Trasformata di Laplace
Ciao a tutti,
c'è qualcuno che può darmi una mano?
Ho un sistema descritto dall'equazione differenziale: $(d^2y(t))/(dt^2)+4 (dy(t))/(dt)+3y(t)=(dx(t))/(dt)+2x(t)$ con condizioni $y(0-)=1$ e $dot y(0-)=-1$.
Come si fa la trasformata di laplace?
Grazie 1000!
c'è qualcuno che può darmi una mano?
Ho un sistema descritto dall'equazione differenziale: $(d^2y(t))/(dt^2)+4 (dy(t))/(dt)+3y(t)=(dx(t))/(dt)+2x(t)$ con condizioni $y(0-)=1$ e $dot y(0-)=-1$.
Come si fa la trasformata di laplace?
Grazie 1000!
Risposte
Utilizza le formule di derivazione della trasformata:
$L(dy/dt)=sY(s)-y(0^-)$
$L(dy^2/dt^2)=s^2Y(s)-sy(0^-)-dy/dt(0^-)$
$L(y(t))=Y(s)$
$L(dx/dt)=sX(s)-x(0^-)$
$L(x(t))=X(s)$
$L(dy/dt)=sY(s)-y(0^-)$
$L(dy^2/dt^2)=s^2Y(s)-sy(0^-)-dy/dt(0^-)$
$L(y(t))=Y(s)$
$L(dx/dt)=sX(s)-x(0^-)$
$L(x(t))=X(s)$
$s^2Y(s)-sy(0^-)-dy/dt(0^-)+4[sY(s)-y(0^-)]+3Y(s)=sX(s)-y(0^-)+2X(s)$; tenedo conto delle condizioni iniziali $y(0^-)=1$ e $doty(0^-)=-1$ ottengo:
$s^2Y(s)-s-(-1)+4[sY(s)-1]+3Y(s)=sX(s)-1+2X(s)$ da cui: $s^2Y(s)+4sY(s)+3Y(s)-s-3=sX(s)-1+2X(s)$; mettendo in evidenza:
$[s^2+4s+3]Y(s)=(s+2)X(s)+(s+3)-1$ .....grazie legendre, anche se ho un piccolo problemino....nel risultato che ho a disposizione non c'è il $-1$ (quello dopo $(s+3)$)
E' giusta così?
Ancora grazie!
$s^2Y(s)-s-(-1)+4[sY(s)-1]+3Y(s)=sX(s)-1+2X(s)$ da cui: $s^2Y(s)+4sY(s)+3Y(s)-s-3=sX(s)-1+2X(s)$; mettendo in evidenza:
$[s^2+4s+3]Y(s)=(s+2)X(s)+(s+3)-1$ .....grazie legendre, anche se ho un piccolo problemino....nel risultato che ho a disposizione non c'è il $-1$ (quello dopo $(s+3)$)
E' giusta così?
Ancora grazie!
Si e' giusto cosi' viene:
$Y(s)=(s+2)/(s^+4s+3)+X(s)(s+2)/(s^+4s+3)$.Ora suppongo che ti dia un segnale $x(t)$ in ingresso da cui fai $L(x(t))=X(s)$
e ti fai l'antitrasformata di $L^-1[Y(s)]=y(t)$
$Y(s)=(s+2)/(s^+4s+3)+X(s)(s+2)/(s^+4s+3)$.Ora suppongo che ti dia un segnale $x(t)$ in ingresso da cui fai $L(x(t))=X(s)$
e ti fai l'antitrasformata di $L^-1[Y(s)]=y(t)$
Seguendo la traccia dell'esercizio c'è da calcolare la trasformata dell'evoluzuione libera $y_l (t)$....come si fa?
"bius88":
Seguendo la traccia dell'esercizio c'è da calcolare la trasformata dell'evoluzuione libera $y_l (t)$....come si fa?
per definizione, l' evoluzione libera è la parte di $Y(s)$ che non viene moltiplicata per $X(s)$, in quanto l' evo. libera è la risposta ad ingressi spenti e cond. iniziali non nulle.
"stefano_89":
[quote="bius88"]Seguendo la traccia dell'esercizio c'è da calcolare la trasformata dell'evoluzuione libera $y_l (t)$....come si fa?
per definizione, l' evoluzione libera è la parte di $Y(s)$ che non viene moltiplicata per $X(s)$, in quanto l' evo. libera è la risposta ad ingressi spenti e cond. iniziali non nulle.[/quote]
Quindi nel mio caso è $s+3$
"bius88":
[quote="stefano_89"][quote="bius88"]Seguendo la traccia dell'esercizio c'è da calcolare la trasformata dell'evoluzuione libera $y_l (t)$....come si fa?
per definizione, l' evoluzione libera è la parte di $Y(s)$ che non viene moltiplicata per $X(s)$, in quanto l' evo. libera è la risposta ad ingressi spenti e cond. iniziali non nulle.[/quote]
Quindi nel mio caso è $s+3$[/quote]
no, devi esplicitare completamente $Y(s)$, cioè usare la forma scritta la legendre.
Ok.....dunque:$Y_l (s)=(s+3)/(s^2+4s+3)$.....scomponendo il denominatore ho: $Y_l(s)=(s+3)/((s+1)(s+3))= 1/(s+1)$
ok..
ora dovrei fare l'antitrasformata...ci sono delle tabelle? cmq dovrebbe essere $y_l (t)=e^-t u(t)$
ora devo calcolare la trasformata della risposta forzata dunque stavolta devo considerare il termine moltiplicato ad $X(s)$.....è così?
Se si viene: $y_f (s)= ((s+2)X(s))/(s^2+4s+3)=((s+2)X(s))/((s+1)(s+3))$.
ora trovo la funzione di trasferimento $G(s)= (Y_f (s))/(X(s))=(s+2)/((s+1)(s+3))$
Va bene??
Grazie di cuore!
Se si viene: $y_f (s)= ((s+2)X(s))/(s^2+4s+3)=((s+2)X(s))/((s+1)(s+3))$.
ora trovo la funzione di trasferimento $G(s)= (Y_f (s))/(X(s))=(s+2)/((s+1)(s+3))$
Va bene??
Grazie di cuore!
sisi è giusto..
se le condizioni iniziali sono nulle $y(0)=0,dy=0$ la risposta $y(t)$ e' proprio la risposta forzata $y_f$ e la $Y_f(s)$ e' la trasformata di Laplace della risposta forzata $y_f$
visto che fin qua è giusto procedo con l'esercizio:
siccome devo determinare l'uscita $y(t)$ per $x(t)=6u(t)$ $rArr$ $X(s)=6/s$ dunque: $Y_f (s)=(6(s+2))/(s(s+1)(s+3))=K_1/s + K_2/(s+1) + K_3/(s+3)$
Come faccio a trovare i valori di $K$?
Grazie
siccome devo determinare l'uscita $y(t)$ per $x(t)=6u(t)$ $rArr$ $X(s)=6/s$ dunque: $Y_f (s)=(6(s+2))/(s(s+1)(s+3))=K_1/s + K_2/(s+1) + K_3/(s+3)$
Come faccio a trovare i valori di $K$?
Grazie
Eureka! $K_i=(s-p_i)(P(s))/(Q(s))$ .....ma non esce.....il denominatore viene $0$ e di conseguenza $K_1=oo$
Come si fa?
Grazie
Come si fa?
Grazie
"bius88":
Eureka! $K_i=(s-p_i)(P(s))/(Q(s))$ .....ma non esce.....il denominatore viene $0$ e di conseguenza $K_1=oo$
Come si fa?
Grazie
sei sulla strada giusta, ma non capisco come facciamo a venirti zeri, ricontrolla i calcoli..
P.S. queste cose stai provando a studiarle da solo o stai seguendo qualche corso ?
li posto così evitiamo incomprensioni:
da quella formula viene: $K_1= (6(s+2))/((s+1)(s+3))$, devo sostituire $0$ poiché $s$ è da solo (per es. se ho $s+4$ devo sostituire con $-4$......era questo che non avevo capito!!)
Quindi ho: $(6((0)+2))/(((0)+1)((0)+3))$ $rArr$ $(6(2))/((1)(3))$$rArr$ $12/3=4$
$K_2= (6(s+2))/(s(s+3))$, devo sostituire $-1$ poichè al denominatore ho $s+1$ $rArr$ $(6((-1)+2))/(-1((-1)+3))$ $rArr$ $(6(1))/(-1(2))$ $rArr$ $(6)/(-2)=-3$
$K_3= (6(s+2))/(s(s+1))$, devo sostituire $-3$ poichè al denominatore ho $s+3$ $rArr$ $(6((-3)+2))/(-3((-3)+1))$ $rArr$ $(6(-1))/(-3(-2))$ $rArr$ $(-6)/(6)=-1$
$F(s)=4/s+(-3)/(s+1)+(-1)/(s+3)$ antitrasformando si ottiene: $y_f (t)= 4e^(0t)-3e^(-1t)-1e^(-3t)$ o meglio: $y_f (t)= (4-3e^(-t)-e^(-3t)) u(t)$
Ora penso proprio che sia corretta!!
Fatemi sapere
Grazie
P.S. Ho già seguito un corso...
da quella formula viene: $K_1= (6(s+2))/((s+1)(s+3))$, devo sostituire $0$ poiché $s$ è da solo (per es. se ho $s+4$ devo sostituire con $-4$......era questo che non avevo capito!!)
Quindi ho: $(6((0)+2))/(((0)+1)((0)+3))$ $rArr$ $(6(2))/((1)(3))$$rArr$ $12/3=4$
$K_2= (6(s+2))/(s(s+3))$, devo sostituire $-1$ poichè al denominatore ho $s+1$ $rArr$ $(6((-1)+2))/(-1((-1)+3))$ $rArr$ $(6(1))/(-1(2))$ $rArr$ $(6)/(-2)=-3$
$K_3= (6(s+2))/(s(s+1))$, devo sostituire $-3$ poichè al denominatore ho $s+3$ $rArr$ $(6((-3)+2))/(-3((-3)+1))$ $rArr$ $(6(-1))/(-3(-2))$ $rArr$ $(-6)/(6)=-1$
$F(s)=4/s+(-3)/(s+1)+(-1)/(s+3)$ antitrasformando si ottiene: $y_f (t)= 4e^(0t)-3e^(-1t)-1e^(-3t)$ o meglio: $y_f (t)= (4-3e^(-t)-e^(-3t)) u(t)$
Ora penso proprio che sia corretta!!
Fatemi sapere
Grazie
P.S. Ho già seguito un corso...
Continuo l'esercizio (con la speranza che sopra sia tutto ok...)
L'evoluzione libera è solo di tipo transitorio, mentre l'eoluzione forzata ha una parte a regime $y_r (t)=4u(t)$ e una parte transitoria $y_f_t (t)=(-3e^(-t)-e^(-3t))u(t)$.
La risposta complessiva è : $y(t)=y_l(t)+ y_(f )(t)= e^(-t)u(t)+(4-3e^(-t)-e^(-3t))u(t)=(4-2e^(-t)-e^(-3t))u(t)$
Come faccio a tracciare l'andamento di $y(t)$?
Grazie!
L'evoluzione libera è solo di tipo transitorio, mentre l'eoluzione forzata ha una parte a regime $y_r (t)=4u(t)$ e una parte transitoria $y_f_t (t)=(-3e^(-t)-e^(-3t))u(t)$.
La risposta complessiva è : $y(t)=y_l(t)+ y_(f )(t)= e^(-t)u(t)+(4-3e^(-t)-e^(-3t))u(t)=(4-2e^(-t)-e^(-3t))u(t)$
Come faccio a tracciare l'andamento di $y(t)$?
Grazie!
se per tracciare l'andamento intendi disegnare il grafico credo che sia un'impresa ardua da fare manualmente, prova a inserire "2*e^(-x) + e^(-3*x) +4" su questo plotter
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