta(t-pi) $ mentre se voglio anche il secondo deve sommare a questo $ sin(t-pi)*eta(t-pi) + sin(t-2pi)*eta(t-2pi) $. E così ottenere $ sin(t)*eta(t) + 2sin(t-pi)*eta(t-pi) + sin(t-2pi)*eta(t-2pi) $ che porta alla trasformata che ho scritto prima.
Ma per ora avevamo detto ne facciamo due. E quello che ho fatto io è esattamente quello, forse un po contorto. In effetti potevo più semplicemnte dire che un lobo è: $ sin(t)*eta(t) + sin(t-pi)*eta(t-pi) $ mentre se voglio anche il secondo deve sommare a questo $ sin(t-pi)*eta(t-pi) + sin(t-2pi)*eta(t-2pi) $. E così ottenere $ sin(t)*eta(t) + 2sin(t-pi)*eta(t-pi) + sin(t-2pi)*eta(t-2pi) $ che porta alla trasformata che ho scritto prima.
Io l'ho fatto così, giusto per confronto.
Ho preso il primo lobo di equazione $ sen(t)[1-eta(t-pi)] $ e l'ho traslato temporalmente di $pi$ e l'ho sommato al precedente, ottenendo la funzione $ {sen(t)[1-eta(t-pi)]+sen(t-pi)[1-eta(t-pi-pi)]}eta(t-pi) $.
Iterando il discorso, per ottenere infiniti lobi si ha $ sum_(k = 0...+oo){ sen(t-kpi)[1-eta(t-pi-kpi)]}eta(t-kpi) $ che per ogni k ti da i lobi che desideri ( ad esempio, $k=0$ hai solo il primo lobo, $k=1$ hai i primi due lobi e via dicendo )
Ho preso il primo lobo di equazione $ sen(t)[1-eta(t-pi)] $ e l'ho traslato temporalmente di $pi$ e l'ho sommato al precedente, ottenendo la funzione $ {sen(t)[1-eta(t-pi)]+sen(t-pi)[1-eta(t-pi-pi)]}eta(t-pi) $.
Iterando il discorso, per ottenere infiniti lobi si ha $ sum_(k = 0...+oo){ sen(t-kpi)[1-eta(t-pi-kpi)]}eta(t-kpi) $ che per ogni k ti da i lobi che desideri ( ad esempio, $k=0$ hai solo il primo lobo, $k=1$ hai i primi due lobi e via dicendo )
E' sbagliato. Così ottieni il primo lobo, poi il secondo ma contemporanemante il primo sparisce, poi il terzo senza i primi due. Stai facendo solo una traslazione così.
A me serve il primo+il secondo+...+n-esimo
Però tralasciando come fare i singoli lobi (prima te l'ho scritto ed è giusto) come posso poi risolvere la trasformata di una serie?
A me serve il primo+il secondo+...+n-esimo
Però tralasciando come fare i singoli lobi (prima te l'ho scritto ed è giusto) come posso poi risolvere la trasformata di una serie?
Assolutamente no, l'ho implementata anche in matlab e funziona, fidati
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