Trasformata di Laplace
Data la funzione h:t appartenente ad R uguale a
$sen(t) se |t|<=pi/2$
$0 se se |t|>pi/2$
Sia H(t) la funzione di Heaviside
Se $h+(t)=h(t)H(t) $
Dovrei calcolare la trasformata di Laplace in j
Metto un po' di ordine tra definizione della funzione è gradini vari e arrivo a dire che
$ h+(t)=sen(t) [H(t) - H(t-pi/2)] = sen(t) H(t) - cos(t-pi/2) H(t-pi/2) $
Trasformo e ottengo il risultato seguente
$frac {1-s exp(-s pi/2)} {s^2 +1}$
Dovrebbe venire $1/2-jpi/4$ come ovviamente non è. Non capisco dove potrei aver sbagliato
$sen(t) se |t|<=pi/2$
$0 se se |t|>pi/2$
Sia H(t) la funzione di Heaviside
Se $h+(t)=h(t)H(t) $
Dovrei calcolare la trasformata di Laplace in j
Metto un po' di ordine tra definizione della funzione è gradini vari e arrivo a dire che
$ h+(t)=sen(t) [H(t) - H(t-pi/2)] = sen(t) H(t) - cos(t-pi/2) H(t-pi/2) $
Trasformo e ottengo il risultato seguente
$frac {1-s exp(-s pi/2)} {s^2 +1}$
Dovrebbe venire $1/2-jpi/4$ come ovviamente non è. Non capisco dove potrei aver sbagliato
Risposte
Non si comprende se la funzione della consegna è semplicemente $[a(t)=sint]$ per $[0lt=tlt=\pi/2]$ e nulla altrove.
La funzione da trasformare si può esprimere esplicitamente scrivendo:
\[
h(t) := \begin{cases} \sin t &\text{, se } - \pi/2 \leq t \leq \pi/2\\ 0 &\text{, altrimenti} \end{cases}
\]
dunque:
\[
h(t) = \sin t\ \Big( H(t+\pi/2) - H(t-\pi/2)\Big)
\]
quindi non vedo come si possa avere un $H(t)$ nell'espressione che trovi.
\[
h(t) := \begin{cases} \sin t &\text{, se } - \pi/2 \leq t \leq \pi/2\\ 0 &\text{, altrimenti} \end{cases}
\]
dunque:
\[
h(t) = \sin t\ \Big( H(t+\pi/2) - H(t-\pi/2)\Big)
\]
quindi non vedo come si possa avere un $H(t)$ nell'espressione che trovi.
La funzione è quella che vale seno di t per $|t|<=pi/2$ e 0altrove, non sapevo come fare una parentesi grande in latex per scrivere bene la definizione,però attenzione, lui mi chiede di trasformare h(con il pedice + che non sapevo come riportare)(t) ossia la funzione di cui sopra, moltiplicata per il gradino centrato in zero, per questo dovrebbe uscire quell'H(t) di cui parli (a meno di miei errori o fraintendimenti, per questo vi ho riportato la traccia integralmente
Se svolgi il seguente integrale, essendo $f(t)$ la funzione che ho cercato di indicarti nel messaggio precedente:
$F(s)=\int_0^(+oo)f(t)e^(-st)dt=\int_0^(\pi/2)sinte^(-st)dt=\int_0^(\pi/2)(e^(it)-e^(-it))/(2i)e^(-st)dt=$
$=1/(2i)\int_0^(\pi/2)e^((-s+i)t)dt-1/(2i)\int_0^(\pi/2)e^((-s-i)t)dt$
e lo valuti per $[s=i]$, calcolando $[lim_(s->i)F(s)]$, ottieni proprio $[1/2-\pi/4i]$. Tuttavia, puoi risparmiare tempo calcolando direttamente $[F(i)=\int_0^(+oo)f(t)e^(-it)dt=\int_0^(\pi/2)sintcostdt-i\int_0^(\pi/2)sin^2tdt]$.
$F(s)=\int_0^(+oo)f(t)e^(-st)dt=\int_0^(\pi/2)sinte^(-st)dt=\int_0^(\pi/2)(e^(it)-e^(-it))/(2i)e^(-st)dt=$
$=1/(2i)\int_0^(\pi/2)e^((-s+i)t)dt-1/(2i)\int_0^(\pi/2)e^((-s-i)t)dt$
e lo valuti per $[s=i]$, calcolando $[lim_(s->i)F(s)]$, ottieni proprio $[1/2-\pi/4i]$. Tuttavia, puoi risparmiare tempo calcolando direttamente $[F(i)=\int_0^(+oo)f(t)e^(-it)dt=\int_0^(\pi/2)sintcostdt-i\int_0^(\pi/2)sin^2tdt]$.
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