Trasformata di Laplace
Ciao a tutti,
c'è qualcuno che può darmi una mano?
Ho un sistema descritto dall'equazione differenziale: $(d^2y(t))/(dt^2)+4 (dy(t))/(dt)+3y(t)=(dx(t))/(dt)+2x(t)$ con condizioni $y(0-)=1$ e $dot y(0-)=-1$.
Come si fa la trasformata di laplace?
Grazie 1000!
c'è qualcuno che può darmi una mano?
Ho un sistema descritto dall'equazione differenziale: $(d^2y(t))/(dt^2)+4 (dy(t))/(dt)+3y(t)=(dx(t))/(dt)+2x(t)$ con condizioni $y(0-)=1$ e $dot y(0-)=-1$.
Come si fa la trasformata di laplace?
Grazie 1000!
Risposte
bè c'è sono un 2 sotto radice, che viene dall' argomento del seno..
"stefano_89":
bè c'è sono un 2 sotto radice, che viene dall' argomento del seno..
Mi riferivo a $|G(jsqrt(2))|=(sqrt(2+4))/(sqrt(2+1)sqrt(2+9))=0.43$
"bius88":
[quote="stefano_89"]bè c'è sono un 2 sotto radice, che viene dall' argomento del seno..
Mi riferivo a $|G(jsqrt(2))|=(sqrt(2+4))/(sqrt(2+1)sqrt(2+9))=0.43$[/quote]
sono sempliciti conti algebrici, dove c'è "s" (nella G(s) ) metti $sqrt(2)$, ma hai anche il modulo, e sai che per toglierlo devi elevare al quadrato e applicare la radice quadrata alle varie componenti..
ok...grazie 1000!!!
Altre 2 cose e ho finito: se voglio scrivere tutti i passaggi in modo che non me lo dimentichi più, posso scrivere in questo modo?:
$|G(jsqrt(2))|=|(sqrt(2)+2)/((sqrt(2)+1) (sqrt(2)+3))|=(sqrt(2+2^2))/(sqrt(2+1^2)sqrt(2+3^2))=0.43$ (quella in cui non ho elevato al quadrato e fatto la radice va messa in valore assoluto?)
l'ultima cosa: i denominatori della frazione tra parentesi, cioè 2,1 e 3 sono i numeri della relazione di sopra? Il $2$ è quello del numeratore mentre $1$ e $3$ sono quelli del denominatore?
$arg(G(jsqrt(2)))=arctg((sqrt(2))/2)-arctg(sqrt(2))-arctg((sqrt(2))/3)=-0.78 rad$
Grazie!
$|G(jsqrt(2))|=|(sqrt(2)+2)/((sqrt(2)+1) (sqrt(2)+3))|=(sqrt(2+2^2))/(sqrt(2+1^2)sqrt(2+3^2))=0.43$ (quella in cui non ho elevato al quadrato e fatto la radice va messa in valore assoluto?)
l'ultima cosa: i denominatori della frazione tra parentesi, cioè 2,1 e 3 sono i numeri della relazione di sopra? Il $2$ è quello del numeratore mentre $1$ e $3$ sono quelli del denominatore?
$arg(G(jsqrt(2)))=arctg((sqrt(2))/2)-arctg(sqrt(2))-arctg((sqrt(2))/3)=-0.78 rad$
Grazie!
si sono quelli, ma non è quella l' analogia importante. Per trovare la fase (arg) devi sostituire $jsqrt(2)$ in $G(s)$ e fare l' arcotangente del rapporto della parte immaginaria, fratto quella reale..
"stefano_89":
si sono quelli, ma non è quella l' analogia importante. Per trovare la fase (arg) devi sostituire $jsqrt(2)$ in $G(s)$ e fare l' arcotangente del rapporto della parte immaginaria, fratto quella reale..
sostituendo in $G(s)$ ho: $(jsqrt(2)+2)/((jsqrt(2)+1)(jsqrt(2)+3))$
ora faccio l'arcotangente del rapporto tra parte immaginaria e reale di ciò che ho al numeratore qundi $arctg (sqrt(2)/2)$ poi dei 2 termini che ho al denominatore qunidi:
$arctg sqrt(2)$ e $arctg (sqrt(2)/3)$
E' giusto?
mmh si i risultati sono quelli, ma non mi convince il fatto che al denominatore gli arctg abbiamo segno negativo, mentre al numeratore quello positivo. Evidentemente è una proprietà che ignoravo..
In qualunque caso si sviluppi i prodotto ed isoli parte reale ed immaginaria per avere una sola arctg, dovrebbe venirti lo stesso risultato..
In qualunque caso si sviluppi i prodotto ed isoli parte reale ed immaginaria per avere una sola arctg, dovrebbe venirti lo stesso risultato..
In tutti gli esercizi svolti che ho a disposizione le arctg del denominatore hanno segno negativo (gli esercizi sono svolti dal prof) dunque non resta che fidarsi!
Volevo chiedere un chiarimento sul grafico (2 pagine indietro):
Il prof. aggiunge che il grafico ha un andamento transitorio dovuto a due andamenti esponenziali con costanti di tempo $1$ e $1/3$
Queste costanti di tempo come si trovano?
Io ho ipotizzato in questo modo: faccio il rapporto tra l'esponente della $y_l (t)$ e quello della $y_(f) (t)$, ovvero
$y_l (t)=e^(-t) u(t)$
$y_(f) (t)=(4-3e^(-t)-e^(-3t)) u(t) $; facendo il rapporto $rArr$ $-1/-1=1$ e $-1/-3=1/3$
Queste dovrebbero essere le costanti di tempo....sono giuste?
Grazie!!
Volevo chiedere un chiarimento sul grafico (2 pagine indietro):
"bius88":
Infatti...tra l'altro so che il valore a regime è $4$, la condizione iniziale è quella detta 2 pagine dietro cioè $y(0^-)=1$, dunque parte da $1$ (intersezione) e arriva a 4!
Siccome fin qua combacia tutto (o meglio il grafico che mi esce è identico a quello fornito) direi che non ci sono errori (se qualcuno vuole dare un'occhiata faccia pure!), dunque a breve continuerò l'esercizio (è rimasto l'ultimo punto)!!
Grazie a quanti hanno collaborato!
Il prof. aggiunge che il grafico ha un andamento transitorio dovuto a due andamenti esponenziali con costanti di tempo $1$ e $1/3$
Queste costanti di tempo come si trovano?
Io ho ipotizzato in questo modo: faccio il rapporto tra l'esponente della $y_l (t)$ e quello della $y_(f) (t)$, ovvero
$y_l (t)=e^(-t) u(t)$
$y_(f) (t)=(4-3e^(-t)-e^(-3t)) u(t) $; facendo il rapporto $rArr$ $-1/-1=1$ e $-1/-3=1/3$
Queste dovrebbero essere le costanti di tempo....sono giuste?
Grazie!!
Salve,
sto facendo un esercizio simile a questo che ho svolto in questo thread :
Vorrei sapere se è possibile che mi venga la $|G(jsqrt(2))|=0$ (nell'esercizio di sopra è venuto $0.43$).....tra l'altro siccome mi da $0$ l'andamento a regime mi viene: $(y_r) (t)=[2+ 0*sen(.............)]u(t)$ quindi $(y_r) (t)=[2]u(t).
E' possibile o c'è sicuramente qualche errore? Grazie!!
sto facendo un esercizio simile a questo che ho svolto in questo thread :
"bius88":
Determinare l'andamento a regime di $y(t)$ per $x(t)=(2+4e^(-2t)+3sensqrt(2)t)u(t)$.
Utilizzo il principio di sovrapposizione degli effetti:per l'ingresso a gradino $2u(t)$ si avrà a regime un gradino di ampiezza pari a $2G(0)$. Essendo $G(s)=(s+2)/((s+1)(s+3)) rArr G(0)=(0+2)/((0+1)(0+3))=2/3$ quindi $2G(0)=2*2/3=4/3$
Per l'ingresso esponenziale $4e^(-2t)$ convergente a $0$ si ha a regime un segnale nullo, infine per l'ingresso sinusoidale $(3sensqrt(2)t)u(t)$ utilizzando un'importante proprietà della risposta in frequenza $G(j\omega)$ si ha che la sua risposta a regime è:
$3|G(jsqrt(2))|sen(sqrt(2)t+arg(G(jsqrt(2))))u(t)$
Otteniamo: $|G(jsqrt(2))|=(sqrt(2+4))/(sqrt(2+1)*sqrt(2+9))=0.43$
$arg(G(jsqrt(2)))=arctg((sqrt(2))/2)-arctg(sqrt(2))-arctg((sqrt(2))/3)=-0.78 rad$.
in definitiva l'andamento a regime di $y(t)$ è $(y_r) (t)=[4/3+1.29sen(sqrt(2)t-0.78)]u(t)$
Vorrei sapere se è possibile che mi venga la $|G(jsqrt(2))|=0$ (nell'esercizio di sopra è venuto $0.43$).....tra l'altro siccome mi da $0$ l'andamento a regime mi viene: $(y_r) (t)=[2+ 0*sen(.............)]u(t)$ quindi $(y_r) (t)=[2]u(t).
E' possibile o c'è sicuramente qualche errore? Grazie!!
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