Trasformata di Fourier di una funzione seno.

[lo92muse]

Salve a tutti. Mi trovo a dover calcolare la trasformata di Fourier del seguente segnale:
\begin{cases} \cos\left(\frac{\pi}{2}t\right), & \mbox{se } -2\le t \le 2\\ 0 & \mbox{altrimenti }
\end{cases}

Come mi consigliate di procedere? Ho provato a scomporre il coseno in esponenziali complessi ma non ho ottenuto grandi risultati. Con la definizione mi sembra troppo arduo. Grazie mille ..

[Demostene92]

A me invece con la definizione non sembra affatto arduo! Nel tuo caso:

$\hat(f)(\xi)=\int_{-\infty}^(+\infty)f(t)e^(-i\xit)dt=\int_{-2}^2cos(\pi/2t)e^(-i\xit)dt$.

A questo punto potresti scrivere il coseno in questo modo: $cos(\pi/2t)={e^(i\pi/2t)+e^(-i\pi/2t)}/2$. Quindi ottieni:

$\hat(f)(\xi)=2\int_{-2}^2[e^(i\pi/2t)+e^[-(i\pi/2t)]]e^(-i\xit)dt=...$

Ora non dovrebbe essere difficile integrare dato che si tratta di esponenziali e proprietà delle potenze...

[lo92muse]

"Demostene92":A me invece con la definizione non sembra affatto arduo! Nel tuo caso:

$\hat(f)(\xi)=\int_{-\infty}^(+\infty)f(t)e^(-i\xit)dt=\int_{-2}^2cos(\pi/2t)e^(-i\xit)dt$.

A questo punto potresti scrivere il coseno in questo modo: $cos(\pi/2t)={e^(i\pi/2t)+e^(-i\pi/2t)}/2$. Quindi ottieni:

$\hat(f)(\xi)=2\int_{-2}^2[e^(i\pi/2t)+e^[-(i\pi/2t)]]e^(-i\xit)dt=...$

Ora non dovrebbe essere difficile integrare dato che si tratta di esponenziali e proprietà delle potenze...

In effetti hai ragione tu, provo e posto il risultato ..