Trasformata di Laplace
la trasformata di Laplace (che da ora in poi chiamerò TL) non avrebbe senso senza la sua ascissa di convergenza.
la TL di un seno ha 2 poli complessi coniugati sull'asse immaginario e ascissa di convergenza 0
e la TL di un esponenziale $e^{ax}$ (dove a è un parametro > 0 ) ha un polo in a e ascissa di convergenza a
Se io adesso mi trovo a moltiplicare queste due trasformate avrò una funzione con tre poli, la cui ascissa di convergenza sarà ovviamente la maggiore tra le due;
ma allora significa che i due poli del seno perdono di significato o non esistono più nel prodotto???
la TL di un seno ha 2 poli complessi coniugati sull'asse immaginario e ascissa di convergenza 0
e la TL di un esponenziale $e^{ax}$ (dove a è un parametro > 0 ) ha un polo in a e ascissa di convergenza a
Se io adesso mi trovo a moltiplicare queste due trasformate avrò una funzione con tre poli, la cui ascissa di convergenza sarà ovviamente la maggiore tra le due;
ma allora significa che i due poli del seno perdono di significato o non esistono più nel prodotto???
Risposte
Se moltiplichi la funzione esponenziale per i seno (TL), ottieni che la dinamica del sistema oscilla ma si setingue secondo la legge esponenziale.
Dovrebbe essere così.
Dovrebbe essere così.
per la moltiplicazione nel tempo è come dici tu, infatti si otterrà una TL con 2 poli complessi coniugati ma con parte immaginaria identica ai poli del seno e parte reale a. ovvero $a \pm j\omega $
io dicevo di moltiplicare le TL che è differente (dovrebbe essere una convoluzione nel tempo)
io dicevo di moltiplicare le TL che è differente (dovrebbe essere una convoluzione nel tempo)
ciao!
forse se scrivo qualcosa si capisce meglio quello che intendo ed è meno faticoso leggere la domanda,
allora:
[size=150]
$L[sin(\omega t)]=\omega/{s^2+\omega^2}$ per $s>0$
$L[e^{at}]=1/(s-a)$ per $s>a$
[/size]
il prodotto delle due trasformate ora sarà definito dove entrambe sono definite, ovvero si prende l'ascissa di convergenza maggiore, a
ottenendo così:[size=150]
$L[sin(\omega t) \otimes e^{at}]=\omega/{(s^2+\omega^2)(s-a)}$ per $s>a$
[/size]
a questo punto si vede bene che i due poli non rientrano nel dominio della trasformata, e allora? che significa questo e cosa comporta secondo voi?
l'integrale di convoluzione smorza l'andamento oscillatorio del seno, forse questo si riflette nella trasformata escludendo le singolarità?
uno che trova una funzione con dei poli che non appartengono al dominio come si comporta per l'antitrasformata? e perchè? ovvero messa in un'altro modo, 2 trasformate con gli stessi poli e zeri, ma ascissa di convergenza diversa possono esistere? e rappresentano funzioni diverse nel tempo? perchè?
forse se scrivo qualcosa si capisce meglio quello che intendo ed è meno faticoso leggere la domanda,
allora:
[size=150]
$L[sin(\omega t)]=\omega/{s^2+\omega^2}$ per $s>0$
$L[e^{at}]=1/(s-a)$ per $s>a$
[/size]
il prodotto delle due trasformate ora sarà definito dove entrambe sono definite, ovvero si prende l'ascissa di convergenza maggiore, a
ottenendo così:[size=150]
$L[sin(\omega t) \otimes e^{at}]=\omega/{(s^2+\omega^2)(s-a)}$ per $s>a$
[/size]
a questo punto si vede bene che i due poli non rientrano nel dominio della trasformata, e allora? che significa questo e cosa comporta secondo voi?
l'integrale di convoluzione smorza l'andamento oscillatorio del seno, forse questo si riflette nella trasformata escludendo le singolarità?
uno che trova una funzione con dei poli che non appartengono al dominio come si comporta per l'antitrasformata? e perchè? ovvero messa in un'altro modo, 2 trasformate con gli stessi poli e zeri, ma ascissa di convergenza diversa possono esistere? e rappresentano funzioni diverse nel tempo? perchè?
Caro Fox
Premetto che non sono ferrato nell'intepretazione "fisica" della trasformata e quindi parlo solo delle proprietà matematiche.
Mi sembra che la questione sia questa: la trasformata $TL(f)(z)$ di una funzione $f$ è il risultato di un integrale contenente il
numero complesso $z$ come parametro. Tale integrale converge solo se $z$ si trova a destra dell'ascissa di convergenza
(e quindi, come dici giustamente, per dare la $TL(f)$ bisogna dare anche l'ascissa di convergenza). In questo senso
(come integrale) $TL(f)(z)$ è definita solo per $z$ in un semipiano.
Nulla impedisce però che tale funzione si estenda ben più in là - il fenomeno è analogo a quello delle serie di potenze,
che convergono solo su un disco, ma poi si possono quasi sempre estendere in molti altri punti di fuori di tale disco.
E' anche un fatto che l'estensione quando esiste è unica (per le proprietà delle funzioni olomorfe) - la trasfomata definita solo
sul semipiano "sa di avere altri due poli dall'altra parte" - in realtà basterebbe conoscerla in un dischetto qualunque di raggio
positivo per ricostruirla fino a dove la si può ricostruire.
In particolare per l'antitrasformata si può usare tutto quello che si sa (qui però bisognerebbe entrare nei dettagli e dire quale
formula si usa per l'antitrasformata).
Spero di essere d'aiuto
Premetto che non sono ferrato nell'intepretazione "fisica" della trasformata e quindi parlo solo delle proprietà matematiche.
Mi sembra che la questione sia questa: la trasformata $TL(f)(z)$ di una funzione $f$ è il risultato di un integrale contenente il
numero complesso $z$ come parametro. Tale integrale converge solo se $z$ si trova a destra dell'ascissa di convergenza
(e quindi, come dici giustamente, per dare la $TL(f)$ bisogna dare anche l'ascissa di convergenza). In questo senso
(come integrale) $TL(f)(z)$ è definita solo per $z$ in un semipiano.
Nulla impedisce però che tale funzione si estenda ben più in là - il fenomeno è analogo a quello delle serie di potenze,
che convergono solo su un disco, ma poi si possono quasi sempre estendere in molti altri punti di fuori di tale disco.
E' anche un fatto che l'estensione quando esiste è unica (per le proprietà delle funzioni olomorfe) - la trasfomata definita solo
sul semipiano "sa di avere altri due poli dall'altra parte" - in realtà basterebbe conoscerla in un dischetto qualunque di raggio
positivo per ricostruirla fino a dove la si può ricostruire.
In particolare per l'antitrasformata si può usare tutto quello che si sa (qui però bisognerebbe entrare nei dettagli e dire quale
formula si usa per l'antitrasformata).
Spero di essere d'aiuto
Non ero a casa questo weekend... ti ringrazio per la risposta e mi sembra che tu abbia centrato il problema
soprattutto mi ha colpito una tua frase:
che intendi per estensione al di fuori del disco di convergenza? come si può estendere?
tu dici che la funzione sa di avere i poli, e questo mi può tornare perchè i poli modificano la pendenza,
ma due funzioni con ascissa di convergenza diversa ma stessi poli, possono esistere? e se si l'antitrasformata è uguale?
io personalmente uso il metodo della scomposizione in sommatoria di fratte semplici e poi antitrasformo utilizzando la linearità della trasformata, non uso l'integrale.
P.S. conosco un pò la teoria delle funzioni olomorfe, se ti va e non diventa lungo puoi farmi vedere anche solo intuitivamente i passaggi?
grazie,
ciao!
soprattutto mi ha colpito una tua frase:
"ViciousGoblinEnters":
Nulla impedisce però che tale funzione si estenda ben più in là - il fenomeno è analogo a quello delle serie di potenze,
che convergono solo su un disco, ma poi si possono quasi sempre estendere in molti altri punti di fuori di tale disco.
che intendi per estensione al di fuori del disco di convergenza? come si può estendere?
E' anche un fatto che l'estensione quando esiste è unica (per le proprietà delle funzioni olomorfe) - la trasfomata definita solo
sul semipiano "sa di avere altri due poli dall'altra parte"
tu dici che la funzione sa di avere i poli, e questo mi può tornare perchè i poli modificano la pendenza,
ma due funzioni con ascissa di convergenza diversa ma stessi poli, possono esistere? e se si l'antitrasformata è uguale?
io personalmente uso il metodo della scomposizione in sommatoria di fratte semplici e poi antitrasformo utilizzando la linearità della trasformata, non uso l'integrale.
P.S. conosco un pò la teoria delle funzioni olomorfe, se ti va e non diventa lungo puoi farmi vedere anche solo intuitivamente i passaggi?
grazie,
ciao!
Caro Fox
Ciò che mi chiedi è impegnativo soprattutto se si tratta di passare delle idee e non semplicemente una sequenza di definizioni/teoremi.
Ci provo sperando che non mi scappi qualche cavolata.
Prima di tutto però voglio tentare di rispondere alla domanda:
(che peraltro mi appare un po' confusa)
Per farlo devo ripetere alcune cosa già dette. Quando si definisce la trasformata si parte da una $f(t)$ e di individua una
$F(z)=TL(f)(z)$ facendo un certo integrale; tale integrale risulta convergente per le $z$ complesse con parte reale maggiore
di un numero $a$ (che può essere $-\infty$ e quindi $F(z)$ esiste per ogni $z$ o $+\infty$ e allora $f$ non è trasformabile$).
Questo $a=a(f)$ dipende da $f$ e per questo si chiama ascissa di convergenza di $f$. Quindi trovare la trasformata di $f$
significa: (1) trovare $a(f)$, (2) trovare $F(z)$ per gli $z$ a destra di $a(f)$ - nota che entrambi sono univocamente individuati da $f$.
Mi sembra ora che un possibile senso per la tua domanda sia questo: è possibile che ci siano due funzioni diverse $f_1$ e $f_2$ che danno luogo
a due ascisse $a(f_1)$ e $a(f_2)$ diverse, ma alla stessa $F(z)$ ? (ovviamente per gli $z$ a destra dell'ascissa più grande).
Questo NON è possibile dato che basta conoscere $F(x+iy)$ per un solo $x>a(f)$ e per tutti gli $y$ per ricostruire $f(t)$
(conseguenza della formula sull'antitrasformata...se vuoi di questo riparliamo).
Se invece la tua domanda era semplicemente "ci sono $f$ diverse che danno luogo a trasformate con gli stessi poli" allora la risposta è
abbastanza ovviamente sì.
Veniamo ora alla questione dell'estendibilità. In effetti il punto di partenza sono proprio le serie di potenze che provo a riassumere.
Fissiamo un punto $z_0$ in $CC$ e una successione $(a_n)_{n\geq0}$ di numeri complessi. risulta definito un numero $R\in[0,+\infty]$
(mediante la formula $1/R=\max\lim_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}$), tale che
$f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n$ converge nel disco aperto $B(z_0,R)={|z-z_0|
Inoltre $f$ è infinitamente derivabile nel disco aperto e le sua derivata $k$-esima è la somma della serie $\sum_{n=k}^\infty n(n-1)...(n-k+1)a_n(z-z_0)^{n-k}$
Da quest'ultima proprietà deduci che i coefficienti $a_n$ da cui siamo partiti sono dati da $a_n={f^{(n)} (z_0)}/{n!}$ (coefficienti di TAylor di $f$ in $z_0$)..
Dunque dato il punto $z_0$ e la successione iniziale $(a_n)$ abbiamo trovato una $f$ definita nel disco $B(z_0,R)$. Prendiamo ora $z_1\ne z_0$ in tale disco
e poniamo $b_n:={f^{(n)} (z_1)}/{n!}$. Possiamo provare a ripartire e considerare
$f_1(z)=\sum_{n=0}^\infty b_n(z-z_1)^n$ che avrà un suo raggio di convergenza $R_1$ e un suo disco di convergenza $B(z_1,R_1)$. Intanto si vede
che $R_1\geq R-|z_0-z_1|$ e che $f(z)=f_1(z)$ per le $z\in B(z_0,R)\cap B(z_1,R_1)$. E' però possibile che $B(z_1,R_1)$ debordi dal disco precedente e
quindi abbiamo esteso $f$ in un insieme più grosso.
Andando avanti in questo modo (prendendo uno $z_2$ e così via...) $f$ può essere estesa in linea di principio a insiemi molto più estesi del disco iniziale
$B(z_0,R)$. Si può anche dimostrare che tale estensione, fino a quando la si può fare, è unica.
La trasformata di Laplace da cui siamo partiti è una funzione di questa razza: è vero che nasce definita solo a destra dell'ascissa di convergenza, ma si può provare, punto per punto a vedere
qual'è il raggio di convergenza della serie di Taylor in quel punto in modo da estenderla via via fino a dove si può. Come avevo scritto la l'altra volta in realta' basterebbe conoscerla su un dischetto
di raggio positivo per ricostruirla tutta (o anche conoscere TUTTE le sue derivate in UN SOLO punto). Dunque le funzioni olomorfe (=derivabili in $CC$) di cui fa parte $TL$, sono "molto rigide"
in qualche modo sono "polinomi di grado infinito" e spartiscono molte proprietà coi polinomi.
Mi fermo qui - spero almeno di averti incuriosito
Ciò che mi chiedi è impegnativo soprattutto se si tratta di passare delle idee e non semplicemente una sequenza di definizioni/teoremi.
Ci provo sperando che non mi scappi qualche cavolata.
Prima di tutto però voglio tentare di rispondere alla domanda:
ma due funzioni con ascissa di convergenza diversa ma stessi poli, possono esistere? e se si l'antitrasformata è uguale?
(che peraltro mi appare un po' confusa)
Per farlo devo ripetere alcune cosa già dette. Quando si definisce la trasformata si parte da una $f(t)$ e di individua una
$F(z)=TL(f)(z)$ facendo un certo integrale; tale integrale risulta convergente per le $z$ complesse con parte reale maggiore
di un numero $a$ (che può essere $-\infty$ e quindi $F(z)$ esiste per ogni $z$ o $+\infty$ e allora $f$ non è trasformabile$).
Questo $a=a(f)$ dipende da $f$ e per questo si chiama ascissa di convergenza di $f$. Quindi trovare la trasformata di $f$
significa: (1) trovare $a(f)$, (2) trovare $F(z)$ per gli $z$ a destra di $a(f)$ - nota che entrambi sono univocamente individuati da $f$.
Mi sembra ora che un possibile senso per la tua domanda sia questo: è possibile che ci siano due funzioni diverse $f_1$ e $f_2$ che danno luogo
a due ascisse $a(f_1)$ e $a(f_2)$ diverse, ma alla stessa $F(z)$ ? (ovviamente per gli $z$ a destra dell'ascissa più grande).
Questo NON è possibile dato che basta conoscere $F(x+iy)$ per un solo $x>a(f)$ e per tutti gli $y$ per ricostruire $f(t)$
(conseguenza della formula sull'antitrasformata...se vuoi di questo riparliamo).
Se invece la tua domanda era semplicemente "ci sono $f$ diverse che danno luogo a trasformate con gli stessi poli" allora la risposta è
abbastanza ovviamente sì.
Veniamo ora alla questione dell'estendibilità. In effetti il punto di partenza sono proprio le serie di potenze che provo a riassumere.
Fissiamo un punto $z_0$ in $CC$ e una successione $(a_n)_{n\geq0}$ di numeri complessi. risulta definito un numero $R\in[0,+\infty]$
(mediante la formula $1/R=\max\lim_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}$), tale che
$f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n$ converge nel disco aperto $B(z_0,R)={|z-z_0|
Inoltre $f$ è infinitamente derivabile nel disco aperto e le sua derivata $k$-esima è la somma della serie $\sum_{n=k}^\infty n(n-1)...(n-k+1)a_n(z-z_0)^{n-k}$
Da quest'ultima proprietà deduci che i coefficienti $a_n$ da cui siamo partiti sono dati da $a_n={f^{(n)} (z_0)}/{n!}$ (coefficienti di TAylor di $f$ in $z_0$)..
Dunque dato il punto $z_0$ e la successione iniziale $(a_n)$ abbiamo trovato una $f$ definita nel disco $B(z_0,R)$. Prendiamo ora $z_1\ne z_0$ in tale disco
e poniamo $b_n:={f^{(n)} (z_1)}/{n!}$. Possiamo provare a ripartire e considerare
$f_1(z)=\sum_{n=0}^\infty b_n(z-z_1)^n$ che avrà un suo raggio di convergenza $R_1$ e un suo disco di convergenza $B(z_1,R_1)$. Intanto si vede
che $R_1\geq R-|z_0-z_1|$ e che $f(z)=f_1(z)$ per le $z\in B(z_0,R)\cap B(z_1,R_1)$. E' però possibile che $B(z_1,R_1)$ debordi dal disco precedente e
quindi abbiamo esteso $f$ in un insieme più grosso.
Andando avanti in questo modo (prendendo uno $z_2$ e così via...) $f$ può essere estesa in linea di principio a insiemi molto più estesi del disco iniziale
$B(z_0,R)$. Si può anche dimostrare che tale estensione, fino a quando la si può fare, è unica.
La trasformata di Laplace da cui siamo partiti è una funzione di questa razza: è vero che nasce definita solo a destra dell'ascissa di convergenza, ma si può provare, punto per punto a vedere
qual'è il raggio di convergenza della serie di Taylor in quel punto in modo da estenderla via via fino a dove si può. Come avevo scritto la l'altra volta in realta' basterebbe conoscerla su un dischetto
di raggio positivo per ricostruirla tutta (o anche conoscere TUTTE le sue derivate in UN SOLO punto). Dunque le funzioni olomorfe (=derivabili in $CC$) di cui fa parte $TL$, sono "molto rigide"
in qualche modo sono "polinomi di grado infinito" e spartiscono molte proprietà coi polinomi.
Mi fermo qui - spero almeno di averti incuriosito
Caro ViciousGoblinEnter,
intanto ti ringrazio per il tempo speso a scrivere la risposta precedente, sei stato molto chiaro e ho capito cosa intendevi per estensione;
mi sembra di capire che serva per delineare insiemi che non sono cerchi, ma che hanno magari forme più irregolari... e nel caso della trasformata di laplace domini che non sono semipiani, giusto?
volevo precisare il significato della mia domanda con un esempio, perchè altrimenti non riesco ad esprimerla in maniera comprensibile:
prendendo la trasformata del seno, si vede che ha i due poli sull'asse immaginario e l'ascissa di convergenza 0
immaginiamo che esista una funzione la cui TL sia 1 e ascissa di convergenza > di 0 (così su due piedi non riesco ad immaginarla, ma non credo di fare una cosa illecita)
ovvero in formule [size=150]$L[sin(\omegat)]=\omega/(s^2+\omega^2)$ per $s>0$[/size]
e [size=150]$L[f(t)]=1$ per $s>a_0$[/size]
se devo farne il prodotto ottengo [size=150]$\omega/(s^2+\omega^2)$ per $s>a_0$[/size]
l'antitrasformata di questa funzione com'è?
perchè per me questa funzione ha comunque due poli in $\+-j\omega$ e quando antitrasformo questo mi mette in crisi, non so come comportarmi... forse in questo caso il metodo delle fratte semplici che uso io non va bene e serve l'integrale da $-oo$ a $+oo$ che dicevi tu? se è così mi guardo quello...
ma comunque non cè un modo per vedere l'effetto di questo spostamento dell'ascissa di convergenza? cioè cosa fa alla funzione antitrasformata?
intanto ti ringrazio per il tempo speso a scrivere la risposta precedente, sei stato molto chiaro e ho capito cosa intendevi per estensione;
mi sembra di capire che serva per delineare insiemi che non sono cerchi, ma che hanno magari forme più irregolari... e nel caso della trasformata di laplace domini che non sono semipiani, giusto?
volevo precisare il significato della mia domanda con un esempio, perchè altrimenti non riesco ad esprimerla in maniera comprensibile:
prendendo la trasformata del seno, si vede che ha i due poli sull'asse immaginario e l'ascissa di convergenza 0
immaginiamo che esista una funzione la cui TL sia 1 e ascissa di convergenza > di 0 (così su due piedi non riesco ad immaginarla, ma non credo di fare una cosa illecita)
ovvero in formule [size=150]$L[sin(\omegat)]=\omega/(s^2+\omega^2)$ per $s>0$[/size]
e [size=150]$L[f(t)]=1$ per $s>a_0$[/size]
se devo farne il prodotto ottengo [size=150]$\omega/(s^2+\omega^2)$ per $s>a_0$[/size]
l'antitrasformata di questa funzione com'è?
perchè per me questa funzione ha comunque due poli in $\+-j\omega$ e quando antitrasformo questo mi mette in crisi, non so come comportarmi... forse in questo caso il metodo delle fratte semplici che uso io non va bene e serve l'integrale da $-oo$ a $+oo$ che dicevi tu? se è così mi guardo quello...
ma comunque non cè un modo per vedere l'effetto di questo spostamento dell'ascissa di convergenza? cioè cosa fa alla funzione antitrasformata?
Caro Fox,
stai "grattando la superficie" di un argomento alquanto complesso.
Purtroppo non sei autorizzato a prendere una funzione $f$ con trasformata $1$ - se la trasformata è definita
come $F(z)=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-zt} dt$ allora si vede che $F(z)->0$ per $|z| ->\infty$ e quindi non potrà mai venirti $1$.
In realtà si può passare alle "distribuzioni" estendendo la nozione di funzione e di trasformata- si trova allora che
l'oggetto avente trasformata $1$ ( e ascissa di convergenza $-\infty$) è la $\delta$ di Dirac.
La $\delta$ ha l'interessante proprietà di essere elemento neutro rispetto alla convoluzione, cioè
$f\star\delta=f$ per qualunque $f$.
Nel tuo esempio avresti
$L(sin(\omega t))(z)=L(sin(\omega t)\star\delta)(z)=\omega/{z^2+\omega^2} 1=\omega/{z^2+\omega^2}$
Ti dice qualcosa ?
stai "grattando la superficie" di un argomento alquanto complesso.
Purtroppo non sei autorizzato a prendere una funzione $f$ con trasformata $1$ - se la trasformata è definita
come $F(z)=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-zt} dt$ allora si vede che $F(z)->0$ per $|z| ->\infty$ e quindi non potrà mai venirti $1$.
In realtà si può passare alle "distribuzioni" estendendo la nozione di funzione e di trasformata- si trova allora che
l'oggetto avente trasformata $1$ ( e ascissa di convergenza $-\infty$) è la $\delta$ di Dirac.
La $\delta$ ha l'interessante proprietà di essere elemento neutro rispetto alla convoluzione, cioè
$f\star\delta=f$ per qualunque $f$.
Nel tuo esempio avresti
$L(sin(\omega t))(z)=L(sin(\omega t)\star\delta)(z)=\omega/{z^2+\omega^2} 1=\omega/{z^2+\omega^2}$
Ti dice qualcosa ?
Caro ViciousGoblinEnter,
si conosco la delta in maniera operativa e qualche sua definizione con i limiti, ma non ancora la teoria delle distribuzioni,
però questa trasformata non mi crea problemi perchè l'ascissa è $-oo$
ok, sono d'accordo che quella trasformata non può esistere... ma se prendessi ad esempio $f(t)=e^(at)$ questa ha una trasformata definita solo per s>a e un polo sull'asse reale in a
il prodotto nel dominio trasformato ora è $\omega/((s^2+\omega^2)*(s-a))$ per $s>a$
quello che voglio dire è come mi comporto con i poli sull'asse immaginario ora? perchè sono fuori dal dominio e questo mi mette in crisi... cosa comporta la loro esclusione nel tempo? forse uno smorzamento delle oscillazioni? tu come faresti l'antitrasformata? io in genere per antitrasformare guardo i poli della funzione e deduco il suo comportamento (ad esempio poli sull'asse reale sono esponenziali reali, e poli complessi coniugati sono oscillazioni smorzate o divergenti a seconda della parte reale), ma in questo caso non lo so fare, non capisco cosa comporti avere dei poli fuori dal dominio...
altrimenti uso il metodo delle fratte semplici, e in questo caso visto che l'intuizione non mi aiuta l'ho fatto; solo che trovo un termine con un polo in a sommato ad un termine con uno zero in -a e due poli sull'asse immaginario... ma questi non sono nel dominio, come mi comporto? ai fini dell'antitrasformata è lo stesso anche se sono fuori dal dominio? perchè?
scrivo lo svolgimento:
[size=150]
$\omega/((s^2+\omega^2)(s-a))=A/(s-a)+(B+Cs)/(s^2+\omega^2)$ andando avanti trovo le relazioni
$A+C=0$
$B-Ca=0$
$\omega^2A-Ba=\omega$
$=>$ posso riscrivere la TL come $\omega/((\omega^2+a^2)(s-a))-(\omega(s+a))/((\omega^2+a^2)(s^2+\omega^2))$[/size]
è il secondo termine che mi crea problemi concettualmente perchè ha poli e zeri fuori dal dominio, spero di essere stato chiaro...
Ti ringrazio per la tua pazienza e voglia
si conosco la delta in maniera operativa e qualche sua definizione con i limiti, ma non ancora la teoria delle distribuzioni,
però questa trasformata non mi crea problemi perchè l'ascissa è $-oo$
ok, sono d'accordo che quella trasformata non può esistere... ma se prendessi ad esempio $f(t)=e^(at)$ questa ha una trasformata definita solo per s>a e un polo sull'asse reale in a
il prodotto nel dominio trasformato ora è $\omega/((s^2+\omega^2)*(s-a))$ per $s>a$
quello che voglio dire è come mi comporto con i poli sull'asse immaginario ora? perchè sono fuori dal dominio e questo mi mette in crisi... cosa comporta la loro esclusione nel tempo? forse uno smorzamento delle oscillazioni? tu come faresti l'antitrasformata? io in genere per antitrasformare guardo i poli della funzione e deduco il suo comportamento (ad esempio poli sull'asse reale sono esponenziali reali, e poli complessi coniugati sono oscillazioni smorzate o divergenti a seconda della parte reale), ma in questo caso non lo so fare, non capisco cosa comporti avere dei poli fuori dal dominio...
altrimenti uso il metodo delle fratte semplici, e in questo caso visto che l'intuizione non mi aiuta l'ho fatto; solo che trovo un termine con un polo in a sommato ad un termine con uno zero in -a e due poli sull'asse immaginario... ma questi non sono nel dominio, come mi comporto? ai fini dell'antitrasformata è lo stesso anche se sono fuori dal dominio? perchè?
scrivo lo svolgimento:
[size=150]
$\omega/((s^2+\omega^2)(s-a))=A/(s-a)+(B+Cs)/(s^2+\omega^2)$ andando avanti trovo le relazioni
$A+C=0$
$B-Ca=0$
$\omega^2A-Ba=\omega$
$=>$ posso riscrivere la TL come $\omega/((\omega^2+a^2)(s-a))-(\omega(s+a))/((\omega^2+a^2)(s^2+\omega^2))$[/size]
è il secondo termine che mi crea problemi concettualmente perchè ha poli e zeri fuori dal dominio, spero di essere stato chiaro...
Ti ringrazio per la tua pazienza e voglia
Diciamo subito che l'antitrasformata che cerchi e' la somma delle antitrasformate
e cioe' $\frac{\omega}{\omega^2+a^2}e^{at}-a\sin(\omega t)+\omega\cos(\omega t)$.
Questo segue dal principo generale
(1) Se $a(f_1)=a_1$ e $L(f_1)=F_1$, se $a(f_2)=a_2$ e $L(f_2)=F_2$
allora $a(f_1+f_2)\leq a:=\max(a_1,a_2)$ e $L(f_1+f_2)(s)=F_1(s)+F_2(s)$ per gli $s$ a destra di $a$
che utilizzo (ovviamente) con
$f_1(t)=\frac{\omega}{\omega^2+a^2}e^{at}$ e
$f_2(t)=-a\sin(\omega t)+\omega\cos(\omega t)$.
In effetti la formula (1) sopra non ti dice quanto fa $F(s):=L(f_1+f_2)(s)$ per tutti gli $s$
a destra di $a(f_1+f_2)$ (che non puoi conoscere a partire solo da $a_1$ e $a_2$), ma
non importa perché conoscendola a destra di $a$ essa e' univocamente determinata:
c'è infatti un'unica funzione derivabile su $CC$ che coincide con lei a destra di $a$.
Nella pratica calcoli $F_1(s)+F_2(s)$ e vedi dove risulta definita.
Un esempio stupido: $f_1(t)=e^t$, $f_2(t)=-e^t$, la somma fa zero e quindi ha ascissa $-\infty$
mentre i due addendi hanno ascissa $1$. A rigore troveresti la trasformata solo a destra di $1$,
ma siccome la puoi estendere a zero in tutto $CC$ la trasformata è ovviamente zero.
Riguardo alle interpretazioni la cosa mi riesce difficile, perchè non conosco bene il lato applicativo
(dal mio punto di vista $L$ serve per risolvere le equazioni differenziali)
Ho l'impressione che bisognerebbe capire cosa rappresenta dal tuo punto di vista la convoluzione per chiarire il tuo problema
e cioe' $\frac{\omega}{\omega^2+a^2}e^{at}-a\sin(\omega t)+\omega\cos(\omega t)$.
Questo segue dal principo generale
(1) Se $a(f_1)=a_1$ e $L(f_1)=F_1$, se $a(f_2)=a_2$ e $L(f_2)=F_2$
allora $a(f_1+f_2)\leq a:=\max(a_1,a_2)$ e $L(f_1+f_2)(s)=F_1(s)+F_2(s)$ per gli $s$ a destra di $a$
che utilizzo (ovviamente) con
$f_1(t)=\frac{\omega}{\omega^2+a^2}e^{at}$ e
$f_2(t)=-a\sin(\omega t)+\omega\cos(\omega t)$.
In effetti la formula (1) sopra non ti dice quanto fa $F(s):=L(f_1+f_2)(s)$ per tutti gli $s$
a destra di $a(f_1+f_2)$ (che non puoi conoscere a partire solo da $a_1$ e $a_2$), ma
non importa perché conoscendola a destra di $a$ essa e' univocamente determinata:
c'è infatti un'unica funzione derivabile su $CC$ che coincide con lei a destra di $a$.
Nella pratica calcoli $F_1(s)+F_2(s)$ e vedi dove risulta definita.
Un esempio stupido: $f_1(t)=e^t$, $f_2(t)=-e^t$, la somma fa zero e quindi ha ascissa $-\infty$
mentre i due addendi hanno ascissa $1$. A rigore troveresti la trasformata solo a destra di $1$,
ma siccome la puoi estendere a zero in tutto $CC$ la trasformata è ovviamente zero.
Riguardo alle interpretazioni la cosa mi riesce difficile, perchè non conosco bene il lato applicativo
(dal mio punto di vista $L$ serve per risolvere le equazioni differenziali)
Ho l'impressione che bisognerebbe capire cosa rappresenta dal tuo punto di vista la convoluzione per chiarire il tuo problema
scusa - nell'ultimo messaggio ho sbagliato il segno del termine col coseno
aaaaah quindi tu mi dici,
siccome una somma di trasformate dà un'ascissa che sicuramente è minore o uguale alla massima tra le ascisse delle trasformate presenti nella somma, prendi gli addendi singolarmente e vedi fino a dove possono essere estesi (a partire da a), cioè fino a che non trovi una TL che abbia un corrispettivo nel tempo e senza effettuare alcuna manomissione li estendi.
In pratica si arriva alla conclusione che si può estendere ogni addendo fino a includere l'ultimo suo polo a sx, poichè nella somma poi l'ascissa verrà modificata e assumerà sempre il valore a, quindi in sostanza non si è modificato niente.
Si arriva così alla conclusione che le uniche cose che contano nell'operazione di antitrasformata sono i poli e gli zeri, regola che già sapevo dalla pratica...
il lato applicativo, è relativamente semplice da spiegare, e difficile poi da mettere in pratica, con la TL si studia facilmente l'uscita di un sistema lineare tempo invariante (convoluzione nel tempo con una f caratteristica del sistema che diventa un prodotto in $CC$) e alla fine la cosa che si vuole ottenere con le tecniche di controllo è scontata, ovvero ottenere un'uscita che abbia poli a parte reale minore di 0 (che quindi non continui ad oscillare se perturbato, altrimenti diventa instabile).
A questo proposito ci sono filmati incredibili di ponti di cemento che oscillano come fossero di gomma, perchè un sistema instabile colpito dalla frequenza giusta amplifica l'oscillazione idealmente fino all'infinito, poi nella realtà bisogna vedere fino a che l'approssimazione lineare regge...ovvero ci sono dei limiti fisici, a volte di rottura a volte si entra in zone di non linearità; insomma comunque meglio evitare...
la soluzione però secondo me è $1/(\omega^2+a^2)*(\omegae^(at)-asin(\omegat)-\omegacos(\omegat))$
grazie davvero, mi hai aiutato a risolvere un dubbio che mi creava molti problemi
siccome una somma di trasformate dà un'ascissa che sicuramente è minore o uguale alla massima tra le ascisse delle trasformate presenti nella somma, prendi gli addendi singolarmente e vedi fino a dove possono essere estesi (a partire da a), cioè fino a che non trovi una TL che abbia un corrispettivo nel tempo e senza effettuare alcuna manomissione li estendi.
In pratica si arriva alla conclusione che si può estendere ogni addendo fino a includere l'ultimo suo polo a sx, poichè nella somma poi l'ascissa verrà modificata e assumerà sempre il valore a, quindi in sostanza non si è modificato niente.
Si arriva così alla conclusione che le uniche cose che contano nell'operazione di antitrasformata sono i poli e gli zeri, regola che già sapevo dalla pratica...
il lato applicativo, è relativamente semplice da spiegare, e difficile poi da mettere in pratica, con la TL si studia facilmente l'uscita di un sistema lineare tempo invariante (convoluzione nel tempo con una f caratteristica del sistema che diventa un prodotto in $CC$) e alla fine la cosa che si vuole ottenere con le tecniche di controllo è scontata, ovvero ottenere un'uscita che abbia poli a parte reale minore di 0 (che quindi non continui ad oscillare se perturbato, altrimenti diventa instabile).
A questo proposito ci sono filmati incredibili di ponti di cemento che oscillano come fossero di gomma, perchè un sistema instabile colpito dalla frequenza giusta amplifica l'oscillazione idealmente fino all'infinito, poi nella realtà bisogna vedere fino a che l'approssimazione lineare regge...ovvero ci sono dei limiti fisici, a volte di rottura a volte si entra in zone di non linearità; insomma comunque meglio evitare...
la soluzione però secondo me è $1/(\omega^2+a^2)*(\omegae^(at)-asin(\omegat)-\omegacos(\omegat))$
grazie davvero, mi hai aiutato a risolvere un dubbio che mi creava molti problemi
a soluzione però secondo me è 1ω2+a2⋅(ωeat-asin(ωt)-ωcos(ωt))
hai perfettamente ragione.
Viceversa mi pare che tu abbia colto la questione - sono contento se ti ho aiutato.
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