Trasformata di fourier di funzione periodica
Salve a tutti. Mi ritrovo a risolvere:
Cercando su internet ( non l'avevo negli appunti di analisi3 ), ho trovato la formula di poisson che sembrerebbe tornare al caso mio:
$ cc(F)( f(t) )(y) = sum_(k=-oo)^(+oo) cc(F)( f_T(t) )( y ) e^(2 pi i t/T) $
avendo definito $f_T(t) = f(t) * cc(X)_(\[ 0\,T \])$ con $cc(X)$ funzione caratteristica.
Allora deduco da qui che mi servirebbe calcolare ( ne scrivo solo uno dei due pezzi ):
$ cc(F)( t^2 cc(X)_(0,1))(y) = int_0^1 e^(-2 pi i y t ) t^2 dt $ che dovrei integrare per parti.
Una volta che ottengo questo risultato, basta sommargli l'altro ( $ cc(F)( t cc(X)_(1,2) )(y) $ ) e tentare di calcolare la serie che ne viene fuori per Poisson?
Ditemi se sono sulla giusta strada per favore
Grazie in anticipo.
Determinare la trasformata di Fourier del prolungamento periodico a $]-oo, +oo[$ di periodo 2, della funzione:
$f(t) = t^2 "se " 0 <= x < 1$
$f(t) = t "se" 1 <= x < 2$
Cercando su internet ( non l'avevo negli appunti di analisi3 ), ho trovato la formula di poisson che sembrerebbe tornare al caso mio:
$ cc(F)( f(t) )(y) = sum_(k=-oo)^(+oo) cc(F)( f_T(t) )( y ) e^(2 pi i t/T) $
avendo definito $f_T(t) = f(t) * cc(X)_(\[ 0\,T \])$ con $cc(X)$ funzione caratteristica.
Allora deduco da qui che mi servirebbe calcolare ( ne scrivo solo uno dei due pezzi ):
$ cc(F)( t^2 cc(X)_(0,1))(y) = int_0^1 e^(-2 pi i y t ) t^2 dt $ che dovrei integrare per parti.
Una volta che ottengo questo risultato, basta sommargli l'altro ( $ cc(F)( t cc(X)_(1,2) )(y) $ ) e tentare di calcolare la serie che ne viene fuori per Poisson?
Ditemi se sono sulla giusta strada per favore
Grazie in anticipo.
Risposte
niente?
La formula da te indicata è facile da dimostrare: se $T$ è il periodo allora, detta $F$ l'estensione di $f$ a tutto $RR$ si ha
$\mathcal{F}(F)(\tau)=\int_{-\infty}^{+\infty} F(t)\ e^{-it\tau}\ dt=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\int_{kT}^{(k+1)T} F(t) e^{-it\tau}\ dt$
utilizzando il cambiamento di variabile $z=t-kT$ nell'integrale si ha, dal momento che per periodicità $F(z+kT)=F(z)=f(z)$,
$=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}(\int_0^T f(z) e^{-iz\tau}\ dz) e^{-ik T\tau}$
Per cui procedendo così ottieni la trasformata richiesta.
$\mathcal{F}(F)(\tau)=\int_{-\infty}^{+\infty} F(t)\ e^{-it\tau}\ dt=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\int_{kT}^{(k+1)T} F(t) e^{-it\tau}\ dt$
utilizzando il cambiamento di variabile $z=t-kT$ nell'integrale si ha, dal momento che per periodicità $F(z+kT)=F(z)=f(z)$,
$=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}(\int_0^T f(z) e^{-iz\tau}\ dz) e^{-ik T\tau}$
Per cui procedendo così ottieni la trasformata richiesta.
Se hai studiato le distribuzioni temperate, la trasformata di quella roba lì si determina derivando un po' di volte la funzione:
\[
f_0 (t)=(t+2)(\text{u}(t+1)-\text{u}(t)) +t^2(\text{u} (t)-\text{u}(t-1))
\]
(qui \(\text{u}(\cdot)\) è il gradino unitario) che è la restrizione di \(f\) all'intervallo di periodicità base \([-1,1[\).
\[
f_0 (t)=(t+2)(\text{u}(t+1)-\text{u}(t)) +t^2(\text{u} (t)-\text{u}(t-1))
\]
(qui \(\text{u}(\cdot)\) è il gradino unitario) che è la restrizione di \(f\) all'intervallo di periodicità base \([-1,1[\).
Si certo che le ho studiate, è quel "prolungamento periodico" che mi ha fatto pensare. Anche se non mi è molto chiaro come dovrei arrivarci per derivazione distribuzionale.
Effettivamente quella funzione troncata e periodicizzata con $T=2$ non è ovviamente una funzione continua, nè tantomeno sommabile in $RR$. Dunque Gugo hai ragione, tecnicamente dovrei utilizzare la teoria delle distribuzioni per trasformare quella roba, in quanto è comunque $\in L^1_("loc")$.
Potresti darmi qualche dritta sul come arrivarci per derivazione?
Effettivamente quella funzione troncata e periodicizzata con $T=2$ non è ovviamente una funzione continua, nè tantomeno sommabile in $RR$. Dunque Gugo hai ragione, tecnicamente dovrei utilizzare la teoria delle distribuzioni per trasformare quella roba, in quanto è comunque $\in L^1_("loc")$.
Potresti darmi qualche dritta sul come arrivarci per derivazione?
Beh, derivando tre volte (se non ho sbagliato i conti) riesci a scrivere \(f_0^{\prime \prime \prime}\) come somma di impulsi (i.e. \(\delta\) e sue derivate); fatto ciò tieni presente che \(\mathcal{F}[f_0^{\prime \prime \prime}](\omega) =(\imath\ \omega)^3\ \mathcal{F}[f_0](\omega)\) e che la trasformata \(X(\omega)\) di una somma di impulsi la sai calcolare con le "trasformate notevoli", sicché hai \(\mathcal{F}[f_0](\omega)=-\frac{1}{\imath\ \omega^3}\ X(\omega)\); infine, ricordi che la trasformata di \(f\) si ricava da quella di \(f_0\) mediante la formula di Poisson (mi pare si chiami così), i.e. \(\mathcal{F}[f](\omega) =\sum_{n=-\infty}^\infty \mathcal{F}[f_0](n\omega_0)\ \delta (\omega -n\omega_0)\), con \(\omega_0=2\pi/T\) se non ricordo male...
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