Trasformata di Laplace
Ciao a tutti,
c'è qualcuno che può darmi una mano?
Ho un sistema descritto dall'equazione differenziale: $(d^2y(t))/(dt^2)+4 (dy(t))/(dt)+3y(t)=(dx(t))/(dt)+2x(t)$ con condizioni $y(0-)=1$ e $dot y(0-)=-1$.
Come si fa la trasformata di laplace?
Grazie 1000!
c'è qualcuno che può darmi una mano?
Ho un sistema descritto dall'equazione differenziale: $(d^2y(t))/(dt^2)+4 (dy(t))/(dt)+3y(t)=(dx(t))/(dt)+2x(t)$ con condizioni $y(0-)=1$ e $dot y(0-)=-1$.
Come si fa la trasformata di laplace?
Grazie 1000!
Risposte
"eliotsbowe":
se per tracciare l'andamento intendi disegnare il grafico credo che sia un'impresa ardua da fare manualmente, prova a inserire "2*e^(-x) + e^(-3*x) +4" su questo plotter
Purtroppo è così, devo tracciare in modo qualitativo l'andamento di $y(t)$.....e all'esame non potrò disporre sicuramente del plotter
Comunque ora, visto che non sono all'esame, lo utilizzo per vedere cosa viene fuori......grazie!!
P.S. Il resto è tutto ok?
@eliotsbowe: il grafico che mi da il plotter è corretto.....lo so perchè ho a disposizione il grafico giusto, però ho inserito"-2*e^(-x) - e^(-3*x) +4"; tu hai messo positivi i primi 2 termini.
bè si tratta sempre di Esponenziali, è banali disegnarli, l' unico punto di interesse, o che comunque sei tenuto a sapere, è l' intersezione con l' asse y. Per il resto non puoi sapere il valore negli altri punti..
Infatti...tra l'altro so che il valore a regime è $4$, la condizione iniziale è quella detta 2 pagine dietro cioè $y(0^-)=1$, dunque parte da $1$ (intersezione) e arriva a 4!
Siccome fin qua combacia tutto (o meglio il grafico che mi esce è identico a quello fornito) direi che non ci sono errori (se qualcuno vuole dare un'occhiata faccia pure!
), dunque a breve continuerò l'esercizio (è rimasto l'ultimo punto)!!
Grazie a quanti hanno collaborato!
Siccome fin qua combacia tutto (o meglio il grafico che mi esce è identico a quello fornito) direi che non ci sono errori (se qualcuno vuole dare un'occhiata faccia pure!
), dunque a breve continuerò l'esercizio (è rimasto l'ultimo punto)!!Grazie a quanti hanno collaborato!
Siccome sono impaziente continuo a pubblicare l'ultimo punto dell'esercizio: determinare l'andamento a regime di $y(t)$ per $x(t)=(2+4e^(-2t)+3sensqrt(2))u(t)$.
Utilizzo il principio di sovrapposizione degli effetti:per l'ingresso a gradino $2u(t)$ si avrà a regime un gradino di ampiezza pari a $2G(0)$. Essendo $G(s)=(s+2)/((s+1)(s+3)) rArr G(0)=(0+2)/((0+1)(0+3))=2/3$ quindi $2G(0)=2*2/3=4/3$
Per l'ingresso esponenziale $4e^(-2t)$ convergente a $0$ si ha a regime un segnale nullo, infine per l'ingresso sinusoidale $3sensqrt(2))u(t)$........ci devo pensare!
Utilizzo il principio di sovrapposizione degli effetti:per l'ingresso a gradino $2u(t)$ si avrà a regime un gradino di ampiezza pari a $2G(0)$. Essendo $G(s)=(s+2)/((s+1)(s+3)) rArr G(0)=(0+2)/((0+1)(0+3))=2/3$ quindi $2G(0)=2*2/3=4/3$
Per l'ingresso esponenziale $4e^(-2t)$ convergente a $0$ si ha a regime un segnale nullo, infine per l'ingresso sinusoidale $3sensqrt(2))u(t)$........ci devo pensare!
...per l'ingresso sinusoidale $(3sensqrt(2)t)u(t)$ si ha che la risposta a regime è: $3|G(jsqrt(2))|sen(sqrt(2)t+arg(G(jsqrt(2))))u(t)$ ma non ho capito come si ci arriva.
Qualcuno me lo sa spiegare?
Grazie
Qualcuno me lo sa spiegare?
Grazie
"bius88":
$s^2Y(s)-sy(0^-)-dy/dt(0^-)+4[sY(s)-y(0^-)]+3Y(s)=sX(s)-y(0^-)+2X(s)$; tenedo conto delle condizioni iniziali $y(0^-)=1$ e $doty(0^-)=-1$ ottengo:
$s^2Y(s)-s-(-1)+4[sY(s)-1]+3Y(s)=sX(s)-1+2X(s)$ da cui: $s^2Y(s)+4sY(s)+3Y(s)-s-3=sX(s)-1+2X(s)$; mettendo in evidenza:
$[s^2+4s+3]Y(s)=(s+2)X(s)+(s+3)-1$ .....grazie legendre, anche se ho un piccolo problemino....nel risultato che ho a disposizione non c'è il $-1$ (quello dopo $(s+3)$)
E' giusta così?
Ancora grazie!
avevo fatto un errore all'inizio dal quale poi è scaturito il mio dubbio che rimane: la forma corretta è:$s^2Y(s)-sy(0^-)-dy/dt(0^-)+4[sY(s)-y(0^-)]+3Y(s)=sX(s)-x(0^-)+2X(s)$, ho sostituito dopo il segno di uguaglianza $-y(0^-)$ con $-x(0^-)$; prima considerando la condizione ho scritto $-y(0^-)=-1$, ora so che il $-1$ non ci vuole e ho capito il perchè, ma $-x(0^-)$ cosa diventa? Non lo devo considerare?
Help please!
mmh in effetti è strano che non abbiamo dato la condizione su $x(0-)$, non c' aveva fatto caso, sei sicuro che la traccia sia corretta ?
Un' altra cosa, potrei sbagliarmi, ma riguardo all' ultimp unto dell' esercizio, ti viene richiesta la risposta a regime. Ma la risposta a regime è la risposta forzata, quindi secondo me è meglio se svolgi il calcolo esplicità per quell' esponenziale decrescente..
Un' altra cosa, potrei sbagliarmi, ma riguardo all' ultimp unto dell' esercizio, ti viene richiesta la risposta a regime. Ma la risposta a regime è la risposta forzata, quindi secondo me è meglio se svolgi il calcolo esplicità per quell' esponenziale decrescente..
La traccia è corretta, per quanto riguarda l'ultimo punto il prof lo svolge così e poi trova il valore numerico di $|G(jsqrt(2))|$ e $arg(G(jsqrt(2)))$
mmh ok, cmq tornato al seno, quel risultato si ottiene attraverso 2 modi: il calcolo diretto (cioè scrivere il seno con le formule di Eulero, fare il prodotto G(s)X(s) e antitrasformare), oppure ricordando che gli esponenziali sono autofunzioni dei filtri, quindi se entra il $sen(sqrt(2)t)$, esce $G(sqrt(2))sen(sqrt(2)t + arg(G(sqrt(2))))$
ah..ok...grazie per la spiegazione! Per quanto riguarda $x(0)$? Il prof ha fatto finta che non ci fosse, se è così perchè?
"bius88":
ah..ok...grazie per la spiegazione! Per quanto riguarda $x(0)$? Il prof ha fatto finta che non ci fosse, se è così perchè?
mah, forse dava per scontato che fosse zero..
aggiungo un' ultima cosa. Il discorso che aveva fatto il tuo prof riguardo all' esponenziale, non mi convinceva per appunto gli esponenziali sono autofunzioni dei filtri, come lo dimostra la funzione seno (che tramite Eulero è composizione di esponenziali)
Devo rettificare questa affermazione, perchè il discorso delle autofunzione vale per esponenziali COMPLESSI (come quelli introdotti da seno e coseno)
Devo rettificare questa affermazione, perchè il discorso delle autofunzione vale per esponenziali COMPLESSI (come quelli introdotti da seno e coseno)
"stefano_89":
aggiungo un' ultima cosa. Il discorso che aveva fatto il tuo prof riguardo all' esponenziale, non mi convinceva per appunto gli esponenziali sono autofunzioni dei filtri, come lo dimostra la funzione seno (che tramite Eulero è composizione di esponenziali)
Devo rettificare questa affermazione, perchè il discorso delle autofunzione vale per esponenziali COMPLESSI (come quelli introdotti da seno e coseno)
Ti riferisci al calcolo dell'andamento a regime di $y(t)$ per $x(t)=(2+4e^(-2t)+3sensqrt(2)t)u(t)$?
sisi..
Riscrivo l'ultimo punto dall'inizio come l'ha fatto il prof così non dobbiamo girare pagina:
determinare l'andamento a regime di $y(t)$ per $x(t)=(2+4e^(-2t)+3sensqrt(2)t)u(t)$.
Utilizzo il principio di sovrapposizione degli effetti:per l'ingresso a gradino $2u(t)$ si avrà a regime un gradino di ampiezza pari a $2G(0)$. Essendo $G(s)=(s+2)/((s+1)(s+3)) rArr G(0)=(0+2)/((0+1)(0+3))=2/3$ quindi $2G(0)=2*2/3=4/3$
Per l'ingresso esponenziale $4e^(-2t)$ convergente a $0$ si ha a regime un segnale nullo, infine per l'ingresso sinusoidale $(3sensqrt(2)t)u(t)$ utilizzando un'importante proprietà della risposta in frequenza $G(j\omega)$ si ha che la sua risposta a regime è:
$3|G(jsqrt(2))|sen(sqrt(2)t+arg(G(jsqrt(2))))u(t)$
Otteniamo: $|G(jsqrt(2))|=(sqrt(2+4))/(sqrt(2+1)*sqrt(2+9))=0.43$
$arg(G(jsqrt(2)))=arctg((sqrt(2))/2)-arctg(sqrt(2))-arctg((sqrt(2))/3)=-0.78 rad$.
in definitiva l'andamento a regime di $y(t)$ è $(y_r) (t)=[4/3+1.29sen(sqrt(2)t-0.78)]u(t)$
E' giusto?....c'è qualcuno che mi saprebbe spiegare questi passaggi?
Grazie!!
determinare l'andamento a regime di $y(t)$ per $x(t)=(2+4e^(-2t)+3sensqrt(2)t)u(t)$.
Utilizzo il principio di sovrapposizione degli effetti:per l'ingresso a gradino $2u(t)$ si avrà a regime un gradino di ampiezza pari a $2G(0)$. Essendo $G(s)=(s+2)/((s+1)(s+3)) rArr G(0)=(0+2)/((0+1)(0+3))=2/3$ quindi $2G(0)=2*2/3=4/3$
Per l'ingresso esponenziale $4e^(-2t)$ convergente a $0$ si ha a regime un segnale nullo, infine per l'ingresso sinusoidale $(3sensqrt(2)t)u(t)$ utilizzando un'importante proprietà della risposta in frequenza $G(j\omega)$ si ha che la sua risposta a regime è:
$3|G(jsqrt(2))|sen(sqrt(2)t+arg(G(jsqrt(2))))u(t)$
Otteniamo: $|G(jsqrt(2))|=(sqrt(2+4))/(sqrt(2+1)*sqrt(2+9))=0.43$
$arg(G(jsqrt(2)))=arctg((sqrt(2))/2)-arctg(sqrt(2))-arctg((sqrt(2))/3)=-0.78 rad$.
in definitiva l'andamento a regime di $y(t)$ è $(y_r) (t)=[4/3+1.29sen(sqrt(2)t-0.78)]u(t)$
E' giusto?....c'è qualcuno che mi saprebbe spiegare questi passaggi?
Grazie!!
si hce è giusto, cos' è che non hai capito ? non ti convince la formula per il seno ?
si, e poi non ho capito come fa ad ottenere $|G(jsqrt(2))|$
"quel" $|G(jsqrt(2))|$ fa parte della formula standard per le autofunzioni..
Fai una cosa, prova a svolgerti il calcolo diretto: $x(t)*g(t)$ (convoluzione), oppure $X(s)G(s)$ e vedrai che tutto torna, anche perhè così fai un esercizio sicuramente pià utile che imparare una formula a memoria. Ti consiglio di applicare il secondo metodo, di riconrdare la scomposizione del seno con eulero, e la proprietà di modulazione nel tempo..
Fai una cosa, prova a svolgerti il calcolo diretto: $x(t)*g(t)$ (convoluzione), oppure $X(s)G(s)$ e vedrai che tutto torna, anche perhè così fai un esercizio sicuramente pià utile che imparare una formula a memoria. Ti consiglio di applicare il secondo metodo, di riconrdare la scomposizione del seno con eulero, e la proprietà di modulazione nel tempo..
ok....ma quei numeri sotto radice da dove vengono fuori?
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