Trasformata di Laplace
Se ho da calcolare la trasformata di laplace di una funzione del tipo $(f(t)+c)^n$ come devo fare?
ad esempio $(t^2+1)^2$,oppure $(sent-cost)^2$ e così via.....
e $ccL{sen^nt}=?$
ad esempio $(t^2+1)^2$,oppure $(sent-cost)^2$ e così via.....
e $ccL{sen^nt}=?$
Risposte
Tempo fa mi è capitato di scoprire su un vecchio testo di teoria delle reti elettriche una ‘formula dimenticata’ che ho ritenuto utile far conoscere agli utenti del forum [ignorando nella mia ingenuità che essa avrebbe finito per innescare polemiche 
…]. La richiesta del nostro amico può servire a dimostrare che tale formula oltre che ‘dimenticata’ può qualche volta tornare utile, ragion per cui la riporto nuovamente…
Siano $f_1(t)$ ed $f_2(t)$ due funzioni tali che le loro L-trasformate…
$F_1(s)=int_0^(+oo)f_1(t)*e^(-s*t)*dt$ e $F_2(s)=int_0^(+∞)f_2(t)*e^(-s*t)*dt$ (1)
… abbiano ascissa di convergenza rispettivamente uguale a $sigma_1$ e $σ_2$. Allora il prodotto $F_1(s)*F_2(s)$ è anch’esso una L-trasformata…
$F_1(s)*F_2(s)=int_0^(+∞)g(t)*e^(-s*t)*dt$ (2)
… con ascissa di convergenza pari al maggiore tra $sigma_1$ e $sigma_2$ e…
$g(t)=int_0^t f1(x)*f2(t-x)*dx=int_0^t f1(t-x)*f2(x)*dx$ (3)
Nelle medesime ipotesi prima poste la L-trasformata del prodotto $f1(t)*f2(t)$ è data da…
$L[f1(t)*f2(t)]=1/(2*pi*j)*int_(c-joo)^(c+joo) F1(z)*F2(s-z)*dz$ (4)
… dove $sigma_1sigma_1+sigma_2$…
La ‘formula dimenticata’ è la (4) e il suo uso sistematico può fornire la strada per risolvere il problema posto dall'amico Ainèias...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
…]. La richiesta del nostro amico può servire a dimostrare che tale formula oltre che ‘dimenticata’ può qualche volta tornare utile, ragion per cui la riporto nuovamente… Siano $f_1(t)$ ed $f_2(t)$ due funzioni tali che le loro L-trasformate…
$F_1(s)=int_0^(+oo)f_1(t)*e^(-s*t)*dt$ e $F_2(s)=int_0^(+∞)f_2(t)*e^(-s*t)*dt$ (1)
… abbiano ascissa di convergenza rispettivamente uguale a $sigma_1$ e $σ_2$. Allora il prodotto $F_1(s)*F_2(s)$ è anch’esso una L-trasformata…
$F_1(s)*F_2(s)=int_0^(+∞)g(t)*e^(-s*t)*dt$ (2)
… con ascissa di convergenza pari al maggiore tra $sigma_1$ e $sigma_2$ e…
$g(t)=int_0^t f1(x)*f2(t-x)*dx=int_0^t f1(t-x)*f2(x)*dx$ (3)
Nelle medesime ipotesi prima poste la L-trasformata del prodotto $f1(t)*f2(t)$ è data da…
$L[f1(t)*f2(t)]=1/(2*pi*j)*int_(c-joo)^(c+joo) F1(z)*F2(s-z)*dz$ (4)
… dove $sigma_1
La ‘formula dimenticata’ è la (4) e il suo uso sistematico può fornire la strada per risolvere il problema posto dall'amico Ainèias...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Quindi per calcolare trasformate del genere devo risolvere PER FORZA questo integrale?non ci sono formule immediate?
La formula indicata è la sola via che può risolvere il problema di trovare la $L[f^n(t)]$ una volta che sia nota la $L[f(t)]$ 'nella generalità dei casi'. Certo per funzioni del tipo $sin^n(t)$, $(1+t^2)^n$ e simili esistono delle 'scorciatoie'. In altri casi però possono non esistere alternative all'uso della formula indicata, la quale per altro richiede l'integrazione lungo un percorso sul piano complesso che a volte può essere assai 'tortuoso'. Possiamo almeno consolarci sul fatto che una strada che porta alla meta esiste in ogni caso, anche se non è particolarmente 'comoda' da percorrere... 
cordili saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
cordili saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
"lupo grigio":
La formula indicata è la sola via che può risolvere il problema di trovare la $L[f^n(t)]$ una volta che sia nota la $L[f(t)]$ 'nella generalità dei casi'. Certo per funzioni del tipo $sin^n(t)$, $(1+t^2)^n$ e simili esistono delle 'scorciatoie'. In altri casi però possono non esistere alternative all'uso della formula indicata, la quale per altro richiede l'integrazione lungo un percorso sul piano complesso che a volte può essere assai 'tortuoso'. Possiamo almeno consolarci sul fatto che una strada che porta alla meta esiste in ogni caso, anche se non è particolarmente 'comoda' da percorrere...
cordili saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Potresti darmi uno spunto per arrivare a queste "scorciatoie"?
Le 'scorciatoie' [quando ci sono...] sono tutte legate a speciali proprità della $f(t)$ con la quale si ha a che fare...
A titolo di puro esempio, se $f(t)=cos t$ si può ricorrere allo sviluppo...
$cos^n(t)= sum_(k=0)^n c_k*cos (k*t)$ (1)
.... e poi, sfruttando la linearità della traformata di Laplace, scrivere...
$L[cos^n(t)] = s*sum_(k=0)^n c_k/(s^2+k^2)$ (2)
Per ricavare le $c_k$ è possibile seguire il seguente percorso...
$e^(j*n*t)= cos (n*t)+j*sin (n*t)= (cos t+j*sin t)^n= sum_(k=0)^n ((n),(k)) j^k*cos^(n-k) t*sin^(k)t $ (3)
Egualiando le parti reali del primo e ultimo termine della (3) si ottiene lo sviluppo (1)... provare per esercizio a farlo...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
A titolo di puro esempio, se $f(t)=cos t$ si può ricorrere allo sviluppo...
$cos^n(t)= sum_(k=0)^n c_k*cos (k*t)$ (1)
.... e poi, sfruttando la linearità della traformata di Laplace, scrivere...
$L[cos^n(t)] = s*sum_(k=0)^n c_k/(s^2+k^2)$ (2)
Per ricavare le $c_k$ è possibile seguire il seguente percorso...
$e^(j*n*t)= cos (n*t)+j*sin (n*t)= (cos t+j*sin t)^n= sum_(k=0)^n ((n),(k)) j^k*cos^(n-k) t*sin^(k)t $ (3)
Egualiando le parti reali del primo e ultimo termine della (3) si ottiene lo sviluppo (1)... provare per esercizio a farlo...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Sono arrivato ad una soluzione per quanto riguarda seno e coseno;
sia da calcolare $ccL{cos^2t}$
Dalle formule di duplicazione è noto che $cos(2t)=cos^2x-sen^2x => 1+cos(2t)=2cos^2t$ da cui $cos^2t=(1+cos(2t))/2$
$=> ccL{cos^2t}=1/(2s)+1/2*1/(s^2+4)$
Analogamente si troverà che $ccL{sen^2t}=ccL{(1-cos(2t))/2}=......$
$(sent-cost)^2=(sen^2t+cos^t-2sentcost)=(1-2sentcost)=(1-sen(2t)) => ccL{(sent-cost)^2}=ccL{(1-sen(2t)}=....$
Non sono giunto a conclusione(diversa dal calcolare l'integrale suggeritomi da lupo grigio) se ho da calcolare una trasformata del tipo,ad esempio, $(t^2+1)^2,(e^t+6)^3$,...
Se svolgo il quadrato/cubo e faccio la trasformata dei singoli monomi ottenuti,il risultato non è giusto;per quale motivo?
sia da calcolare $ccL{cos^2t}$
Dalle formule di duplicazione è noto che $cos(2t)=cos^2x-sen^2x => 1+cos(2t)=2cos^2t$ da cui $cos^2t=(1+cos(2t))/2$
$=> ccL{cos^2t}=1/(2s)+1/2*1/(s^2+4)$
Analogamente si troverà che $ccL{sen^2t}=ccL{(1-cos(2t))/2}=......$
$(sent-cost)^2=(sen^2t+cos^t-2sentcost)=(1-2sentcost)=(1-sen(2t)) => ccL{(sent-cost)^2}=ccL{(1-sen(2t)}=....$
Non sono giunto a conclusione(diversa dal calcolare l'integrale suggeritomi da lupo grigio) se ho da calcolare una trasformata del tipo,ad esempio, $(t^2+1)^2,(e^t+6)^3$,...
Se svolgo il quadrato/cubo e faccio la trasformata dei singoli monomi ottenuti,il risultato non è giusto;per quale motivo?
Se la memoria non mi inganna [ma può essere... data l'età 
... ] la Trasformata di Laplace gode della proprità di essere operatore lineare. Ciò implica per definizione che, date due funzioni $f(t)$ e $g(t)$ di entrambe le quali esiste la Trasformata per $s>sigma_0$ e due qualsiasi numeri reali $a$ e $b$ risulta...
$L[a*f(t)+b*g(t)]= a*L[f(t)]+b*L[g(t)]$ (1)
Quindi...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
... ] la Trasformata di Laplace gode della proprità di essere operatore lineare. Ciò implica per definizione che, date due funzioni $f(t)$ e $g(t)$ di entrambe le quali esiste la Trasformata per $s>sigma_0$ e due qualsiasi numeri reali $a$ e $b$ risulta... $L[a*f(t)+b*g(t)]= a*L[f(t)]+b*L[g(t)]$ (1)
Quindi...
cordiali saluti
lupo grigio
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