Trasformata di fourier
Se consideriamo la trasformata di fourier $F: L^1(\mathbb{R}^n) \rightarrow C_0^0(\mathbb{R}^n)$, essa tra i seguenti due spazi è iniettiva ma non suriettiva. Nei miei appunti vedo che il fatto che non sia suriettiva è giustificato tramite un corollario del teorema dell'applicazione aperta(X,Y spazi di Banach, allora $T:X \rightarrow Y$, tale che T sia suriettiva, è aperta). Il corollario è il seguente: se la T del teorema è biettiva, allora $\exists C>0$ tale che $\|T(x)\| \geq C\|x\|$.
Allora posso dire che $C \|f \|_{L^1} \leq \|\hat{f} \| \leq \|f \|_{L^1}$, indicando con $\hat{f}$ la trasformata di f.
Allora posso dire che $C \|f \|_{L^1} \leq \|\hat{f} \| \leq \|f \|_{L^1}$, indicando con $\hat{f}$ la trasformata di f.
Risposte
"aram":Dove stanno i seguenti spazi? Semmai tra i precedenti due spazi. "Seguente" vuol dire "che segue". Cerca di scrivere bene in italiano, è bruttissimissimo quando, nelle pubblicazioni scientifiche, l'italiano è scorretto.
Se consideriamo la trasformata di fourier $F: L^1(\mathbb{R}^n) \rightarrow C_0^0(\mathbb{R}^n)$, essa tra i seguenti due spazi
Allora posso dire che $C \|f \|_{L^1} \leq \|\hat{f} \| \leq \|f \|_{L^1}$, indicando con $\hat{f}$ la trasformata di f.
Si, se \(\lvert \cdot \rvert\) indica la norma del sup. Ora devi mostrare che questa disuguaglianza non può sussistere per ogni \(f \in L^1(\mathbb{R}^n)\).
I "precedenti" spazi, giustamente! Sì, intendo la norma del sup. Come potrei dimostrare che tale disuguaglianza non può sussistere e quindi giungere ad assurdo?
Mah, non saprei. I tuoi appunti si fermano là?
Di solito in questo tipo di ragionamenti la strategia è trovare una successione di funzioni \(f_k \in L^1(\mathbb{R}^n)\) tale che \(\lVert f_k\rVert_{L^1} \to \infty\) ma \(\lVert \hat{f}_k \rVert_{C_0}\) resta limitata. Oppure va bene anche una successione tale che \(\lVert f_k\rVert_{L^1}\) diverge più rapidamente di \(\lVert \hat{f}_k \rVert_{C_0}\). O ancora, specularmente, puoi cercare una successione tale che \(\lVert \hat{f}_k\rVert_{C_0} \to 0\) ma \(\lVert f_k\rVert_{L^1}\nrightarrow 0\).
Però un esempio semplice non mi viene in mente (anzi, ad essere sincero non mi viene in mente neanche un esempio complicato
).
Di solito in questo tipo di ragionamenti la strategia è trovare una successione di funzioni \(f_k \in L^1(\mathbb{R}^n)\) tale che \(\lVert f_k\rVert_{L^1} \to \infty\) ma \(\lVert \hat{f}_k \rVert_{C_0}\) resta limitata. Oppure va bene anche una successione tale che \(\lVert f_k\rVert_{L^1}\) diverge più rapidamente di \(\lVert \hat{f}_k \rVert_{C_0}\). O ancora, specularmente, puoi cercare una successione tale che \(\lVert \hat{f}_k\rVert_{C_0} \to 0\) ma \(\lVert f_k\rVert_{L^1}\nrightarrow 0\).
Però un esempio semplice non mi viene in mente (anzi, ad essere sincero non mi viene in mente neanche un esempio complicato
).
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