Trasformata di Fourier del coseno
Ragazzi sarà una banalità ma non trovo una decente spiegazione di questa trasformata. Qualcuno potrebbe gentilmente elencarmi i passaggi logici nel dettaglio?
Non sono un esperto in analisi. Grazie
Non sono un esperto in analisi. Grazie
Risposte
Prima di tutto, c'è da osservare che questa non è da intendersi come trasformata classica, bensì è una trasformata generalizzata, nel senso che è da intendersi come trasformata della distribuzione temperata coseno.
Come ipotesi suppongo che la trasformata di Fourier in [tex]L^1(\mathbb{R})[/tex]di [tex]u(x)[/tex] sia definita come
[tex]\hat u(\xi) = \displaystyle\int_\mathbb{R} u(x) e^{-\imath \xi x} dx[/tex]
e che l'antitrasformata invece sia
[tex]u(x) = \displaystyle\frac{1}{2\pi}\int_\mathbb{R} \hat u(\xi) e^{\imath \xi x} d\xi[/tex]
[tex]u(x) = cos(\alpha x) = \dfrac{e^{\imath \alpha x} + e^{-\imath \alpha x}}{2}[/tex]
La trasformata di Fourier [tex]\hat u(\xi)[/tex] della distribuzione [tex]u(x)[/tex] è così definita:
[tex]\forall v \in S(\mathbb{R})[/tex]
[tex]<\hat u, v> = = \displaystyle\int_\mathbb{R} u(x) \hat v(x) dx =\\ \frac{1}{2}\int_\mathbb{R} e^{\imath \alpha x} \hat v(x) dx + \frac{1}{2}\int_\mathbb{R} e^{-\imath \alpha x} \hat v(x) dx = \pi (v(\alpha) + v(-\alpha)) = <\pi \delta_\alpha + \pi \delta_{-\alpha}, v>[/tex]
indicando con [tex]\delta_k = \delta(x -k)[/tex] ovvero la distribuzione (temperata) delta di Dirac centrata in [tex]k[/tex].
Dalla relazione [tex]<\hat u, v> = <\pi \delta_\alpha + \pi \delta_{-\alpha}, v>[/tex] si ricava che [tex]\hat u(\xi) = \pi (\delta(\xi - \alpha) + \delta(\xi +\alpha))[/tex]
Un altro modo è quello di sfruttare le proprietà della trasformata di Fourier e ricavare il valore della trasformata a partire dalla trasformata nota della costante unitaria.
[tex]\mathcal{F}[e^{\imath \alpha x}](\xi) = \mathcal{F}[1](\xi - \alpha) = 2\pi \delta(\xi - \alpha)[/tex]
[tex]\mathcal{F}[e^{-\imath \alpha x} ](\xi) = \mathcal{F}[1](\xi + \alpha) = 2\pi \delta(\xi + \alpha)[/tex]
[tex]\mathcal{F}[\dfrac{e^{\imath \alpha x} + e^{-\imath \alpha x}}{2}](\xi) = \dfrac{1}{2}(\mathcal{F}[e^{\imath \alpha x}](\xi) + \mathcal{F}[e^{-\imath \alpha x}](\xi))[/tex]
Tutto questo è (spero) abbastanza formale, spero tu conosca qualcosa della teoria delle distribuzioni... se hai dubbi chiedi pure.
Come ipotesi suppongo che la trasformata di Fourier in [tex]L^1(\mathbb{R})[/tex]di [tex]u(x)[/tex] sia definita come
[tex]\hat u(\xi) = \displaystyle\int_\mathbb{R} u(x) e^{-\imath \xi x} dx[/tex]
e che l'antitrasformata invece sia
[tex]u(x) = \displaystyle\frac{1}{2\pi}\int_\mathbb{R} \hat u(\xi) e^{\imath \xi x} d\xi[/tex]
[tex]u(x) = cos(\alpha x) = \dfrac{e^{\imath \alpha x} + e^{-\imath \alpha x}}{2}[/tex]
La trasformata di Fourier [tex]\hat u(\xi)[/tex] della distribuzione [tex]u(x)[/tex] è così definita:
[tex]\forall v \in S(\mathbb{R})[/tex]
[tex]<\hat u, v> =
indicando con [tex]\delta_k = \delta(x -k)[/tex] ovvero la distribuzione (temperata) delta di Dirac centrata in [tex]k[/tex].
Dalla relazione [tex]<\hat u, v> = <\pi \delta_\alpha + \pi \delta_{-\alpha}, v>[/tex] si ricava che [tex]\hat u(\xi) = \pi (\delta(\xi - \alpha) + \delta(\xi +\alpha))[/tex]
Un altro modo è quello di sfruttare le proprietà della trasformata di Fourier e ricavare il valore della trasformata a partire dalla trasformata nota della costante unitaria.
[tex]\mathcal{F}[e^{\imath \alpha x}](\xi) = \mathcal{F}[1](\xi - \alpha) = 2\pi \delta(\xi - \alpha)[/tex]
[tex]\mathcal{F}[e^{-\imath \alpha x} ](\xi) = \mathcal{F}[1](\xi + \alpha) = 2\pi \delta(\xi + \alpha)[/tex]
[tex]\mathcal{F}[\dfrac{e^{\imath \alpha x} + e^{-\imath \alpha x}}{2}](\xi) = \dfrac{1}{2}(\mathcal{F}[e^{\imath \alpha x}](\xi) + \mathcal{F}[e^{-\imath \alpha x}](\xi))[/tex]
Tutto questo è (spero) abbastanza formale, spero tu conosca qualcosa della teoria delle distribuzioni... se hai dubbi chiedi pure.
ok per il primo modo è troppo complicato per me. Il secondo è sostanzialmente la trattazione che non riuscivo a capire e ora mi sembra più chiara. Praticamente è come se facessi la trasformata per la variabile [size=134]$\epsilon-\alpha$ [/size]e [size=134]$\epsilon+\alpha$ [/size]di 1 e per la proprietà della simmetria della trasformata è uguale alla delta di Dirac in quella variabile, giusto?
E il $2 \pi$ perchè esce fuori?
E il $2 \pi$ perchè esce fuori?
è la "proprietà di modulazione" della trasformata di Fourier, se hai $e^{i \alpha x} f(x)$, la sua trasformata è $F(\xi -\alpha)$, indicando con $F(\xi)$ la trasformata di $f(x)$.
Il $2\pi$ deriva dalle definizioni che ho usato di trasformata e antitrasformata, se noti bene, nei passaggi in cui ho ricavato la trasformata ci sono integrali del tipo $\int_RR e^{i \alpha x}\hat v(x) dx$, se guardi bene questa è circa l'antitrasformata di $\hat v$, a meno di un fattore $1/(2\pi)$ che non c'è rispetto alla definizione.
Probabilmente tu hai definizioni della trasformata (e di conseguenza dell'antitrasformata) diverse, ad esempio $\hat u(\xi) = 1/(\sqrt(2\pi)) \int_\RR u(x) e^{-i \xi x} dx$ oppure $\hat u(\xi) = \int_\RR u(x) e^{-i 2\pi \xi x} dx$.
Il $2\pi$ deriva dalle definizioni che ho usato di trasformata e antitrasformata, se noti bene, nei passaggi in cui ho ricavato la trasformata ci sono integrali del tipo $\int_RR e^{i \alpha x}\hat v(x) dx$, se guardi bene questa è circa l'antitrasformata di $\hat v$, a meno di un fattore $1/(2\pi)$ che non c'è rispetto alla definizione.
Probabilmente tu hai definizioni della trasformata (e di conseguenza dell'antitrasformata) diverse, ad esempio $\hat u(\xi) = 1/(\sqrt(2\pi)) \int_\RR u(x) e^{-i \xi x} dx$ oppure $\hat u(\xi) = \int_\RR u(x) e^{-i 2\pi \xi x} dx$.
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