Trasformata di Laplace
Salve, dovrei svolgere la trasformata di Laplace di u:
$u={(0 ,if t<=0),((cost)/(root(3)(t)),if t>0):}$
Quale proprietà della trasformata di Laplace posso usare per evitare di svolgere l'integrale? Il risultato dovrebbe essere in funzione della $\Gamma$ di Eulero
$u={(0 ,if t<=0),((cost)/(root(3)(t)),if t>0):}$
Quale proprietà della trasformata di Laplace posso usare per evitare di svolgere l'integrale? Il risultato dovrebbe essere in funzione della $\Gamma$ di Eulero
Risposte
Se scrivi \(\cos t= \Re(e^{it})\), puoi calcolare
\[
\Re \int_0^\infty t^{-\frac13} e^{it} e^{-st}\, dt, \]
e con un cambio di variabile l'integrale si può ricondurre a \(\Gamma(x)=\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}\, dt\). Poi c'è il problema di calcolare la parte reale.
\[
\Re \int_0^\infty t^{-\frac13} e^{it} e^{-st}\, dt, \]
e con un cambio di variabile l'integrale si può ricondurre a \(\Gamma(x)=\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}\, dt\). Poi c'è il problema di calcolare la parte reale.
Ho fatto come dicevi considerando il $cost$ come parte reale di $e^(it)$
Ho imposto quindi che $x-1=-1/3=> x=2/3$
in effetti il risultato dell'esercizio è: $\Gamma (2/3) (sqrt{3})/(2root(3)(2))$.
Devo imporre anche che $it-zt=-t$?
Come devo muovermi dopo?
La traccia dell'esercizio diceva di calcolare il valore "reale"della trasformata di Laplace di u in 1.
Ho imposto quindi che $x-1=-1/3=> x=2/3$
in effetti il risultato dell'esercizio è: $\Gamma (2/3) (sqrt{3})/(2root(3)(2))$.
Devo imporre anche che $it-zt=-t$?
Come devo muovermi dopo?
La traccia dell'esercizio diceva di calcolare il valore "reale"della trasformata di Laplace di u in 1.
Prima di fare queste manovre con \(x\) devi cambiare variabile per fare sparire \(e^{it}\) dall'integrale. Io comincerei a scrivere
\[
\mathcal{L}(s)=\Re \int_0^\infty t^{-\frac13} e^{-t(s-i)}\, dt \]
(a proposito, io scrivo \(e^{it}\) dove tu possibilmente scrivi \(e^{jt}\)). Adesso introduci la nuova variabile \(t'=t(s-i)\), eccetera. Qui c'è da fare un po' di attenzione perché ti viene fuori una radice terza di un numero complesso, e quindi devi specificarne una determinazione. Su queste cose mi sbaglio sempre, ma credo che alla fine ti venga fuori la determinazione principale. Prova un po' a fare il conto e vedi se ritrovi il risultato del libro.
\[
\mathcal{L}(s)=\Re \int_0^\infty t^{-\frac13} e^{-t(s-i)}\, dt \]
(a proposito, io scrivo \(e^{it}\) dove tu possibilmente scrivi \(e^{jt}\)). Adesso introduci la nuova variabile \(t'=t(s-i)\), eccetera. Qui c'è da fare un po' di attenzione perché ti viene fuori una radice terza di un numero complesso, e quindi devi specificarne una determinazione. Su queste cose mi sbaglio sempre, ma credo che alla fine ti venga fuori la determinazione principale. Prova un po' a fare il conto e vedi se ritrovi il risultato del libro.
Scusami ma dovresti spiegarmi passo passo...sto da due giorni dietro questo esercizio...una volta che sostituisco $t'=t(z-i)$ cosa devo fare?
Non ho purtroppo il tempo di mettermi a scrivere tutti i passaggi, sta arrivando Natale e come sai è un po' come se si stia avvicinando la fine del mondo, tutto deve essere fatto prima. (E poi, è molto più istruttivo per te se lo fai tu. Io non devo fare nessun esame, tu si).
Comunque, se hai fatto bene la sostituzione ti dovresti trovare
\[
(s-i)^\frac23 \int_0^\infty t^{-\frac13} e^{-t}\, dt, \]
e l'integrale si riduce ad una funzione Gamma, che (ti ricordo), è un numero reale positivo. Adesso poni \(s=1\) e continua.
Comunque, se hai fatto bene la sostituzione ti dovresti trovare
\[
(s-i)^\frac23 \int_0^\infty t^{-\frac13} e^{-t}\, dt, \]
e l'integrale si riduce ad una funzione Gamma, che (ti ricordo), è un numero reale positivo. Adesso poni \(s=1\) e continua.
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